Domande esame Sistemi di Welfare

1.1 Definizioni rischio e incertezza

1.1 Definizioni rischio e incertezza (Knight e Hubbard). Atteggiamenti di un individuo verso una lotteria. Poi individuare i coefficienti di avversione al rischio (assoluto e relativo) e le relative funzioni utilità.

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Secondo Knight

Secondo Knight: (incertezza soggettiva) nelle situazioni di incertezza l’agente economico non può stimare e quindi associare una probabilità al verificarsi degli eventi futuri; (incertezza oggettiva) nelle situazioni di rischio l’agente economico è in grado di stimare e quindi associare una probabilità al verificarsi degli eventi futuri.

La distinzione tra rischio e incertezza si riferisce alla possibilità di associare o meno una probabilità al verificarsi di ogni possibile evento futuro.

Secondo Hubbard

Secondo Hubbard: l’incertezza è la mancanza di certezza, uno stato di conoscenza limitata in cui non è possibile descrivere esattamente lo stato esistente, i risultati futuri o più di un risultato possibile (connotazione neutra); il rischio è uno stato di incertezza in cui alcuni possibili risultati hanno un effetto indesiderato o una perdita significativa (connotazione negativa).

Atteggiamenti verso una lotteria

Nei confronti di una lotteria, un individuo può essere definito: avverso al rischio, propenso al rischio, neutrale al rischio.

• Avverso al rischio quando: U (EV ) > EU; EV > EC; RP > 0; utilità: u (x ) = x_i^1/2; utilità strettamente concava.
• Propenso al rischio quando: U (EV ) < EU; EV < EC; RP < 0; utilità: u (x ) = x_i²; utilità strettamente convessa.
• Neutrale al rischio quando: U(EV)=EU; EV=EC; RP=0; u (x ) = x; utilità lineare.

L’equivalente certo EC (EC = u⁻¹ (EU) = EU²) è il prospetto senza rischio che genera un livello di utilità pari all’utilità attesa della lotteria.

Il premio per il rischio RP (RP = EV − EC) è il massimo ammontare che l’individuo è disposto a pagare per eliminare il rischio.

Il grado di avversione al rischio è direttamente proporzionale alla curvatura della funzione di utilità: più la funzione è concava, più l’individuo è avverso al rischio.

Coefficiente assoluto di avversione al rischio

Il coefficiente assoluto di avversione al rischio di Arrow-Pratt:

Derivata prima u′ > 0 ⇒ funzione crescente.

Derivata seconda u′′ < 0 ⇒ funzione concava.

In base al coefficiente assoluto di avversione al rischio, una funzione di utilità si definisce:

• DARA (Decreasing Absolute Risk Aversion) se
• CARA (Constant Absolute Risk Aversion) se
• IARA (Increasing Absolute Risk Aversion) se

Coefficiente relativo di avversione al rischio

Relativo R (x): il coefficiente di avversione al rischio è un’estensione del coeff. R_R.

In questo caso, il valore del coefficiente non è indipendente dall’unità di misura adottata.

In base al coefficiente relativo di avversione al rischio, una funzione di utilità si definisce:

• DRRA (Decreasing Relative Risk Aversion) se
• CRRA (Constant Relative Risk Aversion) se
• IRRA (Increasing Relative Risk Aversion) se

1.2 Selezione avversa e azzardo morale in ambito assicurativo

1.2 Definire e differenze tra selezione avversa e azzardo morale in ambito assicurativo e analizzare il caso della selezione avversa con esempio numerico.

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Le asimmetrie informative si verificano quando due o più soggetti intendono definire un contratto ed uno dei contraenti ignora alcune informazioni riguardo a:

• Situazioni ex-ante (selezione avversa - hidden information)
• Situazioni ex-post (azzardo morale - hidden action)

Nel modello principale-agente il principale P è il soggetto che si trova nella situazione di informazione incompleta e l’agente A è il soggetto che dispone di un’informazione privata.

Azzardo morale: P non ha il controllo completo di un’azione che A può svolgere dopo la stipula del contratto (ex-post) e che influisce sulla prestazione contrattuale.

Selezione avversa: P ignora alcune informazioni in possesso di A preesistenti alla stipula del contratto (ex-ante) e rilevanti ai fini del contratto.

Selezione avversa

L’insieme dei soggetti A non è omogeneo ma è composto da soggetti a basso rischio L e a soggetti ad alto rischio H ai quali è associata una maggiore probabilità che si verifichi l’evento negativo (assicurato) tale che p_H > p_L.

Con informazione completa P offre due tipi di contratti alle due tipologie di A realizzando un ottimo paretiano di first best. Ad una perdita attesa pari a L corrisponde una copertura completa pari a C = L ed è possibile calcolare due premi equi: P_L = p_L · C, e P_H = p_H · C, con P_L < P_H.

