Dimostrazioni statistica: valore atteso, distribuzione normale bivariata, devianza di regressione, teorema di Bayes, intervalli di confidenza

Dimostrazioni statistica

1. Dimostrazione devianza di regressione

Partendo dall'equazione delle rette di regressione -> y_i = a + b x_i, poiché a = y - b x, l'equazione diventa -> y_i = y - b x + b x_i.

messo in evidenza b

quindi diventa -> y_i = y + b(x_i - x)

sposto a sinistra

y_i - y = b(x_i - x)

poiché le quantità servono al quadrato -> (y_i - y)² = b²(x_i - x)²

Pertanto possiamo affermare che la devianza di regressione, cioè la somma degli scostamenti al quadrato del valore stimato dalla media, è calcolabile anche come b² . ∑(x_i - x)²

Poiché b² = [∑(x_i - x)(y_i - y)]² / (∑(x_i - x)²)², possiamo scrivere la devianza di regressione come ∑(y_i - y)² = [∑(x_i - x)(y_i - y)]² / (∑(x_i - x)²)² . ∑(x_i - x)² = [∑(x_i - x)(y_i - y)]² / ∑(x_i - x)²

2. Dimostrazione intervallo di confidenza di una media con varianza nota

Vogliamo calcolare i valori L1 e L2 che con una probabilità del 95% contengono la media della popolazione.

1-α = P[L1 ≤ μ ≤ L2]

Dal Teorema del limite centrale sappiamo che la media della popolazione è la media delle medie, la deviazione standard è data da σ/√n e la variabile standardizzabile tramite l'equazione z = (x - μ)/(σ/√n)

Perciò sostituiamo μ con la variabile standardizzata:

1-α = P[L1 ≤ (x - μ)/(σ/√n) ≤ L2]

Dimostrazioni statistica

1. Dimostrazione devianza di regressione

Partendo dall'equazione delle rette di regressione -> ŷ_i = â + b̂x_i, poiché a = ȳ - bx̄, l'equazione diventa -> ŷ_i = ȳ - bx̄ + b̂x_i

quindi diventa -> ŷ_i = ȳ + b̂(x_i - x̄)

sposto a sinistra

ŷ_i - ȳ = b̂(x_i - x̄)

poiché le quantità servono al quadrato -> (ŷ_i - ȳ)² = b̂²(x_i - x̄)²

Pertanto possiamo affermare che la devianza di regressione, cioè la somma degli scostamenti al quadrato del valore stimato dalla media è calcolabile anche come, b̂² ∑(x_i - x̄)²

Poiché b̂ = [∑(x_i - x̄)(y_i - ȳ)] / (∑(x_i - x̄)²), possiamo scrivere la devianza di regressione come ∑(ŷ_i - ȳ)² = [∑(x_i - x̄)(y_i - ȳ)]² / (∑(x_i - x̄)²) = [∑(x_i - x̄)(y_i - ȳ)]² / ∑(x_i - x̄)²

2. Dimostrazione intervallo di confidenza di una media con varianza nota

Vogliamo calcolare i valori L1 e L2 che con una probabilità del 95% contengono la media della popolazione.

1-α = P[ L1 ≤ μ ≤ L2 ]

Dal Teorema del limite centrale sappiamo che la media della popolazione è la media delle medie, la deviazione standard è data da σ / √n e la variabile standardizzabile tramite l'equazione z = x - μ / σ√n

Perciò sostituiamo μ con la variabile standardizzata:

1-α = P[ L1 ≤ x̄ - μ / √n ≤ L2 ]

ora moltiplichiamo tutto per 1/sigma, perché l'ineguaglianza da trovare è

1-a = P [ L sigma/sqrt(n) <= xbar - mu <= -L sigma/sqrt(n) ]

Isoliamo mu -> 1-a = P [ xbar - L sigma/sqrt(n) <= mu <= xbar + L sigma/sqrt(n) ]

infine, sostituiamo -L e +L con il fattore di correzione z

1-a = P [ xbar - z sigma/sqrt(n) <= mu <= xbar + z sigma/sqrt(n) ]

3. Dimostrazione intervallo di confidenza per una proporzione

Il parametro da stimare non è più una media, bensì una proporzione.

la variabile X presenta una distribuzione binomiale con u = np e s = np(1-p)

Se n -> oo e p ≃ 0,5, la distribuzione binomiale può essere approssimata a quella di Gauss, quindi avremo z = (xbar - np) / sqrt(np(1-p))

Volendo calcolare i valori L1 e L2 entro i quali, con una probabilità del 95%, è presente il parametro p da calcolare, nella formula generale 1-a = P [L1 <= p <= L2], andremo a sostituire p con (xbar-np) / sqrt(np(1-p))

