Definizioni Matematica generale

Matematica: definizioni

Funzione

Si definisce funzione da A (insieme di partenza) a B (insieme di arrivo) la relazione o legge che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B.

Funzione suriettiva

Una funzione si definisce suriettiva quando il suo insieme immagine coincide con il Codominio.

Funzione iniettiva

Una funzione si definisce iniettiva se ad elementi distinti del Dominio corrispondono elementi distinti del Codominio, per ogni coppia di elementi del Dominio.

Funzione biiettiva (biunivoca)

Se una funzione è sia suriettiva che iniettiva allora si definisce biunivoca o biiettiva. Se è biunivoca allora sussiste una corrispondenza 1:1 tra gli elementi del Dominio e gli elementi del Codominio.

Prodotto cartesiano

Una funzione può essere vista anche come prodotto cartesiano in quanto i punti che la compongono sono individuati sul piano da coppie di elementi ordinati. Si crea così un insieme che ha per elementi coppie formate da un elemento del Dominio e da un elemento del Codominio. Si indica così: A × B.

Insieme numerico

• Insieme N: insieme dei numeri naturali (interi positivi: 0, 1, 2, 3, 4, …); N indica l’insieme dei numeri naturali interi positivi escluso lo zero.
• Insieme Z: insieme dei numeri relativi (interi positivi e negativi: -2, -1, 0, 1, 2, ...);
• Insieme Q: insieme dei numeri razionali (che possono essere espressi tramite frazione);

Retta orientata

Dotata di un verso di percorrenza; al suo interno si può definire un segmento orientato in modo positivo o negativo; (la relazione tra i punti di una retta orientata e i numeri razionali non è una corrispondenza biunivoca in quanto a ogni numero razionale corrisponde un punto della retta ma non è vero che ad ogni punto della retta corrisponde un numero razionale: esistono infatti anche i numeri irrazionali).

Teorema

L’ascissa D intesa come ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti 1 non è un numero razionale, per questo si spiega l’esistenza di numeri “ulteriori” rispetto a quelli contenuti nell’insieme Q dei numeri razionali.

Insieme R

Insieme dei numeri reali dato dall’unione dell’insieme Q e dell’insieme I (contenente i numeri irrazionali); allineamento che contiene tutti i numeri, finiti e infiniti, periodici e non periodici. All'interno di questo insieme esiste una corrispondenza biunivoca tra i suoi elementi e i punti della retta orientata. Ci si possono svolgere tutte le operazioni e si possono stabilire relazioni di ordine totale.

Relazione di ordine totale

• Per ogni a, b, c appartenente a R tali che a ≤ b, allora a + c ≤ b + c;
• Per ogni a, b appartenente a R, per ogni c appartenente a R U 0, se a ≤ b, allora a * c ≤ b * c;
• Per ogni a, b appartenente a R, per ogni c appartenente a R U 0, se a ≤ b, allora a * c ≥ b * c.

Valore assoluto (modulo)

Operatore che restituisce sempre valori positivi o nulli. |x| = x se x ≥ 0; |x| = -x se x è minore di 0.

Teorema della differenza triangolare

Per ogni x, y appartenente a R vale che |x + y| è minore o uguale di |x| + |y|.

Intervalli

• Intervallo chiuso: un intervallo si dice chiuso quando gli estremi sono compresi e sono anch’essi elementi dell’intervallo (a ≤ x ≤ b); [a, b].
• Intervallo aperto: un intervallo si dice aperto quando gli estremi non sono compresi e non sono elementi dell’intervallo (a minore x minore b); (a, b).
• Intervallo illimitato superiormente: un intervallo si dice illimitato superiormente quando ha come estremo inferiore a e come estremo superiore +∞. Si dice inoltre aperto se 'a' non appartiene all’intervallo mentre si dice chiuso se 'a' è compreso nell’intervallo.
• Intervallo illimitato inferiormente: un intervallo si dice illimitato inferiormente quando ha come estremo superiore a e come estremo inferiore -∞. Inoltre si dice aperto se 'a' non è catturato nell’intervallo mentre si dice chiuso se 'a' è compreso nell’intervallo.

Insieme completo

Un insieme si dice completo quando è costituito da coppie di insiemi contigui (non ci sono buchi).

Insiemi separati

Due insiemi si dicono separati se tutti gli elementi di uno sono minori di tutti gli insiemi dell’altro. Esiste allora almeno un elemento separatore compreso tra gli elementi dell’uno e gli elementi dell’altro.

