Conduzione termica

CONDUZIONE TERMICA IN REGIME NON STAZIONARIO

T(x,t) => temperatura dipende dalla direzione e dal tempo

∇²T = 1/α ∂T/∂t EQUAZIONE DI FOURIER dove α = λ/(ρ c) [α] = m²/s

∇²T = 1/α ∂T/∂t → ∂²T/∂x² = 1/α ∂T/∂t EQUAZIONE DI FOURIER 1D

T∞ < Ti

t0 → t0 + Δt

istante in cui immergo il corpo nel fluido di raffreddamento

core region

skin layer -> parte del corpo che percepisce gli effetti della perturbazione termica

corpo immerso in fluido di raffreddamento

↑ t ⇒ ↑ δ ⇒ al crescere del tempo cresce anche il δ ossia la skin layer

1) FASE INIZIALE δ < Lc

2) FASE INTERMEDIA δ = Lc

3) FASE FINALE Transitorio estinto

δ(tc) ≃ Lc TEMPO CRITICO

t >> tc => FASE FINALE

∂²T/∂x² = 1/α ∂T/∂t ⇒ O(∂²T/∂x²) ≈ 1/α O(∂T/∂t)

Qual è l'ordine di grandezza delle derivate coinvolte?

core region → non c'e' variazione di temperatura

∂T/∂x|_x=δ = 0

(∂T/∂x)|_x=0 ≈ (T_i-T_s)/(δ-0)

solo nella skin layer ho la variazione di temperatura

ordine di grandezza(?) O(∂²T/∂x²) ≈ [(∂T/∂x)_x=δ - (∂T/∂y)_x=0]/(δ-0) ≈ -(T_i-T_s)/δ²

O(∂T/∂t) ≈ (T_f-T_i)/t = - (T_i-T_s)/δ ≈ 1/α (T_s-T_i)/t ⇒ δ² ≈ αt; δ ≈ √(αt)

pero so che δ(t_c) ≈ L_c ⇒ √(αt_c) ≈ L_c, t_c ≈ L_c²/α

METODO A PARAMETRI CONCENTRATI

T(t) => dipendenza unica del tempo

non piu T(x,t) non dipende piu dalla posizione

DATO NOSTRA PIASTRA:

CASO 1:

SKIN LAYER

dipende tempo e posizione

CASO 2:

dipende solo dal tempo

R conduttiva << R convettiva

escludo la parte conduttiva affinche la temperatura dipenda solo dal tempo

Q = DeltaT / R

DeltaT ~ RQ

R -> 0 => DeltaT -> 0

Quindi l'effetto conduttivo deve essere trascurabile rispetto alla convettiva

Rk (conduttiva) = L / lambda A ; Rconv. = 1 / hA ; Q = hA(Tw-Tinf)

Rk / Rconv << 1 => L / lambda A . hA << 1 => hL / lambda << 1

adimensionale

Bi = hL/l => Bi << 1

Bi < 0,1

quindi la conduttiva e 1/10 della convettiva

T(t=0)=Ti T(t)=?

• La costra piana scambia calore per convezione con l'ambiente esterno.
• L'ambiente ext sia a T0o (uniforme e costante)

C = m.c -> +oo

PROPRIETA TERMOFISICHE UNIFORMI E COSTANTI; x B UNIFORME E COSTANTE.

dU/dt = Sum Q in - Sum |Q out|

dU/dt = - Qconv => d/dt (pV c T) = - hA(T(t) - Too)

pV c dT/dt = - hA(T(t) - Too)

dT/(T(t)-Too) = - hA/(p.c.v) dt

int Ti to T(t) dT/(T(t)-Too) = - int 0 to t hA/(p.c.v) dt

=> ln (T(t)-Too)/(Ti-Too) = - hA/(p.c.v) . t

T(t)=Too+(Ti-Too)e^-t/RC; R=1/hA; C=rho cV

t=(4:5)τ

Se riscrivo la temperatura come:

(T(t)-Too)/(Ti-Too)=e^-t/RC theta(t) -> TEMPERATURA ADIMENSIONALE

theta(t=0)=1

theta(t -> +oo) -> 0

theta(t)

t=4τ => theta(t=4τ)=e^-4=0,018

t=5τ => theta(t=5τ)=e^-5=6,73·10^-3

Poiche Qdot = hA(T(t)-Too) = hA(Ti-Too)e^-t/τ POTENZA TERMICA SCAMBIATA

METODO a PARAMETRI CONCENTRATI per tessuti biologici

PUNTA DEL SITO IN AMBIENTE FREDDO

PUNTA DEL SITO approssimabile a una semi-sfera la cui temperaturaequivale alla temperatura del sangue T(t = 0) = Tb (blood)

con To < Tb temperatura esterna minore di quella del sangue

e con Tv = T(t), il sangue e in equilibrio con il dito stesso

Il sangue viene immesso nel sistema a temperatura Tb ed esce atemperatura piu bassa perche cede calore all'ambiente.

Qb = mb cpb (Tv - TA)

Qb = mb cpb (T(t) - Tb) < 0

dU/dt = ΣQin - ΣQout => dU/dt = Qin - |Qout|

Qin = -Qb

calore entrante

il calore e uscente

quando fanno segni discordi

dU/dt = mb cpb (Tb - T(t)) - hA (T(t) - T∞)

effetto convettivo a segno discorde

pcV dT/dt = p_b w_b c_pb (T_b - T(t)) - hA(T(t) - T_oo)

dT/dt = (p_b w_b c_pb / pcV)(T_b - T(t)) - (hA / pcV)(T(t) - T_oo)

wb -> tasso di perfusione sanguigna (s^-1) (Vb/V)

dT/dt = -((p_b w_b c_pb)/(pc) + hA/(pcV))T(t) + (p_b w_b c_pb)/(pc) Tb + (hA)/(pcV) T_oo

a

b = (p_b w_b c_pb)/(pc) Tb + (hA)/(pcV) T_oo

quindi l'equazione differenziale diventa:

dT/dt = -aT + b -> dT/dt = -a(T - b/a); separo le variabili:

dT/(T - b/a) = -a dt -> ∫_Tb^T(t) dT/(T - b/a) = -∫₀^t a dt quindi: ln((T(t) - b/a)/(Tb - b/a)) = -at

che diventa -> (T(t) - b/a)/(Tb - b/a) = e^-at

T(t) = b/a + (Tb - b/a)e^-at

esponenziale decrescente

h = 8 W/m²

cp = 3,9 kJ

cpb = 3,1 kJ

p = 1000 kg/m²

pb = 1057 kg/m²

Tb = 25C

T_oo = 0C

wb = 1/3600 s^-1

R = 7 mm

T(C)

25

20

15

10

5

0

0 900 1800 2700 3600

t(s)

di/dt = m_dot_b c_p b (T_b - T(t)) - hA (T(t) - T_infty) => Eq. generale sistema termico da sangue

dT/dt = -a(T - b/a) Stiamo studiando il sistema stazionario

-> mi serve solo la temperatura finale (di fine transitorio)

responsabile della non stazionarieta

dU/dt = Q_dot_in - Q_dot_out => dU/dt = 0 => Q_dot_in = Q_dot_out

Q_b = Q_conv

T = b/a

temperatura di equilibrio