1-a = P [ -c <= (xbar - np) / sqrt(np(1-p)) <= +c ] e, poiché l'inequità p da trovare si trova sia al numeratore che al denominatore, bisogna razionalizzare:

1-a = P [ ((xbar - np) / sqrt(np(1-p)))² <= c² ] -> 1-a = P [ (xbar² + n²p² - 2npx) / np(1-p) <= c² ]

risolvendo l'equazione di 2° grado, si ottengono due radici che possono essere approssimate a questa formula:

1-a = P [ p̂ - z sqrt(p̂(1-p̂)/n) <= p <= p̂ + z sqrt(p̂(1-p̂)/n) ]

stima della proporzione

errore della stima

4. Dimostrazione valore atteso

Per determinare se esiste un legame tra due variabili qualitative attraverso il metodo della correlazione, dopo aver stabilito le assunzioni (distribuzione multinomiale, variabili qualitative) e le ipotesi statistiche (H0: pij = pi. pj)(H1: pij != pi. pj), si devono calcolare i valori attesi.

In ogni cella della tabella RxC (r = righe, c = colonne) c'è una distribuzione binomiale, data da E = n.p -> probabilità di successo

numero di prove

Perciò, per ogni cella possiamo scrivere Eij = N. pij.

poiché si imposta l'indipendenza delle due variabili e sappiamo che P(B|A)=P(A).P(B), pij è dato da pij = pi. pj (prob. di riga x prob di colonna), perciò la formula iniziale diventa Eij = N.pi.pj.

Sappiamo che: pi = ni/N e pj = nj/N, perciò sostituendo nella precedente formula otteniamo -> Eij = N. ni/N . nj/N, perciò, dopo aver semplificato, la formula finale diventa: Eij = ni.nj/N, cioè totale di riga x totale di colonna / tot

5. Dimostrazione distribuzione normale bivariata

Il coefficiente di correlazione di Pearson r ci indica il tipo di legame che si instaura tra due variabili:

• R = 1 proporzionalità diretta
• R = -1 proporzionalità inversa
• R = 0 variabili indipendenti

questo è vero solo se le due variabili seguono la distribuzione normale bivariata

Consideriamo una generica variabile X con distribuzione di Gauss:

f(x) = 1/sqrt(2pi) . e^{[-1/2((x-mux)/sigmax)2]}

Consideriamo ora una variabile y sempre con distribuzione di Gauss:

f(y) = 1/(sigma_ysqrt(2pi)) * e^{[-1/2 ((y - mu_y)/sigma_y)2]}

Se le due variabili sono legate tra loro possono essere descritte dai parametri mu_x, mu_y, sigma_x, sigma_y e rho(rho) tramite l'equazione:

f(x,y) = 1/(2pi sigma_xsigma_ysqrt(1-rho²)) * e^{[-1/(2(1-rho)2) ((x-mu_x)/sigma_x)2 + ((y-mu_y)/sigma_y)2 - 2 rho ((x-mu_x)/sigma_x)((y-mu_y)/sigma_y)]}

volendo dimostrare che per rho=0 le due variabili sono indipendenti, la funzione diventa:

f(x,y) = 1/(2pi sigma_xsigma_y) * e^{[-1/2 ((x-mu_x)/sigma_x)2 + ((y-mu_y)/sigma_y)2]}

ora, considerando che 2pi = sqrt(2pi) * sqrt(2pi), possiamo scrivere:

f(x,y) = 1/(sqrt(2pi)sigma_x) * 1/(sqrt(2pi)sigma_y) * e^{[-1/2 ((x-mu_x)/sigma_x)2 + ((y-mu_y)/sigma_y)2]}

= 1/(sqrt(2pi)sigma_x) * 1/(sqrt(2pi)sigma_y) * e^{[-1/2 ((x-mu_x)/sigma_x)2]} * e^{[-1/2 ((y-mu_y)/sigma_y)2]}

Considerando la proprietà delle potenze secondo cui e^a+b = e^a + e^b, possiamo scrivere:

e^{[-1/2 ((x-mu_x)2/sigma_x) + ((y-mu_y)2/sigma_y)]} = e^{[-1/2 ((x-mu_x)2/sigma_x)]} + e^{[-1/2 ((y-mu_y)2/sigma_y)]}

Sostituendo queste formule in quella originale otteniamo:

f(x,y) = 1/(sqrt(2pi)sigma_x) * 1/(sqrt(2pi)sigma_y) * e^{[-1/2 ((x-mu_x)/sigma_x)2]} * e^{[-1/2 ((y-mu_y)/sigma_y)2]}

riorganizzando si ottiene la formula finale:

f(x,y) = 1 / sub aria?"??