Domande e Risposte complete - Probabilità e Statistica

Argomenti di statistica e probabilità

Primo elenco

• Differenza tra 2 medie nella normale standardizzata
• Funzione generatrice di momenti: def + proprietà
• Probabilità condizionata
• Stima di una proporzione + ellisse di confidenza
• Funzione di ripartizione, proprietà + disegno
• Teorema del limite centrale (TLC) + dimostrazione
• Spazio di probabilità
• Regressione lineare
• Disuguaglianza di Cramer-Rao
• Legge di Poisson e come deriva dalla Bernoulliana
• Calcolare stimatore di massima verosimiglianza per distrib.
• Test del Chi² (di indipendenza e di adattamento)
• Test d’ipotesi
• Legge dei grandi numeri + dimostrazione
• Disuguaglianza di Chebyshev + dimostrazione
• Formula di Bayes
• V. A. continue bidimensionali, densità congiunte e marginali
• Teorema delle probabilità totali + dimostrazione
• Varianza, covarianza e coefficiente di correlazione
• Intervalli di confidenza per campioni gaussiani; definizioni, approssimazioni, derivazione dell’espressione
• Analisi della Varianza

Secondo elenco

• Differenza tra 2 medie nella normale standardizzata
• Funzione generatrice di momenti: def + proprietà
• Probabilità condizionata
• Stima di una proporzione + ellisse di confidenza
• Funzione di ripartizione, proprietà + disegno [Bernoulli]
• Teorema del limite centrale (TLC) + dimostrazione
• Spazio di probabilità
• Regressione lineare
• Disuguaglianza di Cramer-Rao
• Legge di Poisson e come deriva dalla Bernoulliana
• Calcolare stimatore di massima verosimiglianza per distrib.
• Test del X² (d'indipendenza e di adattamento)
• Test d’ipotesi
• Legge dei grandi numeri + dimostrazione
• Disuguaglianza di Chebyshev + dimostrazione
• Formula di Bayes
• V. A. continue bidimensionali, densità congiunte e marginali
• Teorema delle probabilità totali + dimostrazione
• Varianza, covarianza e coefficiente di correlazione
• Intervalli di confidenza per campioni gaussiani; definizioni, approssimazioni, derivazione dell'espressione
• Analisi della Varianza

1) Differenza tra due medie nella normale standardizzata

X,Y due popolazioni

X ~ ℕ(μ₁, σ₁²), Y ~ ℕ(μ₂, σ₂²)

Varianze note

σ₁², σ₂² noti

Due campioni:

(x₁, x₂, ..., x_n), (y₁, y₂, ..., y_m)

X̅_n = (x₁ + x₂ + ... + x_n) / n

Y̅_m = (y₁ + y₂ + ... + y_m) / m

Stimatori di μ̂₁ - μ̂₂ per MLE

μ̂₁ - μ̂₂ = X̅_n - Y̅_m ~ ℕ(μ₁ - μ₂, σ₁² / n + σ₂² / m)

Z = (X̅_n - Y̅_m - μ₁ + μ₂) / √(σ₁² / n + σ₂² / m) ~ ℕ(0, 1)

Intervalli di confidenza

Per gli intervalli di confidenza

P(|Z| < z_α/2) = 1 - α

P(-z_α/2 < (X̅_n - Y̅_m - μ₁ + μ₂) / √(σ₁² / n + σ₂² / m) < z_α/2) = 1 - α

P(X̅_n - Y̅_m - z_α/2 √(σ₁² / n + σ₂² / m) < μ₁ + μ₂ < X̅_n - Y̅_m + z_α/2 √(σ₁² / n + σ₂² / m)) = 1 - α

Varianze non note

σ₁², σ₂² non noti

Z = W = (X̅_n - Y̅_m - (μ₁ - μ₂)) / √(S₁² / n + S₂² / m)

S₁², S₂² varianze campionarie

W: molto complicata => σ = σ₁ = σ₂

χ_n−1² ~ (n−1) S₁² / σ²

χ_m−1² ~ (m−1) S₂² / σ²

=> χ_n+m−2² = χ_n−1² + χ