Insiemi contigui

Due insiemi separati si dicono contigui se tra essi c’è uno spazio di distanza minimo (se per ogni epsilon maggiore di 0 esistono a e b tali che b - a sia minore di epsilon). Se A e B sono separati, esiste almeno un elemento separatore; se A e B sono contigui, esiste uno ed un solo elemento separatore che corrisponde all’estremo superiore di A e all’estremo inferiore di B.

Maggiorante di un insieme

Il maggiorante di un insieme è qualsiasi elemento K che sia ≥ a tutti gli elementi dell’insieme assegnato. Non deve necessariamente appartenere all’insieme. L'insieme dei maggioranti spesso contiene infiniti elementi, es [7; +∞).

Minorante di un insieme

Il minorante di un insieme è qualsiasi elemento K che sia ≤ a tutti gli elementi dell’insieme assegnato. Non deve necessariamente appartenere all’insieme. L'insieme dei minoranti contiene spesso infiniti elementi, es (-∞; 7].

Insieme limitato

Un insieme che ha almeno un maggiorante si definisce limitato superiormente. Un insieme che ha almeno un minorante si dice limitato inferiormente. Un insieme che è limitato sia inferiormente che superiormente (ha sia maggiorante che minorante) si definisce limitato.

Massimo e minimo di un insieme

• Massimo di un insieme: un insieme ammette massimo se esiste un elemento appartenente all’insieme il cui valore è maggiore o uguale al valore di tutti gli altri elementi dell’insieme.
• Minimo di un insieme: un insieme ammette minimo se esiste un elemento appartenente all’insieme il cui valore è minore o uguale al valore di tutti gli altri elementi dell’insieme.

NB: il minimo e il massimo devono essere compresi nell’insieme (catturati)! I maggioranti e i minoranti possono essere compresi ma possono anche non esserlo.

Estremo superiore e estremo inferiore di un insieme

• Estremo superiore: coincide con il minore dei maggioranti dell’insieme stesso; è maggiore o uguale a qualsiasi elemento dell’insieme e per ogni epsilon positivo deve valere che sup X – epsilon sia minore di tutti gli elementi. Coincide con il massimo dell’insieme se è compreso in esso.
• Estremo inferiore: coincide con il maggiore dei minoranti dell’insieme stesso; è minore o uguale a qualsiasi elemento dell’insieme e per ogni epsilon positivo deve valere che inf X + epsilon sia maggiore di tutti gli elementi. Coincide con il minimo dell’insieme se è catturato in esso.

Sommatoria e produttoria

• Sommatoria: Σ è un simbolo composto da indice di sommatoria (elemento h da cui si parte), numero di elementi sommati e argomento della sommatoria (legge di funzionamento, segue il simbolo).
• Produttoria: π è un simbolo composto da indice di produttoria (elemento h da cui si parte), numero di elementi a cui applicare il prodotto e argomento, che determina la legge di funzionamento e segue il simbolo.

Fattoriale

n! Simbolo che indica la produttoria di più numeri consecutivi; n! = (n-1!) * n.

Insieme C

Insieme dei numeri complessi, insieme non ordinato in cui, grazie all’utilizzo dell’unità immaginaria i è possibile eseguire alcune operazioni che nell’insieme R risulterebbero impossibili, come la radice quadrata di un numero negativo.

Teorema fondamentale dell'algebra

Ogni equazione di grado n a coefficienti complessi ammette n soluzioni in C, ciascuna contata con la sua molteplicità.

Vettore

Si dice vettore a n componenti una n-upla ordinata di numeri. Il vettore è uno spazio ben ordinato (si potrebbe pensare a un magazzino, uno scaffale) composto da elementi. Si identifica in un punto nel piano. Gli elementi che lo compongono si chiamano componenti che vengono raffigurate in colonna (vettore colonna) oppure in riga (vettore riga). A seconda del numero delle componenti si dicono vettori in Rⁿ. Se rappresento un vettore a due componenti, la prima sta sull’asse orizzontale e la seconda sull’asse verticale; se è a tre componenti, la prima sta sulla sinistra, la seconda sulla destra e la terza sulla verticale).

Vettori particolari

• Vettore nullo, indicato con zero “sotto segnato”, si contraddistingue perché le sue componenti sono tutte uguali a zero.
• Vettore i-esimo fondamentale, si indica con e “sotto segnato” e i all’apice, è un vettore che è composto da tutti zeri e un 1, che è la i-esima componente del vettore (e₁ è il vettore che ha la prima componente uguale a 1 e le altre uguali a zero).
• Vettore unitario u è composto da tutte componenti di valore 1.

