Definizione chieste per Algebra e geometria

Note di Algebra lineare

Tommaso Traetta

Tommaso Traetta Algebra lineare

Nozioni preliminari

Tommaso Traetta Algebra lineare

Nozioni preliminari: gli insiemi

Un insieme è una famiglia di oggetti detti elementi.

{0, 2, 4, 6, 8} è l’insieme i cui elementi sono 0, 2, 4, 6, 8.

A =

Se è un elemento dell’insieme scriviamo

a A,

∈

a A,

(si legge “a appartiene ad o “a è un elemento di

A” A”).

∈

Altrimenti, scriveremo a / A.

Se è un insieme finito, cioè contiene un numero finito di

A A n

|A|.

elementi, si dice la cardinalitá di e si denota con

n A

∈ ∈ |A|

Esempio. 2 5 and 5.

A, / A, =

{1,

L’insieme 2, 3, 4, dei numeri naturali è un insieme

= . . .}

N

infinito. Tommaso Traetta Algebra lineare

Nozioni preliminari: gli insiemi

Insiemi numerici

{1, 2, 3, 4, è l’insieme dei numeri naturali.

= . . .}

N {. −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, è l’insieme dei numeri interi

= . . , . . .}

Z

relativi.

a | ∈ ∈

{ è l’insieme dei numeri razionali.

a b

= Z, N}

Q b

è l’insieme dei numeri reali.

R è l’insieme dei numeri complessi (lo definiremo nelle prossime

C

lezioni). Tommaso Traetta Algebra lineare

Nozioni preliminari: gli insiemi

Rappresentazioni di un insieme

{0, 2, 4, 6, 8} rappresentazione per elencazione

A = {x ∈ | ≤ ≤

0 8 e è pari} rappresentazione mediante

A = x x

Z

proprietà caratteristica 2 4

0

A 6 8

rappresentazione mediante diagramma di Venn

L’insieme privo di elementi si dice insieme vuoto e si denota con

|∅|

Inoltre, 0.

=

∅. Tommaso Traetta Algebra lineare

Nozioni preliminari: i quantificatori

∀: si legge “per ogni” o “per tutti” (quantificatore universale)

∃: si legge “esiste almeno un” o “esistono uno o più”

si legge “non esiste”

∄:

∃!: si legge “esiste un unico” oppure “esiste uno ed uno solo”

oppure “esiste esattamente un” (quantificatori esistenziali)

Scriviamo le seguenti affermazioni usando i quantificatori.

1. Il prodotto di due numeri reali positivi è positivo:

+ +

∀ ∈ ∈

x, y : xy

R R

+

(dove denota l’insieme dei numerali reali e positivi).

R −

2. L’equazione 3x 5 0 ha esattamente una soluzione in

= R:

∃! ∈ −

3a 5 0

a : =

R

Tommaso Traetta Algebra lineare

Nozioni preliminari: altri simboli logici

Siano e due affermazioni.

P Q

Implicazione

⇒

“P si legge “P implica oppure

Q” Q”

“se (è vera), allora (è vera)”

P Q

⇒

è divisibile per 8 è divisibile per 4.

n n

Equivalenza

⇔

“P si legge “P (è vera) se e solo se (è vera)” oppure

Q” Q

“P equivale a Q”

⇔ ⇒ ⇒

Nota. “P è equivalente a scrivere “P e

Q” Q Q P”.

⇔

è divisibile per 2 e per 5 è divisibile per 10.

n n ⇒

Infatti, è divisibile per 2 e per 5 è divisibile per 10 e

n n

⇒

è divisibile per 10 è divisibile per 2 e per 5.

n n

Tommaso Traetta Algebra lineare

Nozioni preliminari: i sottoinsiemi

Siano e insiemi. Si dice che è un sottoinsieme di (o

A B A B

⊆

che è contenuto in e scriviamo “A se ogni

A B), B”,

elemento di è un elemento di

A B.

B

A

̸⊆

Altrimenti, “A B” A B

Sinteticamente, possiamo scrivere

⊆ ⇔ ∀a ∈ ∈

A B A : a B

Tommaso Traetta Algebra lineare

Nozioni preliminari: i sottoinsiemi

Possiamo scrivere ⊆ ⊆ ⊆

N Z Q R

̸⊆

Inoltre, Per convincersene, basta fornire almeno un

Z N.

elemento di (cioè, un numero intero) che non appartenga ad

Z N

−1 ∈

(cioè, che non sia un numero naturale). Ad esempio, ma

Z,

−1 ∈

/ N. 1 12

̸⊆ ∈ ∈

infatti, ma /

Q Z; Q, Z.

2

√ √

̸⊆ ∈ ∈

infatti, 2 ma 2 /

R Q; R, Q.