Poiché U^a_L = 8.9443 > U_L = 8.8284 e U^a_H = 8.3666 > U_H = 8.2426 sia i soggetti del gruppo L, sia i soggetti del gruppo H stipulano i contratti.

Selezione avversa e contratti

Con selezione avversa P può offrire: (a) un pooling contract, (b) due separating contracts.

a) In caso di pooling contract, P offre lo stesso contratto a tutti gli A:

• Se il contratto venisse disegnato per L verrebbe sottoscritto sia da L sia da H,
• Se il contratto venisse disegnato per H verrebbe sottoscritto solo da H,
• Se il contratto fosse caratterizzato da un premio unico medio P̄ garantirebbe l’equilibrio finanziario.

Tuttavia quest’ultimo contratto, con n_L = 0.6 e n_H = 0.4, (con n_L + n_H = 1), sarebbe caratterizzato da: p = 0.6 * 0.4 + 0.4 * 0.6 = 0.48.

P = p * C = 0.48 * 50 = 24.

Poiché P̄ > P_L, tale contratto verrebbe sottoscritto solo da H. Di conseguenza non esiste un pooling equilibrium, e se il pooling contract venisse offerto si avrebbe un fallimento del mercato e sarebbe necessario un intervento pubblico.

Poiché Ū (8.7178) < U_L (8.8284) gli individui L preferiscono non assicurarsi e quindi si ha un fallimento di mercato.

b) In caso di separating contracts, P offre contratti disegnati in modo che vi sia auto-selezione (self-selection) da parte delle diverse tipologie di agenti. P offre:

• Ai soggetti H un contratto caratterizzato da premio alto a copertura integrale C_H = L con P_H = p_H · C
• Ai soggetti L un contratto caratterizzato da premio basso a copertura parziale Cˇ_L = α · L con α < 1 e Pˇ_L = p_L · Cˇ

Se α è tale per cui i soggetti H non preferiscono il contratto a copertura parziale al contratto a copertura totale, allora i soggetti H si auto-selezionano (self-selection constraint). Tale situazione è un equilibrio di mercato, ma non è pareto ottimale: con copertura parziale Cˇ < C i soggetti L devono partecipare al rischio, di conseguenza si ha fallimento del mercato e servirebbe di un intervento pubblico.

Infatti se venissero offerti i contratti a copertura integrale C = L = 50 con P_L = 20 e P_H = 30 individuati nel caso di informazione completa, gli individui H preferirebbero il contratto disegnato per gli individui L:

Û^a_H (8.9443) > U^a_H (8.3666).

Quindi ai soggetti L viene offerto un contratto a copertura parziale Cˇ = α · L tale che (self-selection constraint): U^a_H ≥ Û^a_H.

In tabella abbiamo infatti che U^a_H = Û^a_H (8.3666) e Û^a_L (8.8617) > U_L (8.8284).

Tuttavia Û^a_L (8.8617) < U^a_L (8.9443): il separating contract non è il first best e quindi si ha un fallimento di mercato.

1.3 Azzardo morale in ambito assicurativo

1.3 Definire differenze tra selezione avversa e azzardo morale in ambito assicurativo e analizzare il caso dell’azzardo morale con esempio numerico.

Le asimmetrie informative si verificano quando due o più soggetti intendono definire un contratto ed uno dei contraenti ignora alcune informazioni riguardo a:

• Situazioni ex-ante (selezione avversa - hidden information)
• Situazioni ex-post (azzardo morale - hidden action)

Nel modello principale-agente il principale P è il soggetto che si trova nella situazione di informazione incompleta e l’agente A è il soggetto che dispone di un’informazione privata.

Selezione avversa: P ignora alcune informazioni in possesso di A preesistenti alla stipula del contratto (ex-ante) e rilevanti ai fini del contratto.

Azzardo morale: P non ha il controllo completo di un’azione che A può svolgere dopo la stipula del contratto (ex-post) e che influisce sulla prestazione contrattuale.

Azzardo morale

A tutti i soggetti è associata la stessa probabilità che si verifichi l’evento negativo (assicurato):

• Se essi compiono un’azione che comporta una spesa pari a S la probabilità che l’evento negativo si verifichi è p_L,
• Se essi non compiono tale azione la probabilità che l’evento negativo si verifichi è p_H con p_H > p_L.

In assenza di assicurazione, dato il valore non rilevante di S e poiché p_L = 0.2 ≪ p_H = 0.5, si ottiene U_L (9.1391) > U_H (8.5355) e quindi i soggetti compiono l’azione che riduce la probabilità dell’evento dannoso.

