Domande di teoria di Meccanica applicata alle macchine

Teoria meccanica applicata alle macchine

1. Equazione di struttura ed equazione di Grübler

Si ricavino l’equazione di struttura e l’equazione di Grübler. Se ne spieghi il significato. Si evidenzino almeno due casi nei quali l’equazione di Grübler può cadere in difetto e si forniscano opportuni esempi.

L’equazione di Grübler viene utilizzata per stabilire sistematicamente quali possano essere i meccanismi articolati piani a mobilità zero. L’equazione viene definita come:

n = 3(m − 1) − 2c₁ − c₂ = 0

Per definire la mobilità di un meccanismo, si parte dall’equazione di struttura. Consideriamo un meccanismo generico nello spazio tridimensionale composto da m membri che, compreso il telaio, riduce i membri mobili a m − 1. Un corpo libero nello spazio possiede 6 gradi di libertà. Di conseguenza, prima di essere cinematicamente vincolati, i membri mobili possiedono complessivamente 6(m − 1) gradi di libertà.

L’introduzione di coppie cinematiche (vincoli) riduce i gradi di libertà del sistema. Se definiamo c_i il numero di coppie cinematiche che sottraggono i gradi di libertà, con i che va da 1 a 5, l’equazione di struttura nello spazio che definisce i gradi di libertà totali n del meccanismo diventa:

Σn = 6(m − 1) − (i*c_i)

Se ci limitiamo allo spazio planare, cioè ai meccanismi bidimensionali, un corpo libero possiede solo 3 gradi di libertà. I vincoli cinematici nel piano possono essere di due tipi: coppie cinematiche a un grado di libertà o coppie cinematiche a due gradi di libertà. Indicando con c₁ il numero di coppie a 1 GDL e con c₂ il numero di coppie a 2 GDL, l’equazione di struttura nel piano si riduce a:

n = 3(m − 1) − 2c₁ − c₂

Il significato fisico di n definisce la natura del sistema:

• Se n > 0 il sistema è un meccanismo con n gradi di libertà, reali e indipendenti. Rappresenta il numero di motori o parametri di ingresso necessari per controllarlo univocamente.
• Se n = 0, il sistema è una struttura isostatica, cioè un traliccio rigido non deformabile.
• Se n < 0, il sistema è una struttura iperstatica, cioè un sistema con vincoli ridondanti.

L’equazione di Grübler può cadere in difetto in quanto non tiene conto delle reali dimensioni geometriche o del loro orientamento nello spazio:

• Un primo esempio può essere quando le grandezze delle aste rispettano precise condizioni geometriche di parallelismo o uguaglianza. Se si introduce un vincolo cinematico, questo risulta geometricamente identico a uno già presente, diventando “inutile” dal punto di vista statico ma permettendo il movimento.

Consideriamo un parallelogramma articolato, m = 4, 3 mobili e 1 telaio, c₁ = 4 cerniere, i cui lati opposti sono perfettamente uguali a 2 a 2.

n = 3(4 − 1) − 2*4 = 9 − 8 = 1

Se a questo meccanismo aggiungo un’asta perfettamente uguale e parallela alle bielle laterali ottengo m = 5 e c₁ = 6, che mi dà n = 3(5 − 1) − 2*6 = 12 − 12 = 0.

Questo prevede che il sistema sia una struttura immobile dato n = 0, ma nella realtà a causa del parallelismo perfetto il sistema si muove comunque con n = 1; l’equazione cade quindi in difetto perché non riconosce che il sesto vincolo era geometricamente “inutile”.

• Un secondo esempio può essere quando un membro del meccanismo può muoversi senza alterare minimamente la trasmissione del moto tra l’ingresso e l’uscita del resto del sistema. Consideriamo una camma che spinge una punteria, ma per ridurre l’attrito viene interposta una rotella agganciata alla punteria tramite una cerniera, abbiamo m = 4, c₁ = 3 e c₂ = 1 che fa ottenere:

n = 3(m − 1) − 2*c₁ − c₂ = 9 − 6 − 1 = 2

La formula prevede due gradi di libertà, tuttavia dal punto di vista funzionale il meccanismo ha 1 solo grado di libertà; il secondo grado dato dalla formula è il movimento locale e isolato della rotella che gira su se stessa attorno al proprio perno. L’equazione cade in difetto poiché non distingue tra movimenti globali e movimenti locali passivi.

