Ellissoide terrestre, cartografia, proiezioni cartografiche e sistemi geodetici

dal sistema locale al sistema globale

Nel sistema globale, si modella la Terra mediante un ellissoide di rotazione. Un punto P può allora essere descritto in due modi:P = (x, y, z) e P = (φ, λ, h)

perché un ellissoide?

La Terra non viene approssimata con una sfera perfetta. Si utilizza un ellissoide leggermente schiacciato ai poli. Se taglio l'ellissoide con un piano passante per l'asse terrestre ottengo un'ellisse.

Nella slide compaiono: a = semiasse maggiore (raggio equatoriale) e b = semiasse minore (raggio polare). Poiché a > b l'ellissoide è leggermente schiacciato. Per quantificare questo schiacciamento viene introdotta l'eccentricità: e² = (a² - b²) / a²

passare da (ρ, χ, h) a (X, Y, Z)

Prima si semplifica il problema supponendo che il punto P sia esternamente sull'ellissoide: h = 0. Nel piano meridiano utilizzo due coordinate: r = distanza di P dall'asse terrestre e z = altezza rispetto al piano equatoriale

L'equazione dell'ellisse è: r² / a² + z² / b² = 1 e so che e² = (a² - b²) / a² -> b² = a²(1 - e²). Sostituendo viene che: r² / a² + z² / a²(1 - e²) = 1

moltiplico tutto per a²(1 - e²) = r²(1 - e²) + z² = a²(1 - e²) porto tutto a sinistra e chiamo l'espressione f(r, z), cioè:

f(r, z) = r²(1 - e²) + z² - a²(1 - e²) = 0

differenzio l'equazione: dato che P giace sull'ellisse vale sempre f(r, z) = 0. Il suo differenziale è: df = ∂f/∂r dr + ∂f/∂z dz = 0

calcolo le due derivate: ∂f/∂r = 2r(1 - e²) e ∂f/∂z = 2z. Quindi: 2r(1 - e²)dr + 2z dz = 0 -> r(1 - e²)dr + z dz = 0

=> z/r = -(1 - e²) dr/dz

dove entra la latitudine φ? Nel punto P, dr e dz descrivono la direzione tangente all'ellisse. Dalla geometria della figura: tan φ = -dr/dz. Quindi nella relazione prima: z/r = +(1 - e²) tan φ => z = r(1 - e²) tan φ

adesso ricavo r: prendo z = r(1 - e²)tan φ e lo sostituisco in

r² / a² + z² / b² = 1

Ottengo: r² / a² + r²(1 - e²)tan²φ / b² = 1. Ricordato che b² = a²(1 - e²), si ha: r² / a² + r²tan²φ / a² = 1. Raccoglo: r² / a² [1 + tan²φ] = 1. Sostituisco tan²φ = sin²φ / cos²φ

Quindi: r² / a² [(cos²φ + sin²φ - e²sin²φ) / cos²φ] = 1 => r² / a² (1 - e²sin²φ) / cos²φ = 1

Da cui: r² = a²cos²φ / (1 - e²sin²φ) => r = a cos φ / sqrt(1 - e²sin²φ)

compare la Gran Normale N

Per rendere le formule molto più semplici viene introdotta una quantità fondamentale: N = a / sqrt(1 - e²sin²φ) chiamata Gran Normale

Quindi posso ricavare subito r come: r = N cos φ. N.B. questa N non è l'ordinaria del geoide

da r arrivo a X e Y

Ora immaginiamo di guardare la Terra dall'alto. r è la distanza dall'asse Z. Utilizzando la longitudine λ posso scomporre r lungo gli assi X e Y: X = r cos λ, Y = r sin λ

Però ho appena trovato che r = N cos φ, quindi: X = N cos φ cos λ e Y = N cos φ sin λ

Per z, invece, dalla relazione precedente: z = r(1 - e²)tan φ. Sostituendo r = N cos φ: z = N cos φ (1 - e²) sin φ / cos φ e quindi z = N(1 - e²)sin φ

le formule importanti da ricordare

Se il punto è sull'ellissoide, quindi h = 0:

1. X = N cos φ cos λ
2. Y = N cos φ sin λ
3. Z = N(1 - e²) sin φ

ma ricordate il pto non e sull ellissoide

Nella realta il pto P puo trovarsi a una certa quota ellissoidica: h != 0

Per questo nella formule compare: N + h, le formule generali diventano:

X = (N + h) cos p cos l

Y = (N + h) cos p sin l

Z = [N(1-e²) + h] sin p

ora facciamo il contrario

Prima trovo r: dalle coordinate x, y. Per Pitagora: r = sqrt(x² + y²) La longitudine l e semplice: guardando il pto nel piano XY: tan l = y/x -> l = tan^-1(y/x)

La latitudine p e piu complessa: se inizialmente si suppone h = 0 la si ricava a p + tan^-1[z / ((1-e²)sqrt(x²+y²))] pero c e un problema, questa formula funziona direttamente quando h = 0

e h != 0

Per un punto che si trova a quota h, la formula diventa: p = tan^-1[z / ((1-e²N/(N+h))sqrt(x²+y²))] ma cosa succede?

Per calcolare p ho bisogno di N e h. Pero: N = a/sqrt(1-e²sin²p) quindi per conoscere N devo gia conoscere p. Infatti: h = sqrt(x²+y²)/cos p - N e quindi anche per conoscere h devo conoscere p. Per questo serve un processo iterativo.

cioe? parto con una prima approssimazione, per esempio facendo: h = 0. Ottengo una prima latitudine: p₀. Con p₀ calcolo N₀. Poi posso calcolare una prima quota: h₀.

Con N₀ e h₀ ricavo una latitudine migliore: p₁. Poi rifaccio p₁ -> N₁ -> h₁ -> p₂ e continuo finche: p_n+1 approx p_n

A quel punto ho raggiunto una precisione sufficiente

che cos'e la cartografia?

8/10/2026

La cartografia e la disciplina che si occupa di rappresentare graficamente su un supporto piano e in una scala opportuna, gli elementi naturali e artificiali presenti sulla superficie terrestre.

Per capire come avviene questa rappresentazione dobbiamo distinguere tre superfici:

superficie topografica S_t: e la superficie fisica reale della Terra, caratterizzata da montagne, vallate, pianure e costruzioni

superficie ellissoidica S_e: e la superficie matematica regolare con cui approssimiamo la forma terrestre e sulla quale definiamo le coordinate geografiche

superficie piana S_p: e il piano della carta, sul quale voglio rappresentare gli elementi del territorio

Il nostro obiettivo e passare dalla S_t alla S_p, utilizzando la S_e come superficie di riferimento

Le due componenti della rappresentazione cartografica

Ogni elemento presente sulla superficie terrestre possiede due componenti fondamentali: una planimetrica e una altimetrica

componente planimetrica: riguarda la posizione orizzontale degli elementi terrestri. Per rappresentare queste info, il procedimento e questo:

Superficie topografica S_tterritorio reale

proiezione lungo le verticali sulla superficie di riferimento

Superficie ellissoidica S_ecoordinate geografiche p, l

trasformazione cartografica

Superficie piana S_pcoordinate cartografiche x, y

in sostanza, prima si associa i punti reali a punti ellissoidici e successivamente trasformiamo le loro coordinate per rappresentarli sul piano

componente altimetrica: riguarda l'altezza di ogni punto del territorio. la quota H rappresenta la distanza di un punto dalla superficie del geoide, misurata lungo la direzione della gravita

le problemi fondamentali della cartografia

L'ellissoide possiede una doppia curvatura e quindi non puo essere sviluppato su un piano senza introdurre deformazioni.

quali deformazioni si producono?

