Esercitazione di Idrologia e statistica

10 / 03 / 2022

Abbiamo 2 serbatoi A e B aventi, larghezza comune pari a b, sono in comunicazione attraverso la luce di fondo aperta nel setto divisorio.

Il serbatoio A contiene acqua di: peso specifico "gamma" fino all'altezza h,

Il serbatoio B contiene acqua fino alla lettera "a" e, sopra ad essa, uno strato di spessore "dx" di carburante di peso specifico "gamma g"

YA = 9806 N/m³

YB = 6900 N/m³

Ym = 132970 N/m³

mercurio

h = 7,00 m

a = 1,00 m

zM = 3,00 m

manometro

alpha = 30°

b = 4,50 m

Determinare il diagramma delle pressioni relative e determinare computatamente (in modulo, direzione, verso e punto d'applicazione) le spinte S1, S2, S3 relative rispettivamente alle pareti 1, 2, 3.

Inoltre determina delta x e le indicazioni dei manometri.

1) Diagramma parete 1

Richiami: legge di Stevin -> z + p/gamma = cost -> p = gamma y

Per l'andamento "y" sul fondo sara' pari a "h"

C: riteniamo a pressioni relative

- Troviamo subito la pressione sul fondo p_f -> p_f = g·y = g·h = 9806 N/m² ; ?m = 68642 N/m²

- Dato l'andamento lineare delle pressioni possiamo da subito tracciare il diagramma delle pressioni. Otteniamo un triangolo rettangolo con base p_f e vertice alto coincidente con il p.c. dove la pressione relativa e nulla.

- Ora, per determinare la spinta applichiamo il metodo del solido di spinta che in questo caso sara un prisma a sezione triangolare.

Per trovare il modulo di S₁ dovremo calcolare il volume del solido di spinta. A tale scopo e utile determinare l

l = h/cosα = 4/cos(30°)

S₁ = area triangolo · profondita (b) = 1/2 p_f l · b = 1/2 · 68642 · 7/cos(30°) · 4,5 = 124830 N

Per trovare il punto di applicazione C, ricordiamo che usando questo metodo la spinta risulta applicata sul baricentro del solido di spinta. Per trovarlo facciamo alcuni accorgimenti:

• E presente un piano di simmetria || alla parete e a profondita -b/2, il baricentro apparterra necessariamente a questa sezione del prisma, data dall'intersezione con questo piano.
• Il baricentro in un triangolo rettangolo si trova ad 1/3 del cateto opposto al cateto considerato

a = l

b = p_f

a/3 = 8,08/3 = 2,69 -> S₁ = 2,69 m

b/3 = 68642/3 = 22880,67 N/m²

N.B. Nei calcoli non si usano approssimazioni, ma nello scrivere sul foglio si possono usare.

la direzione sara ortogonale al piano della superficie mentre il verso e dato dal segno della pressione che e positiva sulla parete dato che e al di sotto del p.c.i.:

p > 0 compressione -> si rivolta verso la parete

2) Determiniamo delta x (affondamento rispetto a p.c.i. di x_B)

La pressione del piano QP di separazione puo esprimersi come riferimento agli affondamenti dei punti del piano rispetto ai due p.c.i. dell'acqua e del carburante, la pressione nel punto e comunque quella, percio:

Dalla legge di stevin -> h = z + p/g = cost, h₁ = z₁ + p₁/g = cost

h₂ = z₂ + p₂/g = cost

z₂ + p₂/g = z₁ + p₁/g

-> p₂ = p₁ + g(z₁ - z₂) -> con p₁ = 0 perche si riferisce al piano dei carichi idrostatici

Quindi p₂ = g(z₁ - z₂) -> in generale p = g Delta z = g xi

Ora, nel nostro esercizio abbiamo un piano con una certa pressione (p_QP), come abbiamo scritto in (*). Quindi vogliamo le equazioni:

p_QP = gamma_A xi_A = gamma_A(h - a) , p_QP = gamma_B delta x

γ_A(h-a) = γ_B δx → δx = γ_A(h-a)/γ_B = 9800(1+1)/6900 = 8,53 m

Perciò P_QP = γ_A(h-a) = γ_B δx = 58836 N/m²

3) Determiniamo la parete 2

(dovrebbe essere così il disegno?)