2. Metodo iterativo di Newton-Raphson

Si discuta l’applicazione del metodo iterativo di Newton-Raphson alla soluzione di problemi di analisi cinematica di posizione di meccanismi piani in catena chiusa formati da una o più maglie indipendenti.

Il metodo di Newton-Raphson trova un ampio utilizzo nei problemi di cinematica dei meccanismi ed è un metodo iterativo, ovvero viene impostato e risolto ripetendo, in sequenza, una serie di operazioni ben definite.

Per quanto riguarda la sua applicazione nei problemi di analisi cinematica di posizione di meccanismi piani in catena chiusa formati da una o più maglie, questo viene utilizzato una volta che, impostata l’equazione di chiusura del poligono o della maglia a cui si sta facendo riferimento, si nota la presenza di due incognite, entrambe contenenti seni o coseni delle incognite, rendendo impossibile la soluzione analitica diretta in forma chiusa.

Si definiscono quindi le due equazioni in scalare dell’equazione di chiusura dalle quali poi, effettuando le derivate parziali, è possibile scrivere lo Jacobiano del sistema di equazioni. Si definisce quindi la matrice Jacobiana del sistema [J(q)] = df/dq, avente dimensioni 2M x 2M, i cui elementi sono le derivate parziali di ciascuna equazione di chiusura rispetto a ciascuna coordinata incognita.

L’algoritmo prevede la determinazione del vettore delle incognite al passo successivo i + 1 tramite la formula di aggiornamento iterativo. Il metodo iterativo non va avanti all’infinito, ma si stabilisce una tolleranza molto piccola che impone di fermarsi quando l’errore, cioè il residuo delle equazioni, è minore della tolleranza ||F(q_i+1)|| < ε.

Esempio:

Delle equazioni procedo ad effettuare le derivate parziali che mi permettono di definire la matrice Jacobiana. La formula da usare per applicare il metodo di Newton-Raphson sarà quindi.

3. Gruppo di Assur e diade

Si fornisca la definizione e la classificazione di Gruppo di Assur e di diade. Si risolva con metodo analitico il problema cinematico di posizione per la diade di seconda specie RPR rappresentata in figura, evidenziando dati e incognite del problema.

I gruppi di Assur sono definiti come le catene cinematiche con grado di mobilità zero non ulteriormente riducibili, ovvero dalle quali non è possibile ottenere una nuova catena cinematica con la stessa mobilità rimuovendone uno o più membri. Tramite l’equazione di Grübler è possibile stabilire sistematicamente quali possano essere i meccanismi articolati piani a mobilità zero.

Limitandoci al caso delle coppie di classe 1, quindi non considerando il caso di coppie superiori, saranno i meccanismi tali per cui avviene:

n = 3(m − 1) − 2c₁ = 0

I gruppi di Assur godono di particolari proprietà. Se a un meccanismo ad n gradi di libertà viene aggiunto un gruppo di Assur, il numero dei gradi di libertà del meccanismo ottenuto rimane invariato. Una seconda caratteristica dei gruppi di Assur è che la loro analisi cinematica può essere svolta in funzione dei valori di posizione, velocità e accelerazione che posseggono le estremità libere del gruppo stesso.

L’analisi di posizione può quindi essere effettuata risolvendola dapprima per il meccanismo base e poi risolvendo, in sequenza, le ulteriori diadi, se presenti.

