Domande di teoria elettrotecnica

Descrivere i metodi di analisi per le reti di bipoli lineari in regime stazionario (sovrapposizione degli effetti, generatori equivalenti di Thevenin e Norton)

Metodi di analisi delle reti di bipoli lineari in regime stazionario

Nel regime stazionario continuo (correnti e tensioni costanti nel tempo), l’analisi delle reti di bipoli lineari si basa su modelli algebrici e sulle leggi di Kirchhoff. Tra i metodi più importanti e utilizzati vi sono il principio di sovrapposizione degli effetti e i metodi dei generatori equivalenti di Thévenin e Norton, che permettono di semplificare notevolmente lo studio dei circuiti.

Principio di sovrapposizione degli effetti

Il principio di sovrapposizione afferma che, in una rete lineare, l’effetto complessivo prodotto da più generatori indipendenti è uguale alla somma degli effetti prodotti da ciascun generatore considerato singolarmente.

Procedura:

• Si considera un solo generatore alla volta.
• Tutti gli altri generatori indipendenti vengono spenti:
  • Generatore ideale di tensione → cortocircuito.
  • Generatore ideale di corrente → circuito aperto.
• Si calcola la grandezza di interesse (corrente o tensione).
• Si sommano algebricamente i contributi.

Validità:

• Vale solo per reti lineari.
• Non si applica direttamente alle potenze (che sono grandezze quadratiche).

Significato fisico:

La linearità del circuito implica che le equazioni che lo descrivono siano lineari; pertanto, le soluzioni si sommano.

Generatore equivalente di Thévenin

Il teorema di Thévenin stabilisce che qualsiasi rete lineare vista da due morsetti può essere sostituita da:

• Un generatore ideale di tensione V_Th.
• In serie con una resistenza equivalente R_Th.

Determinazione dei parametri:

• V_Th: tensione a vuoto ai morsetti.
• R_Th: resistenza vista dai morsetti con i generatori indipendenti spenti.

(oppure R_Th = V_Th / I_CC)

Utilità:

• Semplifica il calcolo della corrente su un carico.
• Consente di studiare facilmente la variazione del carico.
• È fondamentale nello studio della massima potenza trasferita.

Generatore equivalente di Norton

Il teorema di Norton è duale a quello di Thévenin e afferma che la stessa rete può essere rappresentata come:

• Un generatore ideale di corrente I_N.
• In parallelo con una resistenza equivalente R_N.

Determinazione dei parametri:

• I_N: corrente di cortocircuito.
• R_N = R_Th.

Relazione Thévenin–Norton: I_N = V_Th / R_Th.

Confronto e applicazioni

• Thévenin è più comodo con carichi in serie.
• Norton è più adatto a reti con paralleli.
• Entrambi descrivono lo stesso comportamento esterno della rete.
• Permettono di ridurre una rete complessa a un semplice bipolo equivalente.

I metodi di sovrapposizione e dei generatori equivalenti costituiscono strumenti fondamentali per l’analisi delle reti lineari in regime stazionario. Essi consentono di ridurre la complessità dei circuiti, facilitare i calcoli e fornire una chiara interpretazione fisica del comportamento della rete, risultando indispensabili sia per l’analisi teorica sia per le applicazioni pratiche.

Descrivere il concetto e le proprietà dei doppi bipoli lineari e dei generatori pilotati

Doppi bipoli lineari e generatori pilotati

Nel contesto dell’elettrotecnica, un doppio bipolo è un sistema elettrico costituito da due porte, ciascuna formata da una coppia di morsetti, attraverso le quali il sistema può scambiare energia con l’esterno. I doppi bipoli rappresentano un modello fondamentale per lo studio di circuiti complessi, amplificatori, trasformatori e reti accoppiate, e sono particolarmente utili quando si analizza il comportamento di un circuito in termini di relazioni ingresso–uscita.

Porta elettrica e doppio bipolo

Una porta elettrica è definita come una coppia di morsetti tale che la corrente entrante da un morsetto sia uguale e opposta a quella uscente dall’altro. Un doppio bipolo è quindi una rete dotata di due porte, caratterizzata da:

• Tensioni di porta V₁, V₂.
• Correnti di porta I₁, I₂.

Il comportamento del doppio bipolo è completamente descritto da equazioni lineari che legano queste grandezze.

Equazioni dei doppi bipoli lineari

Per un doppio bipolo lineare, le relazioni tra tensioni e correnti sono lineari e possono essere espresse in diverse forme equivalenti.

Parametri di impedenza (parametri M):

V₁ = M₁₁I₁ + M₁₂I₂,

V₂ = M₂₁I₁ + M₂₂I₂.