Operazioni tra vettori

Le operazioni tra vettori si possono effettuare soltanto se i due vettori in questione hanno lo stesso numero di componenti:

Somma tra due vettori

La somma tra due vettori è un’operazione interna a Rⁿ che mi dà come risultato un altro vettore di uguali componenti; per eseguire l’operazione occorre eseguire la somma algebrica tra le componenti che occupano la stessa posizione nel vettore. Tale operazione ha le seguenti proprietà:

• Commutativa (v₁+v₂=v₂+v₁)
• Associativa (v₁+(v₂+v₃) = (v₁+v₂) +v₃)
• Proprietà che garantisce l’esistenza dell’elemento opposto (per ogni vettore x esiste un vettore –x per cui x+(-x) = 0) e dell’elemento neutro della somma (v₁+0=0+v₁=v₁).

Differenza tra due vettori

v₁-v₂=v₁+(-v₂).

Prodotto di vettori per uno scalare

È anch’essa un’operazione interna a Rⁿ che dà come risultato un altro vettore. Moltiplicando un vettore per uno scalare (un numero indicato con h) devo moltiplicare ogni componente del vettore per h.

• Se h è maggiore di 1, il vettore ottenuto ne mantiene la direzione e il verso ma con intensità maggiore (se h è 2, raddoppiata); se invece h è compreso tra 0 e 1, il vettore manterrà la stessa direzione e lo stesso verso ma con intensità minore (se h è ½, dimezzata). Con h=0 si ottiene il vettore nullo. Se h è minore di zero, la direzione sarà la stessa (giacciono sulla stessa riga), ma il verso sarà l’opposto.
• Proprietà: 1- Associativa (k*(hv₁) = h*(kv₁)); 2- Proprietà che garantisce l’esistenza dell’elemento neutro (1*v₁=v₁); 3) Proprietà distributiva (h*(v₁+v₂) = hv₁+hv₂);((h+k)v₁=hv₁+kv₁).

Spazio vettoriale

Spazio in cui è possibile inserire le operazioni di somma e prodotto tra vettori, all’interno del quale valgono alcune particolari proprietà. Rⁿ è uno spazio vettoriale lineare.

Combinazione lineare di vettori

V₁, v₂, vs con coefficienti (pesi) α₁, α₂, α_s: si tratta della somma dei prodotti tra i vettori dati e gli scalari ad essi assegnati. Il risultato della combinazione lineare è ancora un vettore (operazione interna). Si può anche dire: il vettore v₁ appartenente a Rⁿ è combinazione lineare dei vettori v₂, v₃, vs se esistono gli scalari α₁, α₂, α_s tali che v₁ = Σ (da 1 a s) α*v₁ (forma sintetica).

Vettori linearmente dipendenti

Due vettori si dicono linearmente dipendenti tra loro se esistono ulteriori valori di α₁ e/o di α₂, oltre a α₁, α₂=0, in grado di dare come risultato della combinazione lineare il vettore nullo (0, 0).

Vettori linearmente indipendenti

Due vettori si dicono linearmente indipendenti se l’unico modo per far sì che la loro combinazione lineare con gli scalari α₁ e α₂ sia uguale al vettore nullo (0, 0) è che i valori di α₁ e α₂ siano entrambi uguali a zero. Non deve esistere un’altra possibile coppia che dà come risultato il vettore nullo. In generale, se si moltiplicano due vettori di cui uno è il doppio degli altri (tutte le componenti sono il doppio di quelle di partenza), sono sempre linearmente dipendenti; allo stesso modo, sono linearmente dipendenti tre vettori di R², quattro vettori di R³, cinque vettori di R⁴ e così via.

Prodotto scalare di vettori

Non è un’operazione interna a Rⁿ, infatti parto da due vettori e trovo un numero. Si scrivono < v₁, v₂ > oppure come sommatoria da 1 a n di x_i * y_i. Il risultato si ottiene quindi sommando il prodotto di tutte le componenti che occupano la stessa posizione nei vettori.

Vettori ortogonali

Due vettori si dicono ortogonali tra loro se il loro prodotto scalare dà come risultato zero. (simbolo T al rovescio). Visto che partendo da due vettori non nulli è possibile ottenere zero, significa che non vale la legge dell’annullamento del prodotto che vale invece in R: se il risultato di un prodotto è 0 vuol dire che un fattore è 0. Graficamente, sono ortogonali se formano tra loro un angolo retto. La condizione di ortogonalità è che il prodotto scalare tra i due vettori dati sia uguale a 0. Valgono due proprietà: 1) due vettori fondamentali qualsiasi godono della proprietà dell’ortogonalità: il loro prodotto scalare è sempre uguale a 0; 2) proprietà di normalità dei vettori fondamentali: il prodotto scalare tra due vettori fondamentali uguali tra loro è sempre 1 < e , e >.

