Elementi di scienza delle costruzioni

Name: Elementi di scienza delle costruzioni
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Author: Is2001

Revisionato il 10/09/2026

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Appunti delle lezioni del professor Zani di Elementi di scienza delle costruzioni, seguita nell’anno accademico 2023/2024.Appunti integrati con il libro raccomandato dal professore durante …

Esame Elementi di Scienza delle Costruzioni e Principi di Progettazione Meccanica e C.I.

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Zani Nicola

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2023-2024

81 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Corpo rigido

Corpo rigido capace di sopportare soltanto spostamenti, deformazioni di tipo rigido.

Se esistono qualunque due punti di questo corpo che rimangono a distanza reciproca immutata, allora lo spostamento è definito rigido.

Deformazione

Deformazione: un’applicazione che ci dice, per ogni punto, qual è la posizione a deformazione avvenuta.

Tale applicazione deve essere iniettiva e differenziabile: punti distinti in punti distinti, così non compenetrazione ed esplosione di materiale.

X: ℓ → y

Questa deformazione è rigida se |X(p) - X(q)| = |p-q| ∀ p, q ∈ ℓ.

X(p) = R + M(p)

X(q) = q + M(q)

μ = X(p) - p

Il campo di spostamento associato a X. Se il codominio è un insieme di vettori, differenza tra due punti = un vettore libero.

μ: ℝ → V

X(p) - X(q) = Q(p-q)

Q è una matrice di rotazione.

Per essere di rotazione ordine ≤ 3:

QQ^t = Q^tQ = I

Spostamento rigido

Uno spostamento rigido è la somma di una traslazione + rotazione intorno a q.

μ(p) = M(q) (Q = I - (p-q))

Questo spostamento lo dico piano se tutti questi vettori appartengono ad un piano.

Q = _{[cos θ -sen θ]}_{[sen θ cos θ]}

θ è il parametro che mi esprime la rotazione e uno tirare nello spazio del corpo.

Q = _{[1 0 0]}_{[0 cos θ 0]}_{[0 0 1]}

Se lo spostamento è piccolo & adotto una linearizzazione.

Corpo rigido e deformazione

Corpo rigido capace di sopportare soltanto spostamenti, deformazioni di tipo rigido.

Se presi qualunque due punti di questo corpo rimangono a distanza reciproca immutata, allora lo spostamento è definito rigido.

Deformazione

Un'applicazione che ci dice per ogni punto, qual è la posizione a deformazione avvenuta. Tale applicazione deve essere iniettiva e differenziabile.

Punti distinti in punti distinti.

X: L → _𝒪

Questa deformazione è rigida se │X(p)-X(q)│=│p-q│ ; ∀p,q ∈ L

X(p)=R+μ(p)

X(q)=q+μ(q)

μ(p)+μ(q)+p-(q-I)(p-q)

Spostamento rigido

Uno spostamento rigido è la somma di una traslazione + rotazione intorno a q. Questo spostamento lo dico piano se tutti questi vettori appartengono ad un piano.

Q= ( ^{cos ρ-sin ρ} _{sin ρ cos ρ} )

θ =

Q=( ^{1 0 0} _{0 1 0} )

Spostamenti rigidi infinitesimi

Quando negli ambiti degli spostamenti rigidi infinitesimi:

(1 - Θ) (0 -1)

Q = Q - I = Θ è un tensore antisimmetrico.

(0 1) (1 0)

Μ(P) = Μ(Q) + (W) Λ (P - Q)

Se Q - I è antisimmetrico posso sostituire con il prodotto vettoriale per w =(0 -Θ)(Θ 0)

Rotazione rigida

Rotazione rigida, se è infinitesima approssimo o vincolo da una restrizione.

Semplice
Doppio (toglie 2 gdl)
Triplo
Carrello (vincolo semplice)

Acronimi Bmeteriali

Ρ = (x y)

Μ(P) = (Μ V)

W =

Può traslare.

Bloccato lungo

q1 = (x1 y1)

Μ(q1) - m = 0

Μ(q1)cosα + ν(q1)senα = 0

Μ(q1) = Μ(p) + w Λ (q1 - p)

Μ(q1) = Μ1 + Θ(y1 - y)

Μ(q1)V(q1) = ν + Θ (x1 - x)

i j k

0 0 Θ

1 2 3

l ROT.(x1 - x z1){M - Μ(y1 - y)}

cosΘ ± (ν + Θ(x1 - x)) sen α = 0

Relazione lineare omogenea.

L'espressione del vincolo (υ, ν, Θ non sono più indipendenti).

Questo vincolo toglie 1 grado di libertà.

α1 Μ + α2 ν + α3 Θ = 0

V + θ(x_L-x) = 0

Si ha rotazione rispetto ad un punto qualunque dell’asse.

Piano proiettivo

Piano proiettivo.

Oltre alle generiche rette si ha un punto chiamato improprio che esprime la loro direzione.

Ogni retta ha un punto improprio, l’insieme dei punti impropri è il piano proiettivo.

Quando ruoto rispetto ad un punto sempre più lontano si ha una traslazione nella direzione ortogonale.

Pendolo

Pendolo (vincolo semplice).

A livello infinitesimo consente la traslazione.

Finché lo considero un vincolo indeformabile la traslazione è come quella di cerniera.

Ho lo stesso effetto in qualunque punto dell’asse.

(Non conta quanto più lungo è il braccio)

Cerniera

Cerniera (vincolo doppio).

I vincoli doppi identificano il centro di rotazione (univocamente determinato).

Taglia 2 g.d.l. questo vincolo può soltanto ruotare.

M(q₂) = 0

V(q₁) = 0 = V + Θ(x_L-x)

Perché il vincolo non consente traslazione posso scrivere questo.

Due pendoli non coassiali costituiscono vincoli equivalenti nel punto di intersezione degli assi dei due pendoli (blocchiamo completamente lo spostamento) Il punto di intersezione

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