Bioelettromagnetismo

Bioelettromagnetismo anno accademico 2020 – 2021

L'attività elettrica cellulare

La membrana cellulare

La membrana cellulare ha uno spessore compreso tra 7.5 nm e 10 nm ed è composta principalmente da lipidi e proteine. L'impalcatura base di questa membrana è costituita da un doppio strato fosfolipidico che si estende senza discontinuità su tutta la superficie cellulare. I fosfolipidi sono molecole che hanno una caratteristica molto importante, che trova radici nella loro struttura, infatti sono composti da:

• Una testa: è rappresentata dal radicale fosfato e ha la caratteristica di essere idrofila, ossia solubile in acqua e polare.
• Le code: sono rappresentate dagli acidi grassi e hanno la caratteristica di essere idrofobiche e apolari, quindi non possono sciogliersi in acqua; sono però lipofile, ovvero “amano” l’ambiente dei lipidi.

Questa struttura permette alle molecole di organizzarsi in un doppio strato dove le teste vengono posizionate esternamente e le code internamente, quando esse vengono inserite all’interno di una soluzione acquosa. Questa barriera risulta essere quasi del tutto impermeabile all’acqua e ad altre sostanze idrosolubili comunemente presenti nell’ambiente circostante, come gli ioni e il glucosio.

Modello elettrico della cellula

L’obiettivo di questo capitolo è quello di andare a creare un modello elettrico della cellula, per rappresentare quello che di fatto può succedere all’interno del nostro organismo. La barriera fosfolipidica appena descritta è impermeabile agli ioni, quindi permetterà un difficile passaggio di cariche e di corrente: un condensatore pertanto fa al caso nostro, con le dimensioni di circa 1µF.

Fenomeni di trasporto nella membrana

La parete cellulare non è costituita solamente da fosfolipidi, ma anche da alcune proteine integrali che si innestano in questa barriera, fungendo da canali o pori attraverso i quali acqua e ioni possono diffondere nei liquidi intra o extracellulare. Questi pori possono essere potenzialmente validi nel migliorare la conducibilità della barriera cellulare in senso lato, ma bisogna far presente che tutti questi canali sono particolarmente selettivi, ossia condizionano una diffusione preferenziale di certe sostanze, piuttosto che di altre.

Questa selettività definisce la semipermeabilità della barriera cellulare nel suo insieme. Inoltre, per ottenere un vero e proprio passaggio di corrente serve anche una forza guida che deve spingere gli ioni da un lato all’altro. In generale, questa forza guida viene definita come gradiente elettrochimico, in quanto mobilita gli ioni sia tramite le differenze di concentrazione (contributo chimico) che tramite le differenze di carica (contributo elettrico). Questa è la base che definisce tutti i fenomeni di trasporto relativi alla membrana.

Tipi principali di trasporto

• Trasporto passivo: viene guidato da forze esterne e non richiede alcun dispendio energetico, in quanto segue la direzione imposta dal gradiente elettrochimico. I principali meccanismi di trasporto passivo sono la diffusione libera e la diffusione ionica, dovuti in particolar modo alle concentrazioni nei liquidi di ioni sodio, potassio, cloro e calcio, variabili tra i due ambienti.
• Trasporto attivo: viene guidato da sostanze trasportatrici presenti sulla membrana, funzionando in direzione opposta rispetto al gradiente elettrochimico e di conseguenza richiedendo un dispendio energetico sotto forma di ATP. Il più comune meccanismo di trasporto attivo è la pompa sodio-potassio.

Diffusione libera e diffusione ionica

Per diffusione libera si intende la tendenza di particelle in soluzione a ridistribuirsi al fine di annullare le differenze locali di concentrazione. Questo meccanismo viene regolato dalla legge di Fick: \( J = -D \nabla C \)

Questa relazione restituisce il flusso di particelle J, misurato in mol/cm² s, rappresenta il numero di particelle che attraversano una sezione di area unitaria nell’unità di tempo; questo flusso non deriva da fenomeni di natura elettrica, poiché è un movimento casuale che origina dalla normale attività cinetica della materia, che però determinerà un flusso di densità di corrente, contribuendo al meccanismo di diffusione ionica, di cui si parlerà dopo.

Il flusso è dipendente dal gradiente di concentrazione \(\nabla C\), gradiente della funzione C(x, t) che rappresenta la concentrazione di una sostanza p in funzione del tempo. Il flusso delle particelle diventa cioè proporzionale al gradiente chimico, che nelle due dimensioni può essere visto sostanzialmente come una differenza di concentrazione tra un lato e l’altro. La costante di proporzionalità si chiama coefficiente di diffusione e viene determinata sperimentalmente.

Per diffusione ionica si intende invece il passaggio di ioni, dotati di carica, soggetti alla forza esercitata da un campo elettrico. A questo punto il flusso ionico diventa proporzionale al gradiente di potenziale e viene descritto da questa relazione che è equivalente alla legge di Ohm: \( J = -u \nabla \phi \)

La costante di proporzionalità in questo caso contiene vari parametri:

• La concentrazione dello ione C.
• Il coefficiente di mobilità u che rappresenta la velocità con cui gli ioni si spostano per unità di campo elettrico.
• La valenza dello ione z, sottoposta al rapporto col suo modulo per ottenere il segno della carica.

Sapendo che l’opposto del gradiente di potenziale è uguale per sua definizione al campo elettrico, ci tornerà comodo descrivere il suo flusso come corrente, moltiplicandolo cioè per la valenza dello ione e per la costante di Faraday (96.478 C/mol). In formule: \( I = zFJ \)

Sapendo che la corrente seguirà il verso del campo elettrico, o meglio che il campo elettrico genera una corrente nello stesso verso, tramite la legge di Ohm possiamo modellizzare questo fenomeno attraverso una resistenza. Avendo definito la mobilità come la velocità con cui gli ioni si spostano grazie al campo elettrico e avendo definito il coefficiente di diffusione come costante di proporzionalità tra flusso e gradiente di concentrazione, possiamo concludere che questi due parametri descrivono la stessa proprietà: quanto facilmente una forza motrice genera un flusso di particelle. Per questo motivo i due parametri sono in relazione tra loro, attraverso l’equazione di Einstein: \( D = uRT \)

Nel determinare la relazione in questo caso vengono introdotti due nuovi termini, che sono la costante dei gas R (8.314 J/K mol) e la temperatura espressa in Kelvin.

L'equazione di Nernst-Planck

Gli ioni sono quindi guidati da un gradiente di concentrazione e da un campo elettrico e i coefficienti che determinano tali fenomeni sono in relazione tra loro. Questo ci permette di generalizzare i fenomeni di diffusione libera, tramite l’equazione di Nernst-Planck. Introduciamo la corrente totale come somma delle correnti determinate dai due processi, ossia \( J_{tot} = J_d + J_c \)

La valenza dello ione e la costante di Faraday possono mettere in relazione le correnti con i flussi di particelle: \( I = zF(J_d + J_c) \)

A questo punto non ci resta che applicare la legge di Fick e la legge di Ohm per la diffusione ionica: \( J = -D \nabla C + uC \nabla \phi \)

Infine, si sostituisce la mobilità con la relazione data dall’equazione di Einstein. A calcoli conclusi si ottiene la forma definitiva dell’equazione di Nernst-Planck:

\( J = -D(\nabla C + \frac{C}{RT} \nabla \phi) \)

Qui si riassumono tutti i concetti espressi dalle precedenti relazioni. Questa relazione lega la densità di corrente che attraversa la membrana sia col gradiente di potenziale che con il gradiente di concentrazione, che in somma algebrica ci permette di ottenere il gradiente elettrochimico.

Il potenziale transmembrana

La membrana cellulare separa l’ambiente intracellulare da quello extracellulare. In ciascuno di questi ambienti le concentrazioni sono variabili tra un ambiente e l’altro in varie condizioni. Queste differenze determineranno una differenza di potenziale che andiamo a definire come potenziale transmembrana: la differenza tra il potenziale elettrico interno e il potenziale elettrico esterno.

