Dimostrazioni statistica: valore atteso, distribuzione normale bivariata, devianza di regressione, teorema di Bayes, intervalli di confidenza

DIMOSTRAZIONI STATISTICA

1. DIMOSTRAZIONE DEVANZA DI REGRESSIONE

   Partendo dall'equazione della retta di regressione, poiché l'equazione diventa metto in evidenza quindi diventa, sposto a sinistra

   Poiché le quantità servono al quadrato, pertanto possiamo affermare che le devianza di regressione, cioè la somma degli scostamenti al quadrato del valore stimato dalla media è calcolabile anche come

   Poiché possiamo scrivere la devianza di regressione come

2. DIMOSTRAZIONE INTERVALLO DI CONFIDENZA DI UNA MEDIA (CON VARIANZA NOTA)

   Vogliamo calcolare i valori che con una probabilità del 95% contengono la media della popolazione

   Dal TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE sappiamo che la media della popolazione è la media delle medie, la deviazione standard è data da e la variabile è standardizzabile tramite l'equazione

   Perciò sostituiamo con la variabile standardizzata:

DIMOSTRAZIONI STATISTICA

1. DIMOSTRAZIONE DEVANZA DI REGRESSIONE

Partendo dall'equazione della retta di regressione, poiché l'equazione diventa metto in evidenza quindi diventa, sposta a sinistra Poiché le quantità servono al quadrato, pertanto possiamo affermare che la devianza di regressione, cioè la somma degli scostamenti al quadrato del valore stimato dalla media è calcolabi è anche come Poiché possiamo scrivere la devianza di regressione come

2. DIMOSTRAZIONE INTERVALLO DI CONFIDENZA DI UNA MEDIA (CON VARIANZA NOTA)

Vogliamo calcolare i valori L₁ e L₂ che con una probabilità del 95% contengono la media della popolazione Dal TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE sappiamo che la media della popolazione è la media delle medie, la deviazione standard è data da σ/√n e la variabile standardizzabile tramite l'equazione Perciò sostituiamo μ con la variabile standardizzata:

ora moltiplichiamo tutto per σ/√n, perché l'incognita da trovare è μ

(1-α) = P ^[ L _- ^{x̄ - μ}/_σ/√n ≤ μ ≤ L ^{+ x̄ - μ}/_σ/√n ^]

isolationo μ →, 1-α = P ^{[ x̄ - L}/_σ/√n ≤ μ ≤ x̄ ^{+ L}/_σ/√n ^]

infine, sostituiamo -L e +L con il fattore di correzione z

1-α = P ^[ x̄ _- ^zσ/_√n ≤ μ ≤ x̄ ^{+ zσ}/_√n ^]

3. Dimostrazione Intervallo di Confidenza per una Proporzione

Il parametro da stimare non è più una media, bensì una proporzione.

La variabile x presenta una distribuzione binomiale con μ = np e σ = √np(1-p)

Se n⟶∞ e p = 0.5, la distribuzione binomiale può essere approssimata a quella di Gauss, quindi avremo z = ^{x̄ - np}/_√np(1-p)

Volendo calcolare i valori L₁ e L₂ entro i quali, con una probabilità del 95%, è presente

il parametro p da calcolare, nella formula generale 1-α = P ^[ L₁ ≤ p ≤ L₂ ^] andremo

a sostituire p con ^{x̄ - np}/_√np(1-p)

1-α = P ^[ -c ≤ ^{x̄ - np}/_√np(1-p) ≤ +c ^] e, poiché l'incognita p da trovare si trova sia al

numeratore che al denominatore, bisogna razionalizzare:

1-α = P ^{[ x̄ - np}/_√np(1-p) ≤ c ^] ∪ 1-α = P ^{[ x̄ ± nσ² - 2lnp}/_np(1-p) ≤ c² ^]

risolvendo l'equazione di 2° grado, si ottengono due radici che possono essere approssimate a questa formula:

1-α = P ^[ p̂ _- ^z√(1-p̂)/_n ≤ p ≤ p̂ ₊ ^z√(1-p̂)/_n ^]

stima della proporzione, errore della stima

4. Dimostrazione Valore Atteso

Per determinare se esiste un legame tra due variabili qualitative attraverso il metodo della correlazione, dopo aver stabilito le assunzioni (distribuzione multinomiale, variabili qualitative) e le ipotesi statistiche (H₀: pij = pi·pj) (Hₐ: pij ≠ pi·pj), si devono calcolare i valori attesi.

