Economia sanitaria

Stima puntuale

È possibile analizzare un campione rappresentativo della popolazione.

La statistica inferenziale viene utilizzata per ottenere informazioni sulla popolazione sulla base dei dati raccolti. Un campione selezionato dalla stessa popolazione infinita è composto da tutte le possibili potenzialmente osservabili e non necessariamente già esistenti.

μ = E(X) σ² = Var(X)

Tutte le variabili casuali (X₁, X₂, ..., Xm) sono identicamente distribuite, i.e. v.c. prendono la stessa distribuzione di probabilità della popolazione X.

Il campione casuale è composto da m variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.).

L'errore campionario è sempre sconosciuto ma può essere contenuto aumentando le proprietà degli stimatori.

La stima t è un numero, è una realizzazione della v.c. T che rappresenta lo stimatore.

t (X₁, X₂, ..., Xm) = T

x₁, x₂, ..., xm → campione osservato

X₁, X₂, ..., Xm → campione casuale

t = t (x₁, x₂, ..., xm) → stima

T = t (X₁, X₂, ..., Xm) → stimatore

Lo stimatore dipende dal campione e possiede una distribuzione campionaria.

Media campionaria

Per stimare la media μ ignota si utilizza la media campionaria.

Stima X̄ = Σ_i=1^m x_i / m

Stimatore X̄ - Σ_i=1^m X_i / m

E(X̄) = μ per qualunque popolazione

Var(X̄) = σ²/m

4 Stima puntuale

È possibile analizzare un campione rappresentativo della popolazione.

La statistica inferenziale viene scelta per ottenere informazioni sulla popolazione sulla base dei dati raccolti: un campione selezionato dalla stessa. Una popolazione infinita è composta da tutte le potenzialmente osservabile e non necessariamente già esistenti.

μ = E(X) σ² = Var (X)

Tutte le variabili casuali (X₁, X₂, ... Xₙ) sono identicamente distribuite, quindi v.c. pongono la stessa distribuzione di probabilità della popolazione X.

Il campione casuale è composto da m variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite IID.

L'errore campionario è sempre sconosciuto ma può essere controllato variando le proprietà degli stimatori.

La stima t è un numero, è una realizzazione della v.c. T che rappresenta lo stimatore.

t (X₁, X₂, ... Xₙ) = T

x₁, x₂, ... xₙ → campione osservato

X₁, X₂, ... Xₙ → campione casuale

t = t (x₁, x₂, ... xₙ) → stima

T = t (X₁, X₂, ... Xₙ) → stimatore

Lo stimatore dipende dal campione e possiede una distribuzione campionaria.

Per stimare la media μ ignota si utilizza la media campionaria.

Stima X̄ = Σ_i=1^m x_i / m

Stima X̄ - Σ_i=1^m X_i / m

EQ[X̄] = μ per qualunque

Var(X̄) = σ²/m

Proporzione campionaria

Se la popolazione è Bernoulliana (tale valori 1 succ. e -tale&0 insuc.)

X̄ = (sum_i X_i) / n → m° totale di successi diviso n prove

→ stimatore proporzione campionaria (frequenza rel.)

E(X̄) = π

Var(X̄) = [π(1-π)] / n

La distribuzione esatta della proporzione campionaria ha una distribuzione proporzionale alle V.C. binomiale

X̄ ~ (1/n) binomiale (n, π)

Proprietà statistiche dello stimatore

Le proprietà statistiche dello stimatore servono e controllano l’errore campionario e inglobano il concetto di affidabilità: accuratezza e precisione.

Punto consistenza campionaria M —> _n→∞ Consistente campionaria omoschematica

* Per il T. limite centrale, qualunque sia a popolazione X la media campionaria avrà come approssimato una v.c. normale

Correttezza

Uno stimatore T&={T-head} è corretto se E(T)=θ_t

Bias = E(CTT-θ) = distorsione

Efficienza

Uso errore quadratico medio (MSE)

MSE(T) = Var(T) + B(T)²

Var(T) = E[(T - E(T))²]

Ti = più efficiente di T2 se MSE(T₁) 2)

Uno stimatore è corretto →_t

MSE(T) = Var(T)

Ti è più efficiente di T2 se Var(T₁) 2)

Consistenza

Consistenza è consistente se lo stimatore di glim MSE(T_m) - lim E(T_m - g)² = 0

N.B lim MSE(T_n) = 0 SOLO SE inoltre coerente asintotico

lim MSE (T_n) = lim Var (T_n) = 0

se X ~ Bernoulli: (π)

E(̄X) = π -> coerente

Var(̄X) = π(1-π)m -> consistente

̄X = Σ_I=1=mX_i / m

Stima della varianza

Si considera una popolazione X con media μ e σ²

Varianza campi