• Gruppi di classe II: Sono i gruppi più semplici e in assoluto più frequenti nei meccanismi industriali, come i quadrilateri articolati o i manovellismi. Sono composti rigorosamente da 2 membri e 3 coppie cinematiche inferiori. Applicando l’equazione di Grübler nel piano n = 3(m − 1) − 2c₁, n = 3*2 − 2*3 = 6 − 6 = 0.
• Gruppi di classe III: Contengono una maglia interna formata da 3 membri collegata ad altre aste. Ad esempio, una configurazione tipica prevede 4 membri e 6 coppie cinematiche, la cui mobilità isolata è sempre zero: n = 3(4) − 2(6) = 12 − 12 = 0.
• Gruppi di classe IV e superiori: Coinvolgono maglie interne con 4 o più membri e un numero cinematicamente proporzionale di vincoli per mantenere la mobilità totale pari a zero.

Per quanto riguarda le diadi ne esistono 5 tipi: RRR, RRP, RPR, RPP, PRR. Si precisa che la catena cinematica PPP non definisce una diade, dato che il meccanismo risultante possiede un grado di mobilità unitario.

Analisi della diade in figura RPR

Si suppongono noti: la posizione di A e C, la lunghezza BC e l’angolo γ₁₂. Quest’ultimo è un invariante geometrico, ossia un valore costante indipendentemente dalla posizione relativa di A e C. Le incognite sono φ₁ e z₁. La fase z₂ non viene annoverata tra le incognite, essendo nota una volta nota φ₁. Altresì φ₁ e φ₂ non assumono valori tra loro indipendenti.

Si caratterizza il vettore z₃:

Da cui poi trovo anche φ₃:

Applico poi il teorema del seno al triangolo ABC e trovo:

Dalla prima uguaglianza trovo:

Ovvero:

Valgono le relazioni:

Sapendo poi che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a π:

Che uso per trovare z₁:

4. Singolarità cinematica

Definire il concetto di singolarità cinematica di un meccanismo articolato piano in catena chiusa ed evidenziare le sue proprietà. Portare un opportuno esempio esplicativo.

Dato un meccanismo articolato, la possibilità di calcolare le velocità e i rapporti di velocità di un meccanismo è subordinata alla possibilità di risolvere il problema lineare: Jx’ = −Aq’. La soluzione di tale problema richiede l’inversione della matrice Jacobiana J, operazione che può essere effettuata se e soltanto se la matrice J non è singolare.

La matrice J è detta singolare quando il suo determinante è nullo, ovvero se det J = 0. Ricordando che la Jacobiana è funzione delle coordinate libere, ovvero J(q), ne consegue che possono esistere, ma non devono necessariamente, valori di q tali per cui J è singolare: si parlerà in questo caso di configurazioni singolari.

La condizione di singolarità ha quindi un ben preciso significato algebrico: la non possibilità di calcolare delle velocità x_j’ invertendo J. Va poi preso in considerazione che l’esistenza di una o più configurazioni singolari dipende non solo dal valore di q, ma anche dalla scelta di q, essendo tale scelta, come precisato, arbitraria. Di conseguenza, variando il “contenuto” di q è possibile “rimuovere” o “aggiungere” la possibilità di configurazioni singolari.

Esempio:

Equazioni di chiusura delle velocità sono:

Ora se imponiamo q = z₃ = x_p, la forma matriciale dell’equazione di chiusura diventa:

Questa rappresenta che il moto del meccanismo è comandato dalla velocità del pattino, trovo quindi il determinante della matrice:

Tale determinante si annulla per:

Le singolarità pertanto si manifestano quando i vettori z₁ e z₂ sono allineati. Tali punti corrispondono alle configurazioni in cui si inverte il moto, ovvero corrispondono al punto in cui la velocità del pattino è nulla anche per una velocità della manovella non nulla.

In tale caso non è possibile calcolare il valore assunto da φ₁’ e φ₂’ a partire da x_p’. Considerando il punto morto superiore, ovvero per φ₁ = φ₂ = 0, l’equazione matriciale diventa:

Che equivale alle equazioni:

La prima indica che il valore di x_p’, pur essendo scelto arbitrariamente, risulta nullo per effetto della configurazione, perdita di un grado di libertà. La seconda implica che φ₁’ è legato a φ₂’ e viceversa, recuperato un grado di libertà.

