Elettrotecnica

Elettrotecnica nozioni generali

La carica elettrica è una proprietà delle particelle che compongono la materia, la cui unità di misura è il coulomb. Essa non può essere né creata, né distrutta, ma solo trasferita (principio di conservazione della corrente). Il quark è la quantità più piccola dell'elettrone (può assumere valori come 2/3 o -1/3).

Campo elettrico

Il campo elettrico è un campo di forze che agisce su tutto ciò che è elettricamente carico nello spazio circostante. Esso è definito come: E = lim r→0 (qE / r²), perché è un campo di forze e la carica non deve interagire con il campo elettrico. Se la carica si muove, si genera un campo magnetico.

Legge di Coulomb

La legge di Coulomb afferma che F = k |q₁q₂| / r², dove k è la costante dielettrica nel vuoto.

Corrente elettrica

La corrente elettrica è un moto ordinato di cariche elettriche e si può scrivere come I = Q / t. La sua unità di misura è l'ampere. La corrente può essere sia positiva che negativa e si distingue in:

• Stazionaria, il cui valore non varia nel tempo (si indica con I_s);
• Alternata, il cui valore varia nel tempo (si indica con I_a).

Tensione

La tensione (ddp) è il lavoro svolto dalle forze del campo elettrico per spostare le cariche da un punto ad un altro. Essa è definita come V = W / Q oppure V = ∫E·dl. La sua unità di misura è il volt. Anche la tensione può essere stazionaria (V_s) o alternata (V_a).

Potenza

La potenza è la rapidità di assorbimento o di emissione di energia nel tempo. La sua unità di misura è il watt. È definita come P = W / t = V·I. Anche la potenza può essere in funzione del tempo o no.

Esistono due convenzioni utili a determinare il segno della potenza:

1. Convenzione dell’utilizzatore: se la tensione e la corrente hanno verso opposto e il risultato è maggiore di zero, la potenza è assorbita;
2. Convenzione dei generatori: se la tensione e la corrente hanno lo stesso verso e il risultato è maggiore di zero, la potenza è generata o erogata; altrimenti è assorbita.

Esempio

• V = 2, I = 3 → P = V·I = 6
• V = 2, I = 4 → P = -(V·I) = -8

Per passare da una configurazione all’altra bisognerà cambiare semplicemente il segno della potenza.

L’energia è la capacità di eseguire un determinato lavoro ed è definita come E = ∫P·dt.

Parametri concentrati

Un sistema elettrico è a parametri concentrati quando le dimensioni fisiche sono trascurabili rispetto alla minima lunghezza d'onda (λ), cioè λ = c / f₀, dove c = 3·10⁸ m/s e f₀ ≥ f_max. Definiamo lunghezza d'onda lo spazio percorso dall'onda in un periodo. In regime stazionario non è necessario fare un controllo perché la frequenza è nulla e quindi λ = ∞.

Bipolo elettrico

Il bipolo elettrico è un dispositivo elettrico accessibile da due terminali. Esso ha due proprietà:

• La corrente che entra è uguale a quella che esce;
• La tensione tra i due terminali è diversa da zero.

Il bipolo è attivo se genera potenza; è passivo se la assorbe. Inoltre, i generatori possono essere di tensione o di corrente; ed entrambi possono essere dipendenti (o controllati) o indipendenti. Un generatore di tensione indipendente è un bipolo attivo che mantiene una determinata tensione ed è indipendente dalle altre variabili del circuito. Esso può essere:

• Ideale: mantiene la stessa tensione indipendentemente dalla corrente che lo attraversa;
• Reale: la tensione diminuisce all’aumentare della corrente.

Un generatore di corrente indipendente è un bipolo attivo che mantiene una determinata corrente ed è indipendente dalle altre variabili del circuito. Anch'esso può essere ideale o reale.

Generatore di tensione e generatore di corrente

I generatori controllati dipendono da un'altra tensione o corrente che troviamo nel resto del circuito. Possono essere ideali o reali e ne esistono quattro tipi:

Bipolo resistore

Il resistore è un bipolo passivo, perché assorbe una certa potenza che si oppone al passaggio della corrente. La sua misura è la resistenza, cioè la capacità di opporsi al passaggio della corrente. La sua unità di misura è l'ohm (Ω). La legge di Poillet afferma che la resistenza è proporzionale alla lunghezza del conduttore e inversamente proporzionale alla sezione del filo conduttore: R = ρ·L / S. La costante di proporzionalità si dice resistività e indica il tipo di materiale. Può assumere i seguenti valori:

• 10⁻⁸ Ωm nei conduttori;
• Compreso tra 10⁻⁵ e 10¹⁰ Ωm nei semiconduttori;
• 10⁸ Ωm negli isolanti.

Dal grafico qui accanto, si può osservare che I = V / R, cioè una retta passante per l’origine che descrive l’andamento della resistenza. Per questo motivo si può dire che I = V / R, cioè la legge di Ohm. È possibile affermare ciò perché il bipolo resistore è descritto da una caratteristica esterna che è una retta passante per gli assi. Quindi il resistore è un bipolo lineare e tempo invariante.

Se tensione e corrente hanno verso opposto, allora la legge di Ohm ha segno positivo. In presenza di un generatore di tensione, si parla di legge di Ohm generalizzata: V = ±I·R. Il segno della tensione del generatore dipende da quale morsetto si entra: se si entra dal morsetto negativo, la tensione avrà segno negativo; altrimenti positivo.

Special cases

Se il valore della resistenza è nullo, il valore della tensione è nullo. In tal caso, siamo in presenza di un cortocircuito, in cui non è detto che anche il valore della corrente sia nullo. Se, invece, il valore della resistenza è infinito, la corrente avrà valore nullo e si avrà un circuito aperto, in cui non è detto che anche il valore della tensione sia nullo.

La conduttanza è la capacità di far passare corrente ed è definita come G = 1 / R. La sua unità di misura è il siemens (S).

Amperometro e voltmetro

L’amperometro e il voltmetro misurano rispettivamente l’intensità di corrente e di tensione. Entrambi possono essere anche ideali. In particolare, l’amperometro è ideale se la resistenza è nulla (cortocircuito); il voltmetro se non fa muovere le cariche elettriche (circuito aperto).

Topologia delle reti

La differenza tra rete e circuito elettrico è che in un circuito elettrico è possibile individuare un percorso chiuso. In un circuito elettrico, possiamo individuare:

• Un ramo è un qualsiasi bipolo elettrico.
• Un nodo è un punto di interconnessione tra due o più rami.
• Una maglia è un qualsiasi percorso chiuso che si ottiene partendo da un nodo, attraversando dei nodi intermedi (una sola volta) e ritornando al nodo iniziale.

Una maglia è indipendente quando contiene un ramo (o bipolo) che non è contenuto in nessun’altra. Il teorema fondamentale della topologia delle reti afferma che L = N + B - 1. Individuare le maglie indipendenti è difficile. Per questo esiste una regola detta regola del taglio, in cui si sceglie una maglia qualsiasi e si elimina un bipolo alla volta, fino a quando è possibile individuare altre maglie.

Leggi di Kirchoff

Le leggi di Kirchoff sono due:

1. LKC (legge delle correnti): la somma algebrica delle correnti in un nodo è uguale a zero: ∑I_i = 0. Considerando che in un nodo non ci sia né generazione né accumulo di carica. Essa deriva dalla legge di conservazione della carica elettrica.
2. LKT (legge delle tensioni): la somma algebrica delle tensioni in una maglia è uguale a zero: ∑V_i = 0. Essa deriva dalla legge di conservazione della potenza. Il numero delle incognite è uguale al numero di rami. Inoltre, bisogna scrivere N - 1 equazioni, perché altrimenti avremo equazioni ridondanti nel sistema. È importante osservare che il verso di percorrenza della maglia è arbitrario.

Un nodo è degenere se in esso convergono solo due rami. Essi non danno informazioni relative alla corrente, perché la corrente che entra è uguale a quella che esce. È importante ricordare che la tensione ai capi del generatori di corrente è indeterminabile e non è possibile usare la KVL su una maglia in cui esso è presente.

Serie e parallelo

In generale, due bipoli si dicono equivalenti quando sono caratterizzati dalle stesse grandezze elettriche; ovvero, quando presentano la stessa tensione ai capi e la stessa corrente che li attraversa.

• In serie se hanno in comune un nodo degenere o, in modo analogo, sono attraversati dalla stessa corrente e generalmente hanno tensione diversa.
• In parallelo se sono collegati tra la stessa coppia di nodi o in modo analogo hanno la stessa tensione e generalmente diversa corrente.

Se in parallelo ci sono solo due resistori, è possibile usare la seguente formula: R₁·R₂ = R₁ + R₂.