Un qualunque insieme contiene sempre se stesso e l’insieme

A

vuoto ovvero, per ogni insieme A:

∅, ⊆ ⊆

e

A A A.

∅

Tommaso Traetta Algebra lineare

Nozioni preliminari: uguaglianza tra insiemi

Definizione di uguaglianza tra insiemi.

Siano e insiemi.

A B ⇔ ⊆ ⊆

e

A = B A B B A

{a, {b,

Possiamo scrivere b, c} = c, a}.

{a, {b,

Infatti, posto e si vede che

A = b, c} B = c, a},

⊆ (perché ogni elemento di è un elemento di e

A B A B)

⊆ (perché ogni elemento di è anche un elemento di

B A B A).

{a, {a,

Inoltre, possiamo scrivere a, a, b, c} = b, c}.

{a, {a,

Infatti, posto e si vede che

A = a, a, b, c} B = b, c},

⊆ ⊆

e .

A B B A

In altre parole, dato un insieme, l’ordine di scrittura dei suoi

elementi o le eventuali ripetizioni sono irrilevanti.

Tommaso Traetta Algebra lineare

Nozioni preliminari: l’insieme delle parti

Sia un insieme. Si dice insieme delle parti di e si denota

A A,

P(A),

con l’insieme costituito da tutti i sottoinsiemi di cioè

A,

P(A) {S | ⊆

= S A}.

{1,

Poniamo 2, 3}. Allora:

A =

P(A) {∅, {1}, {2}, {3}, {1, {1, {2,

2}, 3}, 3}}.

= A, 3

|A| |P(A)|

Nota che 3 e 8 2 .

= = = n

|A| |P(A)|

In generale, se allora 2 .

= n, =

Tommaso Traetta Algebra lineare

Nozioni preliminari: operazioni tra insiemi

Siano e due insiemi.

A B

∩ {x|x ∈ ∈

e Intersezione

A B = A x B}

∪ {x|x ∈ ∈

oppure Unione

A B = A x B}

\ {x|x ∈ ∈

e Differenza

A B = A x / B}

A B A B A B

∩ ∪

Intersezione Unione −

Differenza

A B A B A B

\ è l’insieme dei numeri irrazionali.

R Q Tommaso Traetta Algebra lineare

Esempio di dimostrazione per assurdo

√

√ ∈ \

2 è un numero irrazionale, ovvero 2

Teorema. R Q.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che sia vera

√

l’affermazione contraria, cioè supponiamo che 2 sia razionale

√ ∈

( 2 Se da questa ipotesi riusciamo a dedurre una

Q).

contraddizione (un assurdo), vorrà dire che è vera l’ipotesi iniziale,

√ ̸∈

cioè 2 Q. √ ∈ ∈

Se (per assurdo) 2 allora esistono tali che

a, b

Q, N

√ √

a ·

2 2

cioè

= b = a

b

ed elevando al quadrato, otteniamo

2 2

·

2 b = a (⋆)

Tommaso Traetta Algebra lineare

Esempio di dimostrazione per assurdo

Nella scomposizione in fattori primi, a sinistra di il fattore 2

(⋆)

compare un numero dispari di volte

(se 2 compare volte nella scomposizione in fattori primi di allora

x b, 2 , e quindi

2 compare 2x volte nella scomposizione in fattori primi di b

2

·

2 compare 2x 1 volte nella scomposizione di 2 ),

+ b

mentre a destra di un numero pari di volte

(⋆)

(se 2 compare volte nella scomposizione in fattori primi di allora

y a, 2

2 compare 2y volte nella scomposizione in fattori primi di .)

a

Questo contraddice il Teorema fondamentale dell’Aritmentica

della scomposizione in fattori primi (ogni

sull’esistenza e unicità

numero naturale si scrive “in un unico modo” come prodotto di

fattori primi) √

La contraddizione è stata generata dall’aver supposto 2

√ 2 è irrazionale.

razionale. Quindi Tommaso Traetta Algebra lineare

Proprietà delle operazioni tra insiemi

∪ ∩ ∅

A = A, A =

∅ ∅

∪ ∩ idempotenza

A A = A = A A

∩ ∩ ∪ ∪ commutatività

A B = B A, A B = B A

∩ ∩ ∩ ∩ associatività dell’intersezione

A (B C ) = (A B) C

∪ ∪ ∪ ∪ associatività dell’unione

A (B C ) = (A B) C

⊆ ⇔ ∪

A B A B = B

Tommaso Traetta Algebra lineare

Proprietà delle operazioni tra insiemi

∩ ∪

Proprietà distributiva di rispetto a

∩ ∪ ∩ ∪ ∩

A (B C ) = (A B) (A C )

∪ ∩

Proprietà distributiva di rispetto a

∪ ∩ ∪ ∩ ∪

A (B C ) = (A B) (A C )

Tommaso Traetta Algebra lineare

Proprietà delle operazioni tra insiemi

Leggi di De Morgan:

\ ∪ \ ∩ \

A (B C ) = (A B) (A C )

\ ∩ \ ∪ \

A (B C ) = (A B) (A C )

Tommaso Traetta Algebra lineare

× × · · · ×

Prodotto cartesiano A A A

1 2 n

Siano insiemi non vuoti.