In caso di informazione completa, P potrebbe offrire contratti con premi distinti a seconda che A effettui o meno la spesa S realizzando un ottimo paretiano. Ad una perdita attesa pari a L corrisponde una copertura completa pari a C = L ed è possibile calcolare due premi equi: P_L = p_L · C = 10, P_H = p_H · C = 25. Con P_L < P_H.

Tutti i soggetti compiono l’azione che riduce la probabilità che l’evento negativo si verifichi se: l’ammontare della spesa non è rilevante P_L + S < P_H, e la riduzione della probabilità che l’evento negativo si verifichi è consistente P_L ≪ P_H.

Dato S, tale che P_L + S = 10+5 < P_H =25 e p_L =0.2 ≪ p_H = 0.5, si ottiene:

• U^a_L (9.2195) > U^a_H (8.6603): i soggetti compiono l’azione che riduce la prob. dell’evento dannoso,
• U^a_L (9.2195) > U_L (9.1391): i soggetti stipulano il contratto.

In caso di azzardo morale se venissero offerti i due contratti tutti i soggetti sceglierebbero il contratto con premio pari a P_L pur non compiendo l’azione che riduce la probabilità dell’evento dannoso:

Ũ^a (9.4868) > U^a_L (9.2195).

Allora viene offerto a tutti i soggetti, sia che compiano sia che non compiano l’azione che riduce la probabilità dell’evento dannoso, un contratto caratterizzato da copertura parziale: C̆ = α · L e P̆ = p_L · C̆ con α < 1 (incentive constraint) tale che: Ŭ^a_H (9.2122) ≥ Ŭ^a_L (9.2122).

Con non solo Ŭ^a_H (9.2122) > U_H (8.5355), ma anche Ũ^a_L (9.2122) > U_L (9.1391).

Quindi, dato il valore non rilevante di S e poiché p_L ≪ p_H, i soggetti hanno interesse a stipulare il contratto e a compiere l’azione che riduce la probabilità dell’evento negativo sostenendone la spesa. Tuttavia Ŭ^a_L (9.2122) < U^a_L (9.2195). Di conseguenza non si ha first best, ovvero si ha un fallimento di mercato.

2.1 Modello microeconomico del ciclo vitale

2.1 Modello microeconomico del ciclo vitale. Derivare il tasso di variazione dei consumi in caso di (a) certezza, (b) incertezza, ed (c) incertezza con assicurazione di rendita vitalizia.

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I modelli microeconomici prendono in considerazione la funzione di utilità con 0 inizio della vita lavorativa; D momento della morte e c_t consumo al tempo t, u(c_t) utilità del consumo al tempo t, e ρ tasso di preferenza intertemporale. Inoltre si assume che l’utilità sia crescente u′ (c_t) > 0 e concava u′′ (c_t) < 0.

a) Caso di certezza

Considerando un tempo continuo con D periodi, con D momento della morte. Il tasso di variazione dei consumi è:

Inoltre la ricchezza nel corso del tempo assume un profilo hump shaped:

• Cresce negli anni di vita lavorativa (risparmio positivo),
• Raggiunge il massimo al momento del pensionamento P,
• Decresce negli anni della vecchiaia (risparmio negativo),
• Si azzera al momento della morte D.

Mentre un incremento di ρ provoca un’anticipazione dei consumi, in caso di individuo risparmiatore un incremento di r ha effetti ambigui sul piano ottimale del consumo:

• Ipotizzando che la distribuzione temporale dei redditi abbia un’età media inferiore a quella dei consumi, un tasso r più elevato implica che il prezzo relativo dei consumi in termini di reddito si riduca rendendo possibile un consumo più elevato in tutti i periodi della vita (effetto reddito);
• Un tasso r più elevato comporta la riduzione del prezzo effettivo del consumo futuro inducendo ad una posticipazione dei consumi (effetto sostituzione).

b) Caso di incertezza

Forme di incertezza: durata della vita, redditi da lavoro, tassi di interesse e bisogni futuri.

L’individuo può essere soggetto a vincoli di liquidità.

La funzione da massimizzare è una funzione di utilità attesa E(U(C)) e le utilità future oltre che essere scontate soggettivamente sulla base della preferenza intertemporale ρ, vengono anche moltiplicate per la probabilità di sopravvivenza p_t.

Il tasso di variazione dei consumi è:

(q_t il tasso istantaneo di mortalità all’età t).

In generale con r, ρ > 0 e r ≥ ρ:

• Se r − ρ > q_t (basso tasso istantaneo di mortalità) allora r − ρ − q_t > 0 e quindi il consumo ha un andamento crescente nelle età in cui la probabilità di morte è bassa;
• Se r − ρ < q_t (alto tasso istantaneo di mortalità) allora r − ρ − q_t <