In ogni cella della tabella R×C (r = righe, c = colonne) c'è una distribuzione binomiale, data da E: n·p → probabilità di successo

numero di prove

Perciò, per ogni cella possiamo scrivere Eij = N·pij.

Poiché si imposta l'indipendenza delle due variabili e sappiamo che P(B∩A) = P(A)·P(B), pij è dato da pij = pi·pj (prob. di riga x prob di colonna), perciò la formula iniziale diventa Eij = N·pi·pj.

Sappiamo che: pi = ni/N e pj = nj/N, perciò sostituendo nella precedente formula otteniamo

Eij = N·ni/N·nj/N, perciò, dopo aver semplificato, la formula finale diventa: Eij = ni.nj/N, cioè totale di riga x totale di colonna/tot

5. Dimostrazione Distribuzione Normale Bivariata

Il coefficiente di correlazione di Pearson r ci indica il tipo di legame che si instaura tra due variabili:

• r=1 proporzionalità diretta
• r=-1 proporzionalità inversa
• r=0 variabili indipendenti

questo è vero solo se le due variabili seguono la distribuzione normale bivariata

Consideriamo una generica variabile x con distribuzione di Gauss:

f(x)= ¹/_√(2π) · e^{[-½ [(x-µx)/σx]²]}

ok

Che

Consideriamo ora una variabile y sempre con distribuzione di Gauss:

f(y)= ₁^σ_y√2π e^{[- ₁2 ( _y-μyσ_y )2]}

Se le due variabili sono legate tra loro possono essere descritte dai parametri μ_x,μ_y,σ_x,σ_y e p (rho) tramite l'equazione:

f(x,y)= ₁^{2πσ_xσ_y√1-p2} e^{[- ₁2(1-p2) ( _x-μxσ_x )2 + ( _y-μyσ_y )2 -2ρ ( _x-μxσ_x ) ( _y-μyσ_y ) ]}

Volendo dimostrare che per ρ=0 le due variabili sono indipendenti, la funzione diventa:

f(x,y)= ₁^2πσ_xσ_y e^{[- ₁2 ( _x-μxσ_x )2 + ( _y-μyσ_y )2 ]}

ora, considerando che 2π=√2π⋅√2π possiamo scrivere:

f(x,y)= ₁^{√2π√2π σ_xσ_y} e^{[- ₁2 ( _x-μxσ_x )2 + ( _y-μyσ_y )2 ]}

= 1√2π σx 1√2π σy e [- 12 ( x-μxσx )2 + ( y-μyσy )2 ]

Considerando la proprietà delle potenze secondo cui e^a+b = e^a e^b, ossia:

e^{[- ₁2 ( _x-μxσ_x )2 + ( _y-μyσ_y )2 ] = e [- ₁2 ( _x-μxσ_x )2 ] e [- ₁2 ( _y-μyσ_y )2 ]}

Sostituendo queste formule in quella originale otteniamo:

f(x,y)= 1√2π σx 1√2π σy e [- 12 ( x-μxσx )2 ] e [- 12 ( y-μyσy )2 ]

ristrutturando si ottiene la formula finale:

f(x,y) = 1/√2πσ_x · e^{[-1/2 (x-μ_x/σ_x)²]} · 1/√2πσ_y · e^{[-1/2 (y-μ_y/σ_y)²]}

f(x) f(y)

Quindi alla fine possiamo concludere che per ρ=0 la funzione delle due variabili è data dal prodotto tra le singole funzioni di x e y

f(x,y) = f(x)·f(y)

6. DIMOSTRAZIONE TEOREMA DI BAYES

Il teorema di Bayes è utilizzato per calcolare la probabilità a posteriori, partendo da quella a priori.

In particolare, si calcola come cambiano queste ultime dopo l'acquisizione di una nuova informazione aggiuntiva derivante da un test che chiamiamo T+

Quindi la domanda da porsi è: qual è la probabilità che si verifichi l’evento A_i (evento condizionato) dato T+ (evento condizionante)?

Questa probabilità è data da:

P(A_i|T+) = P(A_i∩T+) / P(T+)

Scomponiamo prima il numeratore:

P(A_i∩T+) = P(A_i|T+)·P(T₊), prendendo in considerazione il sintomoP(T₊|A_i)·P(A_i), prendendo in considerazione la malattia

vp/(tot. malati)

Scomponiamo adesso il denominatore: