Calcolo delle probabilità

Limiti notevoli

Funzioni goniometriche

lim_x→0 (sen x) / x = 1

lim_x→0 (tg x) / x = 1

lim_x→0 (1-cos x) = 0

lim_x→0 (arcsen x) / x = 1

lim_x→0 (1-cos x) / x² = 1/2

lim_x→0 (arctg x) / x = 1

lim_x→0 (sen mx) / (sen nx) = m/n

lim_x→1 (arccos x)² / (1-x) = 2

Funzioni esponenziali e logaritmiche

lim_x→∞ (1 + 1/x)^x = e

lim_x→0 (1 + x)^1/x = e

lim_x→0 log_a(1 + x) / x = log_a e

lim_x→0 ln(1 + x) / x = 1

lim_x→0 (a^x - 1) / x = ln a

lim_x→0 (e^x - 1) / x = 1

lim_x→0 ((1 + x)^k - 1) / x = k

lim_x→∞ xⁿ / a^x = 0 (a>1)

lim_x→∞ aⁿ / n! = 0

lim_x→∞ 1 / (1 + a^x) =

• 1 se a<1
• 1/2 se a=1
• 0 se a>1

Limiti notevoli

Funzioni goniometriche

lim_x→0 (sen x / x) = 1

lim_x→0 (tg x / x) = 1

lim_x→0 (1 - cos x) = 0

lim_x→0 (arcsen x / x) = 1

lim_x→0 ((1 - cos x) / x²) = 1/2

lim_x→0 (arctg x / x) = 1

lim_x→0 (sen mx / sen nx) = m/n

lim_x→1 ((arc cos x)² / (1 - x)) = 2

Funzioni esponenziali e logaritmiche

lim_x→∞ (1 + 1/x)^x = e

lim_x→0 (1 + x)^1/x = e

lim_x→0 (log_a(1 + x) / x) = log_a e

lim_x→0 (ln(1 + x) / x) = 1

lim_x→0 (a^x - 1 / x) = ln a

lim_x→0 (e^x - 1 / x) = 1

lim_x→0 ((1 + x)^k - 1 / x) = k

lim_x→∞ (xⁿ / a^x) = 0   (a > 1)

lim_x→∞ (aⁿ / n!) = 0

lim_x→∞ (1 / (1 + a^x)) = 1   se a 1/2   se a = 1 0   se a > 1

Serie numeriche

Definizioni

Data la successione {a_n} = a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... si considerino le somme parziali s₁, s₂, ..., s_n:

s₁ = a₁

s₂ = a₁ + a₂

s₃ = a₁ + a₂ + a₃

s_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n

Si dice serie di termine generale a_n e si indica con ∑_n=1^+∞ a_n oppure con ∑ a_n

lim_n->+∞ s_n = S = ∑_n=1^+∞ a_n = ∑ a_n

Carattere della serie

Se S è finito • la serie ∑ a_n si dice convergente

Se S = ±∞ • la serie ∑ a_n si dice divergente

Altrimenti • la serie ∑ a_n è indeterminata

Prime proprietà

Se ∑ a_n converge → lim_n->+∞ a_n = 0

Condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza di una serie è che il termine generico sia infinitesimo

Assegnate ∑ a_n e ∑ b_n e λ ∈ ℜ

Se ∑ a_n converge ↔ ∑λ a_n converge → convergenza del prodotto di una costante per una serie

Se ∑ a_n e ∑ b_n convergono → ∑(a_n + b_n) converge → convergenza della somma di due serie

Serie notevoli

Simbologia

Carattere

Nome

1 + ¹/₂ + ... + ¹/_n + ...

∑¹/_n

Divergente

Serie armonica

1 + ¹/_2^p + ... + ¹/_n^p + ...

∑¹/_n^p

p ≤ 1 divergente

p > 1 convergente

Serie armonica generalizzata

1 + q + q² + ... + qⁿ + ...

∑_n=0^+∞ qⁿ

q ≤ -1 irregolare

-1 < q < 1 convergente

q ≥ 1 divergente

Serie geometrica di ragione q

a + aq + aq² + ... + aqⁿ + ...

∑_n=0^+∞ aqⁿ

q ≤ -1 irregolare

-1 < q < 1 convergente

q ≥ 1 divergente

Serie geometrica di punto iniziale a e ragione q

¹/₂ + ¹/₆ + ... + ¹/_{n(n + 1)} + ...

∑¹/_{n(n + 1)} = 1

Convergente

Serie di Mengoli

Serie numeriche

Criteri di convergenza

Criterio del confronto per serie a termini non negativi

Date le successioni {a_n} e {b_n} sia:

0 ≤ a_n ≤ b_n

Se ∑b_n converge → ∑a_n converge

Se ∑a_n diverge → ∑b_n diverge

Criterio del confronto mediante i limiti per serie a termini non negativi

Date le successioni {a_n} e {b_n} sia:

a_n ≥ 0, b_n ≥ 0

lim _n→+∞ a_n / b_n = l

Se 0 < l < +∞ → le serie ∑a_n e ∑b_n sono entrambe convergenti oppure divergenti

Se l = 0 e ∑b_n converge → ∑a_n converge

Se l = +∞ e ∑b_n diverge → ∑a_n diverge

Criterio degli infinitesimi per serie a termini non negativi

Data la successione {a_n} sia:

a_n ≥ 0

lim _n→+∞ n^pa_n = l con p ∈ ℝ

Se 0 < l < +∞ p > 1 → ∑a_n converge

p ≤ 1 → ∑a_n diverge

Se l = 0 e p > 1 → ∑a_n converge

Se l = +∞ e p ≤ 1 → ∑a_n diverge

Criterio della radice o di Cauchy per serie a termini positivi

Data la successione {a_n} sia:

a_n > 0

lim _n→+∞ ⁿ√a_n = l con l ∈ ℝ, l = +∞

Se l < 1 → ∑a_n converge

Se l > 1 → ∑a_n diverge

Se l = 1 → non si può dire nulla

Criterio del rapporto o di D'Alembert per serie a termini positivi

Data la successione {a_n} sia:

a_n > 0

lim _n→+∞ a_n+1 / a_n = l con l ∈ ℝ, l = +∞

Se l < 1 → ∑a_n converge

Se l > 1 → ∑a_n diverge

Se l = 1 → non si può dire nulla

Criterio di Leibnitz per serie con termini a segno alterno decrescente

Data la successione {a_n} sia: a_n ≥ 0

Data la serie alternata ∑(-1)ⁿa_n

Se a_n+1 ≤ a_n

Se lim _n→+∞ a_n = 0 → ∑(-1)ⁿa_n converge

Criterio di convergenza assoluta

Data la serie ∑a_n e la serie ∑|a_n|

Se ∑|a_n| converge → ∑a_n converge

Derivate

Derivate delle funzioni elementari

D k = 0

Dove k è una costante

D senx = cosx

D xⁿ = n xⁿ⁻¹

D cosx = − senx

D ¹/_xⁿ = Dx⁻ⁿ = − n x⁻ⁿ⁻¹ = −ⁿ/_xⁿ⁺¹

D tgx = ¹/_cos²x = 1 + tg²x

D ⁿ√x = ¹/_{n√xⁿ⁻¹} = −¹/_sen²x = −1 − cotg²x

D √x = ¹/_2√x

D arcsenx = ¹/_√1−x²

D log_ax = ¹/_xlog_ae = ¹/_x · ¹/_lna

D arccosx = − ¹/_√1−x²

D lnx = ¹/_x

D arctgx = ¹/_1+x²

D a^x = a^x ln a = a^x · ¹/_logae

D arccotgx = − ¹/_1+x²

D e^x = e^x

D |x| = ^x/_|x| = |x|/x

Regole di derivazione

D k · f(x) = k · f' (x)

Prodotto di una costante k per una funzione

D f(x) ± g(x) ± h(x) = f' (x) ± g' (x) ± h' (x)

Somma di due o più funzioni

D f(x) · g(x) = f' (x) · g(x) + f(x) · g' (x)

Prodotto di due funzioni

D f(x) · g(x) · h(x) = f' (x) · g(x) · h(x) + f(x) · g' (x) · h(x) + f(x) · g(x) · h' (x)

Prodotto di tre funzioni

D ^f(x)/_g(x) = ^{f' (x) · g(x) − f(x) · g' (x)}/_[g(x)]²

Rapporto di due funzioni

D f [g(x)] = f' [g(x)] · g' (x)

Funzione composta

D f(x)^g(x) = f(x)^g(x) · [ ^{g' (x) · ln [f(x)] + g(x) · f' (x)/_f(x)} ]

Funzione elevata ad una funzione

Integrali indefiniti

Immediati

∫ k dx = k x + c

Dove k è una costante

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + c n ≠ -1

∫ 1/x dx = ln|x| + c

∫ a^x dx = a^x log_e a + c

∫ e^x dx = e^x + c

∫ sen x dx = - cos x + c

∫ cos x dx = sen x + c

∫ 1/cos² x dx = tg x + c

∫ 1/sen² x dx = - cotg x + c

∫ 1/√1-x² dx = arcsen x + c

∫ 1/1+x² dx = arctg x + c

∫ 1/√a²-x² dx = arcsen (x/|a|) + c

∫ 1/a²+x² dx = 1/a arctg (x/a) + c

Immediati generalizzati

Un integrale generalizzato si ottiene da un integrale immediato sostituendo x con f(x) e dx con f'(x) dx

∫ [f(x)]ⁿ · f'(x) dx = [f(x)]ⁿ⁺¹ / (n + 1) + c n ≠ -1

∫ f'(x) / f(x) dx = ln|f(x)| + c

∫ a^f(x) · f'(x) dx = a^f(x) log_e a + c

∫ e^f(x) · f'(x) dx = e^f(x) + c

∫ sen [f(x)] · f'(x) dx = - cos f(x) + c

∫ cos [f(x)] · f'(x) dx = sen f(x) + c

∫ f'(x) / cos² [f(x)] dx = tg f(x) + c

∫ f'(x) / sen² [f(x)] dx = - cotg f(x) + c

∫ f'(x) / √1-[f(x)]² dx = arcsen f(x) + c

∫ f'(x) / 1+[f(x)]² dx = arctg f(x) + c

∫ f'(x) / √a²-[f(x)]² dx = arcsen (f(x)/|a|) + c

∫ f'(x) / a²+[f(x)]² dx = 1/a arctg (f(x)/a) + c

In generale

∫ f[g(x)] · g'(x) dx = F [g(x)] + c

L'integrale di una funzione composta f[g(x)] moltiplicata per la derivata della funzione interna g'(x) è uguale alla primitiva della funzione esterna F[g(x)]

Alcuni metodi di integrazione

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx

Prodotto di una costante k per una funzione

∫ [f(x) ± g(x) ± h(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx ± ∫ h(x) dx

Metodo di decomposizione in somma