A) lineari: riguardano le distanze, dare una distanza misurata sulla carta, rispetto alla scala nominale, potrebbe non coincidere perfettamente con quella corrispondente sull'ellissoide

B) areali: riguardano le superfici, ad esempio un terreno che nella realta occupa una certa area potrebbe risultare proporzionalmente piu grande o piu piccolo sulla carta

C) angolari: riguardano gli angoli e quindi le forme, ad esempio considerando due strade che si incontrano formando un angolo di 60'. A causa della rappresentazione cartografica, quell'angolo potrebbe risultare diverso

come si risolve il problema cartografico?

approccio geometrico -> consiste nel proiettare la superficie terrestre su una superficie geometrica piu semplice, che poi possa essere sviluppata su un piano

Le possibilita sono tre: proiezione cilindrica -> dove la superficie terrestre viene rappresentata su un cilindro, che successivamente viene aperto e disteso su un piano

proiezione conica -> si utilizza un cono, che poi viene aperto e disteso sul piano

proiezione piana/azimutale -> i punti vengono proiettati direttamente su un piano, per esempio tangente alla superficie terrestre

approccio analitico -> si utilizzano delle formule matematiche che trasformano le coordinate geografiche dei punti in coordinate piane

Le proprieta delle rappresentazioni cartografiche

Abbiamo capito che non e possibile eliminare contemporaneamente tutte le deformazioni. Possiamo pero costruire rappresentazioni che conservino determinate proprieta.

condizione di conformita/isogonia -> una rappresentazione e conforme quando conserva gli angoli tra direzioni infinitamente vicine. Questo significa che, se due curve si incontrano sull'ellissoide formando un certo angolo, le loro immagini sulla carta conserveranno lo stesso angolo

N.B. le rappresentazioni conformi conservano quindi le forme locali, cioe quelle di figure infinitamente piccole, ma non necessariamente le loro dimensioni. Infatti, un rappr. conforme puo comunque deformare le distanze o le aree

condizione di equivalenza/lalialtita -> una rappresentazione e equivalente quando conserva le aree, a meno del fattore di scala nominale; tuttavia la forme delle regioni puo essere deformata

N.B. la rappresentazione equidistante conserva correttamente le distanze lungo particolari direzioni o linee, oppure da punti definiti, ma non puo conservare tutte su un'intera regione della sup terrestre

la condizione di afilaticita

Rappresenta un compromesso pratico tra le diverse deformazioni. In questo caso non si richiede che gli angoli o le aree siano conservati perfettamente, ma si cerca di mantenere gli errori sufficientemente piccoli da non essere apprezzabili nella rapp.

Le rappresentazioni utilizzate della topografia

rappresentazioni

caratteristica principale

Gauss-Bogga

Conforme, storicamente molto utilizzata nella cartografia italiana

UTM

Conforme basata sulla proiezione trasversa di Mercatore e suddivisa in fusi (suddivisa in fusi, cioe che la Terra viene suddivisa in 60 spicchi verticali lunghi 6' di longitudine)

Cassini-Soldner

Ha varie peculiarita metriche locali; non e rigorosamente equivalente

il datum geodetico

Il datum geodetico e l'insieme delle info che stabiliscono la forma, la posizione e l'orientamento dell'ellissoide utilizzato come riferimento per rappresentare la Terra.

Ricordiamo che la Terra ha una forma irregolare e che la approssimiamo mediante un ellissoide di rotazione. Ma c'e un problema: possiamo scegliere ellissoidi differenti e posizionarli in modi diversi rispetto alla Terra.

Di conseguenza, dobbiamo stabilire esattamente quale ellissoide stiamo utilizzando e come e disposto allo spazio

i parametri che definiscono il datum

Il datum e individuato da 8 parametri, suddivisi in 3 gruppi:

A due parametri di forma servono a definire le dimensioni e la forma dell'ellissoide. Sono generalmente:

a = semiasse maggiore, cioe il raggio equatoriale

b = semiasse minore, cioe il raggio polare

f = schiacciamento dell'ellissoide

f = (a-b)/a

ci permette di stabilire quanto e grande e quanto e schiacciato l'ellissoide

B tre parametri di posizione servono a stabilire dove si trova il centro dell'ellissoide rispetto al centro della Terra. Sono tre coordinate: ^?X, ^?Y, ^?Z. Se il centro dell'ellissoide coincide con il centro di massa terrestre, il riferimento e detto geocentrico. Se invece non coincide, abbiamo un riferimento locale.

