CA-02 - Esercizi di Linearizzazione

Controlli automatici

Ingegneria meccanica e ingegneria del veicolo

Esercizi di verifica relativi ai lucidi CA-02-SistemiModelli

Rispondere alle seguenti domande/Risolvere i seguenti problemi:

1.

L’equazione differenziale + 12 + 3 (t) = 2 dove è l’ingresso e l’uscita, èÿ(t) ẏ(t) y x(t), x(t) y(t) lineare! La variabile y é al quadrato* non lineare! >- Tutti i coefficienti sono costanti stazionaria! -non stazionaria!

2.

Mostrare che il sistema dinamico avente come rispostat!2 ) 2= sin (t)x + (τ )dτy(t) e u−2(t−τ0 t0 non è un sistema lineare.

Mostrare invece che la risposta t! )= sin (t)x + )dτy(t) e u(τ−2(t−τ0 t0 corrisponde a un sistema lineare.

3.

L’equazione di stato  (t) = (t) + 3 sin(4t)x (t) + 5u (t)ẋ x1 1 3 1  (t) = 2x (t) (t) 3x (t)ẋ − x −2 1 2 3 (t) = (t) + 2u (t)ẋ −2e x −t3 3 2 descrive un sistema tempo-variante o stazionario? lineare o non lineare?

Se possibile scrivere il modello in forma compatta = + indicando l’espressione delle matrici A e B.ẋ Ax Bu

4.

Dato il sistema dinamico caratterizzato dall’equazione di stato31% (t) = (t) + (t) + (t) + + 1ẋ −x x x u(t)1 1 2 (t) = (t) + (t) +ẋ x x u(t)2 1 2 determinare gli stati di equilibrio corrispondenti all’ingresso costante =ū −1.

Derivare il modello linearizzato nell’intorno di uno dei punti di equilibrio trovati (ad es. = eū −1& '1= )x̄ 0

5.

Dato il sistema dinamico caratterizzato dall’equazione di stato31% (t) = (t) +ẋ x u(t)1 2 2(t) = (t) + (t)ẋ x x2 1 determinare gli stati di equilibrio corrispondenti all’ingresso costante = 1.ū

6.

Dato il sistema dinamico caratterizzato dal modello in forma di stato2(t) = (t) + (sin (x (t)) + 1)x (t) + 2u(t)ẋ −2x1 1 1 2 (t) = (t)ẋ x2 2 2= (t) + cos(x (t))u (t)y(t) x1 2 & '0

Derivare il modello linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio = 0 e = .ū x̄ 0

7.

Dato il sistema dinamico costituito da una massa su carrello soggetta a una forza elastica, visto aM Felezione (t) = (t)ẋ x1 21 31(u(t) (x (t))) con (x ) =(t) = − F F kxẋ 1 12 e eM= (t)y(t) x1 riscrivere, se possibile, il modello in forma compatta = + o in alternativa