\( V_m = V_i - V_e \)

Queste differenze causano anche il movimento di particelle cariche, quindi le forze di concentrazione fungono da regolatore del meccanismo. Ma allora esiste uno stato di equilibrio tra queste forze? Come si può formalizzare dal punto di vista matematico il fatto che questo potenziale sia dipendente dalla permeabilità dei diversi ioni? Questo è possibile grazie all’equilibrio di Nernst.

Per visualizzare la sua relazione, vediamo a titolo di esempio cosa succede allo ione potassio. In condizioni normali il potassio tende a uscire per gradiente di concentrazione: man mano che esce genera uno squilibrio di cariche, andando a caricare positivamente l’ambiente esterno. Questo aumento di carica si traduce in un aumento del potenziale transmembrana, fino a un tetto corrispondente allo stato di equilibrio, dove il contributo elettrico andrà necessariamente a opporsi al contributo chimico, bloccando l’uscita degli ioni. Bloccare l’uscita degli ioni significa annullare la densità di corrente passante per la membrana.

Ciò significa che dall’equazione di NP si ottiene la seguente espressione:

\( 0 = -D \nabla C + uC \nabla \phi \)

Cioè \( \nabla C = -\frac{uC}{D} \nabla \phi \)

Per semplicità di risoluzione possiamo ridurre il problema in una sola dimensione, trasformando i gradienti in derivate:

\( \frac{dC}{dx} = -\frac{uC}{D} \frac{d\phi}{dx} \)

Semplifico dx e integro membro a membro tra l’interno e l’esterno:

\( \int_{C_i}^{C_e} \frac{1}{C} dC = -\int_{\phi_i}^{\phi_e} \frac{u}{D} d\phi \)

Una volta risolti gli integrali e sistemata l’equazione si applica la definizione di potenziale transmembrana si ottiene la relazione finale che rappresenta questo equilibrio, nota come potenziale di Nernst:

\( E = -\frac{RT}{zF} \ln \frac{[C_e]}{[C_i]} \)

In questa relazione si descrive il potenziale per un singolo ione che andrà a stabilire il potenziale a riposo nel momento in cui lo ione è all’equilibrio. Può essere anche definito come la misura elettrica della forza di diffusione di uno ione, oppure come il potenziale richiesto per controbilanciare esattamente un rapporto particolare di concentrazioni.

Il modello a conduttanze parallele

Allo scopo di valutare e quantificare più nel dettaglio le correnti ioniche si deve considerare la situazione reale, in cui la membrana è permeabile contemporaneamente a più ioni. Quindi decidiamo di ipotizzare che il flusso associato a ciascuna specie sia indipendente dal flusso delle altre. Quindi possiamo convertire tutti i processi della membrana a riposo con un modello circuitale noto come modello a conduttanze parallele.

Come già indicato in precedenza, il modello contiene un condensatore da 1µF che rappresenta la componente impermeabile della membrana. I tre generatori rappresentano i potenziali di Nernst di ciascuna specie ionica, mentre le tre conduttanze, sempre specifiche per ogni ione, permettono il passaggio di corrente ionica per la legge di Ohm. Tutto questo è rappresentato tra due morsetti, che vanno a modellare l’ambiente interno alla cellula e l’ambiente esterno: tra di esse si instaura la differenza di potenziale nota come potenziale transmembrana.

Basandoci su questo modello, ricordiamo che all’equilibrio la corrente di membrana sarà sempre nulla. In formule:

\( I_{Na} + I_{K} + I_{Cl} = 0 \)

Questa condizione viene rispettata solamente in due casi:

1. Tutte le correnti vengono annullate: questo è il caso che fa riferimento all’equilibrio di Donnan, che si verifica solamente quando i potenziali di Nernst delle singole specie sono uguali tra loro. Di conseguenza i rapporti delle concentrazioni sono relazionati in questo modo:
\[\frac{[Na]_i}{[Na]_e} = \frac{[K]_i}{[K]_e} = \frac{[Cl]_i}{[Cl]_e}\]

Ciò significa che \( E = \ln \frac{RT}{zF} \)