Questa volta la spinta e composta, arriva in parte dall'acqua e in parte dal carburante; per via dei loro pesi specifici differenti, il diagramma sarà più pendente superata l'acqua.

Pressione dei punti caratteristici

sul p.c.i carburante (B) → p = 0 N/m²

sul piano QP → p = 58836 N/m²

sul fondo del serbatoio → p = p_f = γ_Ah = 68642 N/m²

- Occupiamoci del modulo della spinta calcolando i volumi del solido di spinta

Troviamo prima l'area della sezione che poi andra moltiplicata per la profondita in modo da trovare il volume. Dovro prima ricavare la c lc:

lc = Qx/cos a = 9,85 mla = Q/cos a = 1,15 m

guarda disegno sopra

Avremo quindi:

S² = 1/2 q_qp lc + (P_f + P_qp) la / 2

area trapezio profondita

= 28967,3 + 73299,85].b = 363067,15 N/m . 4,5 m = 1633802,175 N

- Non resta che individuare il punto d'applicazione che coincide con il baricentro del solido di spinta.

Come nella 1 abbiamo il baricentro nella sezione contenuta dal piano di simmetria del prisma.

Ricordiamo inoltre che risulta necessaria una delle coordinate che ne definiscono la posizione "Xg".

La forma è percio particolare e ci conviene con questo scopo scomporre la sezione in un triangolo, un rettangolo e un altro triangolo.

Ad ognuno dei volumi sara associata una spinta parziale ed un suo baricentro.

Le varie X_G sono le coordinate dei baricentri rispetto a O. Ora possiamo imporre la condizione di equivalenza tra il sistema di forze costituito da S_2b, S_2At, S_2Av e quello costituito dalla sola spinta S₂:

S₂ X_O = S_2b X_Gb + S_2At X_GAt + S_2Av X_GAv, dove l'incognita e X_G

X_G = (S_2b X_Gb + S_2At X_GAt + S_2Av X_GAv) / S₂

X_G = (A_b X_Gb + A_At X_GAt + A_Av X_GAv) / (A_b + A_Av + A_At)

ovviamente la risultante e calcolata con la parte a cornice ma X_G, non nel baricentro del triangolo

(4) Determiniamo la spinta sulla parte 3

Il setto divisorio e sollecitato

da una parte dall'acqua e

dall'altra dall'acqua e dal carburante

S. puo fare da subito una

semplificazione: la spinta data

dall'acqua da una parte e dall'altra

e uguale da una parte e dall'altra in

virtu del fatto che i volumi dei piani di spinta sono gli stessi, con l'unica

differenza nel verso. Quindi: stesso modulo, direzione e punto di applicazione ma

con verso opposto. Le spinte al di sotto del piano PQ pero si elidono.

Ci concentriamo percio sulle spinte al di sopra di questo piano.

Cominciamo nel determinare il modulo della spinta S³ che e la risultante delle

spinte sulle facce del setto.

S³ = S^3s + S^3d

Lavoriamo quindi sulle spinte parziali S^3s, S^3d

S^3d = A_d . b = 1/2 P_qp . dx . b ; X_Gd = dx/3

S^3s = A_s . b = 1/2 P_qp . (h - a) . b ; X_Gs = (h - a)/3

S³ = S^3d - S^3s = (A_d - A_s) . b = 1/2 P_qp . b (dx - (h - a))

S3 sara rivolta da destra verso sinistra poiche il volume generato dalla spinta del carburante e maggiore di quella generata dall'acqua.

Troviamo ora la quota di applicazione sempre grazie alla condizione di equivalenza ed in particolare l'equivalenza dei momenti.

Abbiamo gia trovato i bracci delle spinte parziali S3s (xGs) e S3d (xGd) viene naturale a questo punto prendere come polo Q. Per cui avremo

S3 xG = S3d xGd - S3s xGs - dove xG e l' incognita

xG = (S3d xGd - S3s xGs) / S3 = (Ad b xGd - As b xGs) / ((Ad - As)b) = [1/2 pqp (dx xGd - (h-a)xGs)] / [1/2 pqp (sx - (h-a))]