C tre parametri di orientamento servono a stabilire come sono orientati gli assi dell'ellissoide rispetto agli assi del sistema terrestre

orientamento locale dell'ellissoide

Abbiamo detto che l'ellissoide e una superficie matematica regolare, mentre il geoide e una superficie legata al campo gravitazionale terrestre, molto piu irregolare. Le due superfici generalmente non coincidono

Quando si sceglie un datum locale posso orientare e posizionare idealmente l'ellissoide in modo che, in un determinato punto della Terra, esso coincida localmente con il geoide

Questo punto prende il nome di punto di emanazione. Nel punto di emanazione:

1. l'ellissoide e il geoide sono tangenti
2. le rispettive normali coincidono
3. l'ondulazione del geoide e nulla

i principali datum geodetici

WGS84 - world geodetic system 1984

e un datum geocentrico globale. Significa che il suo sistema di riferimento ha origine nel centro di massa della Terra ed e progettato per essere utilizzato a livello mondiale. Viene utilizzato nel posizionamento satellitare GPS, ed e importante perche permette di esprimere la posizione dei punti in un riferimento globale senza dover descrivere un ellissoide orientato localmente.

SIO - sistema italico 1940

e un datum locale in cui l'ellissoide viene orientato rispetto al punto di riferimento dell'Osservatorio Astronomico di Monte Mario, a Roma. E associato alle rapp. cartografiche Gauss-Bogga.

ED50 - european datum 1950

e un datum locale sviluppato per la cartografia europea. Il suo orientamento storico e legato a Potsdam, in Germania.

GEO - geodetico 1902

e un datum storico locale utilizzato nella cartografia catastale italiana.

perche lo stesso punto ha coordinate differenti?

Perche le coordinate non sono proprieta assolute del punto, ma dipendono dal sistema di riferimento utilizzato.

Confrontiamo: WGS84 vs ED50 -> dE = 68 m e dN = 193 mWGS84 vs SIRG -> dE = 2020007 m

Pero questo non significa che il punto si sia spostato di oltre 2000 km, il motivo e semplicemente che i due sistemi adottano correzioni e ellissoidi diversi per le coordinate

conversione rigorosa tra sistemi cartografici

Come succede se abbiamo le coordinate di un punto in un sistema A e voglio conoscere il sistema B? Suppongo, per esempio, di voler passare da coordinate cartografiche GEO2 a coordinate SIRG

_{passaggio 1} -> possiamo dalle coordinate cartografiche del punto: (E_A, N_A) -> (φ_A, λ_A) se conosciamo anche le quota ellissoidica avremo: (φ_A, λ_A, h_A)

_{passaggio 2} -> conosco (φ_A, λ_A, h_A) e voglio trasformarle in (X_A, Y_A, Z_A). Per farlo si utilizzano le formule che ho gia visto

X_A = (N_A + h_A) cos φ_A cos λ_A Y_A = (N_A + h_A) cos φ_A sin λ_A Z_A = [N_A(1 - e²) + h_A] sin φ_A

N_A = Gran Normale

_{passaggio 3} -> la slide parla di trasformazione di rototraslazione e variazione di scala a 7 parametri, conosciuta come trasformazione di Helmert. Perche ne servono 7? perche i due sistemi possono avere origini, orientamenti e scale differenti. La trasformazione, in forma schematica, puo essere scritta cosi:

X_B = T + (1 + s)R X_A X_A = vettore delle coordinate nel sistema A X_B = vettore delle coordinate nel sistema B T = rapp. le traslazioni R = le rotazioni s = la variazione relativa di scala

_{passaggio 4} -> devo ottenere (φ_B, λ_B, h_B). λ_B = arctan(Y_B/X_B), φ_B = tan^-1[Z_B / ((1 - e_B² N_B / (N_B + h_B)) √(X_B² + Y_B²))] e h_B = (√(X_B² + Y_B²) / cos φ_B) - N_B

_{passaggio 5} -> conosco (φ_B, h_B), devo ottenere (E_B, N_B) e per fare cio le equazioni dirette della rappresentazione cartografica nello sistema B.

metodo alternativo e semplificato

1' metodo -> e il metodo precedente

2' metodo -> si possono trasformare direttamente (φ_A, λ_A, h_A) -> (φ_B, λ_B, h_B) come? trasformazione di Molodensky o grafiche di correzione

3' metodo -> si trasformano direttamente (E_A, N_A) -> (E_B, N_B) come? trasformazione affine o trasformazione polinomiale o trasformazione conforme