Analogamente si possono definire:

• Parametri di ammettenza (Y).
• Parametri ibridi (h).
• Parametri di trasmissione (A, B, C, D).

Ciascun insieme di parametri fornisce una rappresentazione completa ed equivalente del doppio bipolo.

Linearità e reciprocità

Un doppio bipolo è lineare se soddisfa il principio di sovrapposizione degli effetti.

È detto reciproco se: M₁₂ = M₂₁.

La reciprocità implica che l’effetto di una sorgente applicata alla porta 1 sulla porta 2 è identico all’effetto di una sorgente applicata alla porta 2 sulla porta 1. Questa proprietà è tipica delle reti passive prive di generatori pilotati.

Generatori pilotati (o controllati)

I generatori pilotati sono sorgenti la cui tensione o corrente dipende da un’altra grandezza del circuito. Essi sono elementi fondamentali per modellare dispositivi attivi come transistor e amplificatori.

Si distinguono quattro tipologie:

• Generatore di tensione pilotato in tensione (VCVS).
• Generatore di tensione pilotato in corrente (CCVS).
• Generatore di corrente pilotato in tensione (VCCS).
• Generatore di corrente pilotato in corrente (CCCS).

Le relazioni sono sempre lineari, ad esempio: V_p = kV o I_p = kI.

Proprietà dei generatori pilotati

• Possono fornire potenza al circuito.
• Rendono la rete attiva.
• Possono violare la reciprocità.
• Non vengono spenti nel principio di sovrapposizione.

Sono essenziali nella descrizione di doppi bipoli attivi.

Doppi bipoli e generatori pilotati

Un doppio bipolo che contiene generatori pilotati:

• Resta lineare.
• Ma in genere non è reciproco.
• Può amplificare segnali.

L’uso dei generatori pilotati permette di rappresentare il comportamento ingresso–uscita in modo compatto ed efficace.

I doppi bipoli lineari costituiscono un potente strumento di modellazione dei circuiti elettrici, consentendo di descrivere sistemi complessi tramite relazioni lineari tra tensioni e correnti di porta. I generatori pilotati ampliano questo modello introducendo elementi attivi capaci di controllo e amplificazione, risultando indispensabili nello studio delle reti elettriche moderne.

Reti in regime sinusoidale, fasori, impedenze (valore efficace, fase, equazioni di Kirchhoff per i fasori, significato di impedenza e di reattanza induttiva e capacitiva)

Reti in regime sinusoidale: fasori e impedenze

Una rete elettrica opera in regime sinusoidale stazionario quando tutte le grandezze elettriche (tensioni e correnti) sono sinusoidali nel tempo, con uguale frequenza e ampiezza costante. In questo regime, l’analisi dei circuiti può essere notevolmente semplificata mediante l’uso dei fasori e delle impedenze, che trasformano il problema dal dominio del tempo al dominio complesso.

Grandezze sinusoidali e valore efficace

Una grandezza sinusoidale può essere espressa come:

x(t) = √Xsin(ωt + φ)

dove:

• X è il valore efficace (RMS).
• ω = 2πf è la pulsazione.
• φ è la fase iniziale.

Il valore efficace rappresenta il valore continuo equivalente in termini di potenza dissipata su un resistore.

Fasori

Nel regime sinusoidale stazionario, a ogni grandezza sinusoidale è associato un fasore, definito come:

=

Il fasore è un numero complesso che:

• Ha modulo pari al valore efficace.
• Ha argomento pari alla fase.

L’uso dei fasori consente di sostituire:

• La derivata temporale con la moltiplicazione per jω.
• L’integrazione con la divisione per jω.

Impedenza e significato fisico

L’impedenza è l’estensione del concetto di resistenza al regime sinusoidale ed è definita come:

Z = = R + jX

dove:

• R è la parte reale (resistenza).
• X è la reattanza.

L’impedenza misura l’opposizione complessiva del bipolo al passaggio della corrente alternata.

Reattanza induttiva e capacitiva

Induttore: Z_L = jωL, X_L = ωL > 0 ⇒

La corrente è in ritardo di fase rispetto alla tensione.

Condensatore: Z_C = X_C = − < 0 ⇒

La corrente è in anticipo di fase rispetto alla tensione.

Equazioni di Kirchhoff per i fasori

Le leggi di Kirchhoff rimangono formalmente identiche, ma vengono applicate ai fasori:

• Legge delle tensioni (LKT): ∑V = 0.
• Legge delle correnti (LKC): ∑I = 0.

Grazie all’uso delle impedenze, i circuiti in regime sinusoidale vengono risolti come reti puramente algebr