In generale si può affermare che a ogni singolarità corrisponde un travaso di gradi di libertà dal vettore delle velocità delle coordinate libere al vettore velocità delle incognite. Questa condizione di singolarità si verifica solo scegliendo x = q_p.

5. Centri di istantanea rotazione

Si individuino e si traccino tutti i centri di istantanea rotazione, del moto assoluto e relativo, per il meccanismo rappresentato in figura.

Nel meccanismo rappresentato in figura sono presenti 4 membri, telaio incluso: telaio, asta orizzontale, pattino, asta verticale. Dato questo numero calcolo il numero di CIR usando la formula:

(4*3)/2 = 6

Di questi 6 CIR: 3 sono assoluti, c₁, c₂, c₃, e 3 sono relativi, c₁₂, c₁₃, c₂₃.

6. Momento d’inerzia rispetto al polo B

Si calcoli il momento d’inerzia rispetto al polo B del membro rappresentato in figura, di cui MD è la massa del disco, MAC la massa della porzione AC di asta, MCD la massa della porzione CD di asta.

• Disco raggio r.
• L_AC lunghezza tratto asta A-C.
• L_CD lunghezza tratto asta C-D.

Utilizzeremo il teorema di Huygens-Steiner con struttura I_B = I_G + M*d², dove d è distanza tra baricentro del singolo componente e il polo finale B.

Contributo disco

Il suo baricentro si trova esattamente al suo centro geometrico, quindi il momento di inerzia baricentrale di un disco è:

I_G,D = ½ M_D * r²

La distanza tra centro del disco G_D e il punto B è pari alla somma del raggio più la distanza tra A e B:

d_D = r + d_AB

Applicando Steiner per trasportarlo in B:

I_B,Disco = ½ M_D * r² + M_D * (r + d_AB)²

Contributo asta AC

Il suo baricentro G_AC si trova esattamente a metà della sua lunghezza, cioè a distanza L_AC/2 dal punto A, il momento baricentrale di un’asta è:

I_G,AC = 1/12*M_AC*L_AC²

La distanza tra il baricentro dell’asta G_AC e il polo B si ricava per differenza o somma geometrica rispetto alla posizione di B. Sapendo che B dista d_AB da A, la distanza sarà:

d_AC = |L_AC/2 − d_AB|

Applicando Steiner per trasportarlo in B:

I_B,AC = 1/12*M_AC*L_AC² + M_AC*(L_AC/2 − d_AB)²

Contributo asta CD

Il suo baricentro G_CD si trova esattamente a metà della sua lunghezza, cioè a distanza L_CD/2 dal punto C, il momento baricentrale di un’asta è:

I_G,CD = 1/12*M_CD*L_CD²

La distanza tra il baricentro dell’asta G_CD e il polo B vale la distanza da B a C, L_AC − d_AB, più la distanza da C al baricentro del tratto CD, L_CD/2:

d_CD = (L_AC − d_AB) + L_CD/2

Applicando Steiner per trasportarlo in B:

I_B,CD = 1/12*M_CD*L_CD² + M_CD*(L_AC − d_AB + L_CD/2)²

Il momento di inerzia totale rispetto al polo B si ottiene sommando direttamente i tre contributi appena trovati, in quanto si tratta di una proprietà additiva:

I_B,Disco + I_B,AC + I_B,CD = I_B

7. Approccio Newtoniano nella dinamica inversa

Ricavare le relazioni, per i membri e per gli accoppiamenti cinematici, che caratterizzano l’approccio Newtoniano nello studio della dinamica inversa dei meccanismi articolati piani.

Il metodo di analisi dinamica dei meccanismi articolati basata sull’approccio Newtoniano può essere scomposto in tre fasi distinte:

1. Scomposizione del meccanismo in membri distinti.
2. Identificazione delle forze agenti su ciascun membro.
3. Definizione delle equazioni di equilibrio, due per le forze e una per i momenti, per ogni membro del meccanismo.

L’equilibrio di forze e coppie per il singolo corpo/membro può essere formulato