A , A , . . . , A n

1 2 n

∈ ∈ ∈

Inoltre siano .

a A , a A , . . . , a A

1 1 2 2 n n

Con si indica la sequenza di lunghezza o

(a , . . . , a ) n n-pla

1 n ∈ {1,

ordinata il cui coefficiente è , per ogni

i-esimo a i . . . , n}.

i

Due coincidono se e solo se coincidono i coefficienti

n-ple

corrispondenti (quelli che occcupano la stessa posizione)

(a , a , . . . , a ) = (b , b , . . . , b )

1 2 1 2

n n

⇕

a = b , a = b , . . . , a = b

1 1 2 2 n n

̸

Quindi 3, 5) 1, 5) (l’ordine conta!)

(1, = (3, ···

Terminologia 2 3 4

n = n = n = ···

coppia terna quadrupla

n-pla Tommaso Traetta Algebra lineare

× × · · · ×

Prodotto cartesiano A A A

1 2 n

Definizione. Siano insiemi. L’insieme di tutte e

A , . . . , A

1 n

sole le a coefficienti ordinatamente in si dice

n-uple A , . . . , A

1 n

× · · · ×

prodotto cartesiano di e si denota con :

A , . . . , A A A

1 1

n n

def

×A ×· · ·×A {(a |

A = , a , . . . , a )

1 2 1 2

n n

∈ ∈ ∈ }.

a A , a A , . . . , a A

1 1 2 2 n n

def

× · · · ×

Se almeno uno tra è vuoto allora

A , . . . , A A A = ∅.

1 1

n n

def

n × × · · · × .

Infine, se è un insieme, allora

A A = A A A

| {z }

volte

n

n è l’insieme delle a coefficienti reali.

n-uple

R Tommaso Traetta Algebra lineare

× × · · · ×

Prodotto cartesiano A A A

1 2 n

{1, {3,

Siano 2} e 4}. Allora

A = B =

× {(1, 3), 4), 3), 4)},

A B = (1, (2, (2,

× {(3, 1), 2), 1), 2)}.

B A = (3, (4, (4,

× ̸ ×

Si noti che A B = B A

Quindi il prodotto cartesiano non è commutativo.

Inoltre, se sono insiemi finiti, si può dimostrare che

A , . . . , A

1 n

|A × · · · × | |A | · |A | · · · |A |.

A =

1 1 2

n n

|A × · |A| · |B|.

Nell’esempio precedente, 4 2 2

B| = = =

Tommaso Traetta Algebra lineare

Nozioni preliminari: le funzioni

anche dette applicazioni o trasformazioni.

. . . →

Definizione Una funzione da a è definita:

f : A B A B

da un insieme detto dominio,

A

da un insieme detto codominio, e

B

7→ ∈

da una legge che ad ogni elemento associa

x f (x) x A

∈

esattamente un elemento f (x) B.

si dice l’immagine di tramite .

f (x) x f 2

+

→ ∪ {0}, 7→

La funzione ha come dominio

f : x x

R R + ∪ {0},

l’insieme come codomionio l’insieme e come

R, R

2

7→

legge .

x x Tommaso Traetta Algebra lineare

Nozioni preliminari: le funzioni

→

Definizione. Una funzione si dice biiettiva

f : A B

(o corrispondenza biunivoca) se

∀y ∈ ∃!x ∈

B A : f (x) = y (∗)

2

+

→ ∪ {0}, 7→ non è biiettiva.

f : x x

R R

Infatti, posto 4, esistono due elementi di 2 e

y = A, x =

1

−2, tali che

x = f (x ) = y = f (x ).

2 1 2

Quindi non verifica Pertanto non è biiettiva.

f (∗). f

2

+ +

∪ {0} → ∪ {0}, 7→ soddisfa

g : x x (∗).

R R + +

∈ ∪ {0} ∈ ∪ {0}

Infatti, per ogni esiste un unico

y x

R R

(cioè, la radice quadrata di ) tale che . Quindi è

y f (x) = y g

biiettiva.

La funzione identica sull’insieme ovvero

id A,

A

→ 7→ è biettiva.

id : A A, x x

A Tommaso Traetta Algebra lineare

Strutture algebriche

Tommaso Traetta Algebra lineare

Operazioni algebriche

Definizione Un’operazione interna e binaria sull’insieme non

vuoto è una funzione

A ∗ × → 7→ ∗

: A A A, (a , a ) a a .

1 2 1 2

∗)

La coppia si dice struttura algebrica.

(A, ·

Somma e prodotto sui vari insiemi numerici sono esempi di

+

operazioni interne e binarie. Pertanto,

(N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +)

·), ·), ·), ·)

(N, (Z, (Q, (R,

sono esempi di strutture algebriche

Tommaso Traetta Algebra lineare

Operazioni algebriche

∗,

Un’operazione algebrica interna e binaria su si dice

A,

∀x, ∈ ∗ ∗ ∗ ∗

associativa se y , z A: x (y z) = (x y ) z

∀x, ∈ ∗ ∗

commutativa se y A: x y = y x.

·

Somma e prodotto sui vari insiemi numerici sono esempi di

+

operazioni associative e commutative.

Tommaso Traetta Algebra lineare

L’elemento neutro

∗)

Definizione. Sia una struttura algebrica.

(A,

∈ ∗)

Un elemento si dice elemento neutro di se

e A (A,

∀x ∈ ∗ ∗

A : x e = x = e x

Teorema. L’elemento neutro se esiste è unico.

Dimostrazione. Infatti, se ed sono elementi neutri di

e e

1 2

∗), ∗

allora (perché è elemento neutro) ed allo

(A, e e = e e

1 2 2 1

∗

stesso tempo (perché è elemento neutro). Quindi,

e e = e e

1 2 1 2

, da cui segue l’unicità dell’elemento neutro.

e = e

1 2 è una struttura algebrica priva di elemento neutro.

(N, +)

Lo zero è l’elemento neutro di (Z, +), (Q, +), (R, +).

·), ·), ·), ·).

L’unità 1 è l’elemento neutro di (N, (Z, (Q, (R,

Tommaso Traetta Algebra lineare

Il simmetrico ∗)

Definizione Sia una struttura algebrica con elemento

(A, ′

∈ ∈

neutro Si dice simmetrico di un elemento tale

e. x A, x A

che ′ ′

∗ ∗

x x = e = x x.

Teorema. Il simmetrico di un elemento se esiste è unico.

∈ −x

In il simmetrico di esiste, si denota con e si

(R, +), x R

chiama l’opposto di (infatti, 0

x x + (−x) = = (−x) + x).

Discorso analogo in e

(Q, +) (R, +).

∪ {0},

In tutti gli elementi non nulli sono privi di

(N +),

simmetrico.

\ {0}, ·), ∈ \ {0}

In il simmetrico di esiste, si denota

(R x R

1

−1 −1 ·

con (o ) e si dice l’inverso di (infatti, 1

x x x x = =

x

−1

· ).

x x \ {0}, ·).

Discorso analogo in (Q

Tommaso Traetta Algebra lineare

Il simmetrico

\ {0}, ·),

In gli unici elementi ad avere il simmetrico

(Z

(cioè, l’inverso) sono 1 e -1

\ {0}, ·),

In l’unico elemento ad avere il simmetrico

(N

(cioè, l’inverso) è 1

Tommaso Traetta Algebra lineare

La struttura algebrica di gruppo

∗)

Definizione. Una struttura algebrica si dice gruppo se

(G ,

sono verificate tutte le seguenti proprietà:

∗ è associativa,

∗) possiede l’elemento neutro, e

(G , ∗)

ogni elemento di possiede il simmetrico.

(G ,

∗ ∗)

Inoltre, se è commutativo, si dice gruppo commutativo

(G ,

(o abeliano). \ {0}, ·)

Sia o Allora e sono gruppi

G = (G , +) (G

Q R.

commutativi. Lo è anche (Z, +).

\ {0}, ·) ̸ ±1

non è un gruppo perché gli elementi non

(Z =

hanno il simmetrico, cioè, l’inverso.

non è un gruppo perché non c’è l’elemento neutro,

(N, +)

cioè, lo zero. Tommaso Traetta Algebra lineare

La struttura algebrica di gruppo

·) ̸

non è un gruppo perché gli elementi 1 non hanno il

(N, =

simmetrico, cioè, l’inverso.

·)

1}, è un gruppo commutativo.

({−1,

n

In , definiamo l’operazione di somma così:

+

R (a , a , . . . , a ) + (b ,b , . . . , b ) =

1 2 1 2

n n

(a + b , a + b , . . . , a + b ).

1 1 2 2 n n

Si può vedere che è associativa e commutativa. Inoltre, la

+

nulla 0, 0) è l’elemento neutro, mentre

n-upla (0, . . .