2. Le correnti ioniche non sono nulle: basandoci sul modello circuitale precedentemente descritto, togliendo il condensatore visto che la corrente di membrana complessiva è nulla, possiamo identificare la seguente equazione lineare che descrive il comportamento della parte circuitale restante:
\[(E_{Na} - V_m)g_{Na} + (E_{K} - V_m)g_{K} + (E_{Cl} - V_m)g_{Cl} = 0\]

Attraverso dei semplicissimi passaggi si può arrivare all’equazione delle conduttanze parallele:

La pompa sodio potassio

La pompa sodio-potassio permette di mantenere l’equilibrio dinamico tra gli ioni Na e K, a spese di metabolismo cellulare. In questo modo, anche se i flussi teorici tendono a far discostare le concentrazioni di sodio e di potassio dai loro valori a riposo, i valori delle concentrazioni rimangono sempre quelli che sono. Questa proteina agisce in questa modalità: per ogni ciclo di idrolisi di ATP, questa proteina porta 3 ioni di sodio all’interno e 2 ioni potassio all’esterno. L’energia consumata sotto forma di ATP viene poi immagazzinata nella differenza di concentrazione e utilizzata dalle forze diffusive.

Il condensatore all'equilibrio

Consideriamo una cellula di forma cilindrica, con un raggio di 10µm e lunghezza di 1cm. Andiamo a considerare la differenza che c’è tra la carica che si può generare nella membrana e la carica che totalmente si genera all’interno. Se si considera un potenziale di 100mV e il condensatore come 1µF per centimetro quadro, la carica necessaria a polarizzare la membrana è:

\( Q_m = C_m \cdot V_m = 0,628 \times 10^{-12} \, C \)

Invece la carica totale che si genera nello spazio intercellulare, si va a considerare la concentrazione dello ione di interesse all’interno e si applica la relazione:

\( Q_t = C_t \cdot V_t = 0,628 \times 10^{-8} \, C \)

Questo serve per indicare come solo una piccolissima frazione della carica totale è necessaria per caricare la membrana.

L'equazione di Goldman Hodgkin Katz

In linea generale il potenziale di membrana tiene conto di tutti i potenziali di Nernst per ogni singola specie, pesati ciascuno con la propria permeabilità. Questo è ciò che l’equazione di Goldman Hodgkin Katz vuole farci comprendere:

I coefficienti P corrispondono alle permeabilità delle specie ioniche. Questa equazione, se le concentrazioni variano così lentamente da poter trascurare gli effetti capacitivi, permette di calcolare il potenziale di membrana non solo a riposo ma anche quando la cellula è in attività, considerando che le concentrazioni e le permeabilità sono variabili nel tempo. A riposo il contributo del cloro diventa trascurabile per via della somiglianza con le altre concentrazioni (all’equilibrio di Donnan) e l’equazione si può semplificare in questo modo:

Sperimentalmente si può verificare che il rapporto delle permeabilità risulta essere pari a 0.01, dando maggior risalto alla dipendenza del potenziale dalla concentrazione del potassio.

Domande di esame e esercizi richiesti

• Descrivere la membrana cellulare
• Descrivere i fenomeni di trasporto attraverso la membrana (diffusione libera e diffusione ionica)
• Applicazione dell’Equazione di Nernst per calcolare il potenziale di equilibrio di uno ione
• Spiegare l’equivalente elettrico della membrana e l’equilibrio in presenza di più ioni

Possibili domande di teoria

• Descrivere la membrana cellulare
• Descrivere i fenomeni di trasporto attraverso la membrana
• Spiegare l’equivalente elettrico della membrana e l’equilibrio in presenza di più ioni

Esercizi richiesti

• Calcolare il potenziale di equilibrio di uno ione utilizzando l'equazione di Nernst
• Calcolare il potenziale di riposo quando la membrana è permeabile a più ioni

Il potenziale d'azione e il modello di Hodgkin Huxley

Le membrane cellulari delle cellule eccitabili contengono numerosi canali, in grado di scambiare ioni tra i due ambienti delimitati dalla struttura. Una volta raggiunto il valore limite, un impulso di cariche si sposta attraverso la membrana, provocando una tipica variazione del potenziale transmembrana nota come potenziale d’azione. In questo capitolo si discuterà riguardo a questa...