Spazio normato

Uno spazio si dice normato se in esso è possibile introdurre una funzione che gode di queste proprietà:

• Un vettore ha sempre immagine strettamente positiva;
• Un vettore ha immagine 0 se e solo se il vettore stesso è uguale a 0 (nullo);
• Moltiplicare un vettore per un numero reale ha l'effetto di moltiplicare la sua immagine per il modulo del numero reale;
• L'immagine della somma di due vettori è sempre minore o uguale alla somma delle due immagini.

Tipi di norme

Esistono diversi tipi di norme, ognuna dà un risultato diverso:

• Norma assoluta: ||x|| è il risultato della sommatoria dei valori assoluti di tutte le componenti del vettore x.
• Norma euclidea: ||x|| è il risultato della radice della sommatoria tra i quadrati di tutte le componenti del vettore x. Se non si specifica che norma è, di solito si intende questa.
• Norma infinita: ||x||^∞ è il massimo tra i valori assoluti delle singole componenti del vettore x.

Versore

Si dice versore un vettore che ha norma euclidea uguale a 1 (modulo = 1); se un vettore non è un versore posso trasformarlo in un versore moltiplicando il vettore di partenza per 1/la sua norma euclidea. (v₂ = 1/||v₁|| * v₁). NB: tutti i vettori fondamentali sono versori.

Prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano di due insiemi è l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate di elementi dei due insiemi.

Distanza

La distanza tra x e y è sempre maggiore o uguale a zero; è uguale a zero solo se x e y coincidono; la distanza di x da y è uguale alla distanza tra y e x; la distanza tra x e y è minore o uguale della somma tra la distanza di x da z e la distanza di y da z.

Spazio metrico

Uno spazio in cui è possibile inserire una funzione regolata da tali proprietà (distanza) si chiama spazio metrico.

Definizioni di distanza in Rⁿ

• Distanza discreta: d (v₁, v₂) = 0 se v₁ = v₂; =1 se v₁ ≠ v₂.
• Distanza assoluta: d (v₁, v₂) = Σ |v_1i – v_2i| (faccio il VA della differenza tra ogni componente dei due vettori).
• Distanza euclidea: d (v₁, v₂) = radice della sommatoria dei quadrati delle differenze tra le componenti che occupano le stesse posizioni nei vettori.
• Distanza infinita: d^∞ (v₁, v₂) = massimo tra i valori assoluti delle somme tra le componenti che occupano le stesse posizioni nei vettori.

Punti interni

Un punto si dice interno ad un insieme se esiste almeno un intorno di raggio r e di centro p (punto) totalmente contenuto nell’insieme stesso. L'insieme dei punti interni di un insieme A si indica con IntA.

Insieme aperto

Un insieme si dice aperto se coincide con l’insieme dei suoi punti interni.

Punti esterni

Un punto si dice esterno ad un insieme se esiste un intorno di raggio r e entro p (punto) tale che l’intersezione tra l’intorno stesso e l’insieme dia come risultato l’insieme vuoto (non hanno punti in comune). Si indica con EstA.

Frontiera

Un punto si dice punto di frontiera di un insieme se non è interno a tale insieme ma non è nemmeno interno del suo complementare (non è nemmeno esterno). Si indica con FA e graficamente si identifica con i punti che stanno sul bordo dell’insieme.

Insieme chiuso

Un insieme si dice chiuso se l’insieme stesso coincide con la chiusura dell’insieme stesso (chiusura: unione dell’insieme A e dell’insieme FA).

Teorema

Un insieme è aperto se e solo se il suo complementare è chiuso. NB: un insieme può essere non aperto e non chiuso.

Punti di accumulazione

Un punto si dice di accumulazione per l’insieme se in ogni intorno di p (punto) esiste un punto dell’insieme diverso da p. L'insieme dei punti di accumulazione si definisce DA (derivato di A).

Punti isolati

Un punto si dice isolato se quel punto appartiene all’insieme ed esiste almeno un intorno completo del punto stesso tale da non contenere alcun altro punto dell’insieme oltre al punto stesso. (p appartiene ad A e non appartiene a DA).

Insieme limitato

Un insieme si dice limitato se esiste un intorno di raggio r e centro quel punto tale che A sia un sottoinsieme di tale intorno (ci posso fare un cerchio intorno che lo contenga completamente, può essere grande quanto voglio). Un insieme chiuso e limitato si dice compatto.

Insieme discreto

Si dice discreto un insieme che non ammette punti di accumulazione (per A, DA ≠ 0).

Insieme denso