Partitori di tensione e corrente

Il partitore di tensione permette di calcolare come si distribuisce la tensione su più resistori collegati in serie, nota la tensione totale. Il partitore di corrente mi permette di calcolare come si distribuisce la corrente su più resistori collegati in parallelo, nota la corrente totale.

Se abbiamo più di due resistori, possiamo usare due metodi:

1. Calcolare la resistenza parallelo tra i due resistori non interessati e poi applicare il partitore di corrente;
2. Usare le conduttanze e in particolare la seguente formula: I = ±(G / G_tot)·I_tot dove G è la conduttanza della resistenza su cui si vuole sapere la corrente.

Un'osservazione importante è che, se abbiamo due resistori in parallelo, tra cui un cortocircuito, la corrente è uguale a zero. Se abbiamo invece un circuito aperto, allora I₂ = 0 e I₁.

Collegamento di generatori

I generatori di tensione possono essere sommati solo se si trovano in serie. Il segno della tensione viene definito una volta definito il verso che assumerà il generatore. Invece, i generatori di corrente possono essere sommati solo se si trovano in parallelo. Il segno della corrente viene definito una volta definito il verso che assumerà il generatore.

È importante osservare che non è possibile avere due generatori di corrente in serie o due generatori di corrente in parallelo, perché costituirebbe un assurdo fisico.

La potenza

La potenza generata è la potenza che il generatore genera. Invece, la potenza erogata è la potenza che il generatore genera al netto di quella che viene dissipata sulla resistenza interna. Il rendimento è il rapporto tra potenza erogata e generata: η = P_erogata / P_generata, essa varia tra zero e uno. Questo rapporto ci dice quanto è efficiente il generatore nell’alimentare una resistenza.

Il generatore di tensione è ideale se R = 0 → η = 1; il generatore di corrente è ideale se R = ∞ → η = 0.

Passivazione generatori indipendenti

Passivare un generatore di tensione vuol dire sostituire la f.e.m. con un cortocircuito. Invece, passivare un generatore di corrente vuol dire sostituirlo con un circuito aperto. I generatori controllati non si possono passivare.

Semplificazione di circuiti con generatori controllati

Il caso a e b si comportano da cortocircuito se:

• a. V₁ = 0
• b. V₂ = 0

Il caso c e d si comportano da circuito aperto se:

• c. I₁ = 0
• d. I₂ = 0

In questi due casi, i generatori si trasformano in resistenze dal valore, rispettivamente, R₁ = -V₁/I₁ ed R₂ = -V₂/I₂.

Bipoli e circuiti lineari

Un circuito è lineare se tutti i bipoli che lo costituiscono sono lineari, tranne i generatori di tensione e corrente. Tra i generatori, quelli lineari sono solo i generatori controllati. Invece, quelli indipendenti non sono lineari. Considerando il circuito qui a lato, notiamo che non ci sono generatori indipendenti che possano accendere il circuito.

Resistori a stella e a triangolo

Tre resistenze si dicono collegate a stella se hanno un nodo degenere in comune, detto centro stella. Invece, tre resistenze si dicono collegate a triangolo se hanno un nodo non degenere in comune a due a due. Se le tre resistenze sono uguali si dice che la rete è bilanciata. Consideriamo il circuito di seguito separatamente. Possiamo notare che tre resistenze collegate a stelle presentano un’equivalenza con tre resistenze collegate a T. Invece, le tre resistenze collegate a triangolo presentano un’equivalenza con tre resistenze collegate a Δ.

Sostituendo nelle varie equazioni abbiamo:

• (1) R₁ = (R₁₂ + R₁₃ + R₂₃) / R₂₃
• (2) R₂ = (R₁₂ + R₁₃ + R₂₃) / R₁₃
• (3) R₃ = (R₁₂ + R₁₃ + R₂₃) / R₁₂

Cerchiamo le equazioni di trasformazione da triangolo a stella:

• (4) R₁ = (R₂₃·R₁₂) / (R₁₂ + R₁₃ + R₂₃)
• (5) R₂ = (R₁₃·R₁₂) / (R₁₂ + R₁₃ + R₂₃)
• (6) R₃ = (R₁₃·R₂₃) / (R₁₂ + R₁₃ + R₂₃)

Troviamo adesso le equazioni di trasformazione da stella a triangolo:

• (7) R₁₂ = (R₁·R₂ + R₂·R₃ + R₃·R₁) / R₂
• (8) R₁₃ = (R₁·R₂ + R₂·R₃ + R₃·R₁) / R₃
• (9) R₂₃ = (R₁·R₂ + R₂·R₃ + R₃·R₁) / R₁