Argomenti di Statistica applicata

Statistica

Nozioni di calcolo combinatorio

Premessa

Il calcolo combinatorio è un ramo della matematica che studia i metodi per contare il numero di

modi in cui è possibile scegliere, ordinare o raggruppare degli oggetti, senza dover elencare tutte le

possibilità una per una. Grazie a questo strumento si possono risolvere rapidamente problemi che, se

affrontati manualmente, richiederebbero molto tempo.

Il calcolo combinatorio è alla base della probabilità, della statistica e dell'informatica, ma trova

applicazione anche nella vita di tutti i giorni. Ad esempio, viene utilizzato per calcolare quante

password diverse possono essere create, quanti modi esistono per formare una squadra, quante

combinazioni si possono ottenere al gioco del Lotto oppure quanti percorsi diversi si possono seguire

per raggiungere una destinazione.

Per risolvere un problema di calcolo combinatorio bisogna rispondere ad alcune domande

fondamentali:

Si utilizzano tutti gli elementi oppure solo una parte?

• L'ordine degli elementi è importante?

• Ci sono elementi uguali tra loro?

•

In base alle risposte si sceglie il metodo più adatto: permutazioni, permutazioni con oggetti uguali,

disposizioni oppure combinazioni.

Permutazioni

Le permutazioni sono tutti i possibili modi di ordinare tutti gli elementi di un insieme, utilizzando

ciascun elemento una sola volta.

La caratteristica principale delle permutazioni è che l'ordine conta. Se due elementi vengono

scambiati di posizione, si ottiene una nuova permutazione.

Il numero delle permutazioni semplici di n elementi è dato dalla formula:

() = !

Il simbolo !, chiamato fattoriale, indica il prodotto di tutti i numeri interi positivi da 1 fino a n.

Ad esempio:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

•

Esempio

Consideriamo le lettere A, B e C.

Le possibili disposizioni sono:

ABC

• ACB

• BAC

• BCA

• CAB

• CBA

•

Le permutazioni sono quindi 6, proprio come indica la formula:

3! = 6.

Le permutazioni vengono utilizzate quando è necessario stabilire un ordine preciso, come la classifica

finale di una gara oppure l'ordine dei libri su uno scaffale.

Permutazioni con oggetti uguali

In alcuni problemi alcuni elementi sono identici. In questo caso, scambiando due elementi uguali

non si ottiene una disposizione diversa. Per questo motivo il numero delle permutazioni diminuisce.

La formula diventa: = ! / (₁! · ₂! · ₃! · . . . )

dove: n rappresenta il numero totale degli elementi;

• n₁, n₂, n₃... rappresentano il numero degli elementi uguali.

•

Esempio

Prendiamo la parola MAMMA.

Le lettere sono cinque:

M compare 3 volte;

• A compare 2 volte.

•

Se tutte le lettere fossero diverse avremmo:

5! = 120 permutazioni.

Poiché però alcune lettere sono uguali, bisogna eliminare le ripetizioni:

5! / (3! × 2!) = 120 / (6 × 2) = 10.

Quindi esistono soltanto 10 permutazioni differenti.

Questo tipo di permutazioni viene utilizzato soprattutto con parole o insiemi che contengono

elementi ripetuti.

Disposizioni

Le disposizioni sono i modi di scegliere e ordinare solo una parte degli elementi disponibili.

Anche nelle disposizioni l'ordine è importante, perché cambiando la posizione degli elementi

cambia il risultato.

La formula delle disposizioni semplici è:

(, ) = ! / ( − )!

dove: n è il numero totale degli elementi;

• k è il numero degli elementi scelti.

•

Esempio

Tra 6 studenti bisogna scegliere:

un presidente;

• un vicepresidente;

• un segretario.

•

In questo caso si scelgono soltanto 3 studenti su 6 e ogni ruolo è diverso.

Applicando la formula si ottiene:

6! / (6 − 3)! = 6! / 3! = 720 / 6 = 120.

Esistono quindi 120 modi diversi per assegnare le tre cariche.

Le disposizioni vengono utilizzate ogni volta che si assegnano ruoli diversi oppure quando si vuole

stabilire una classifica limitata ai primi posti.

Combinazioni

Le combinazioni sono i modi di scegliere alcuni elementi da un insieme quando l'ordine non è

importante.

Se gli stessi elementi vengono scritti in un ordine diverso, la combinazione rimane identica.

La formula è: (, ) = ! / [! ( − )!]

dove: n rappresenta il numero totale degli elementi;

• k rappresenta il numero degli elementi scelti.

•

Esempio

Una classe è composta da 8 studenti e bisogna scegliere una commissione di 3 persone.

Non importa chi viene nominato per primo o per ultimo: conta solo chi fa parte della commissione.

Applicando la formula si ottiene:

8! / (3! × 5!) = 40320 / (6 × 120) = 56.

Si possono quindi formare 56 commissioni diverse.

Le combinazioni sono molto utilizzate quando bisogna formare gruppi, squadre o commissioni.

Differenza tra permutazioni, disposizioni e combinazioni

Le tre tecniche del calcolo combinatorio sono molto simili, ma si distinguono per due aspetti

fondamentali: il numero di elementi utilizzati e l'importanza dell'ordine.

Permutazioni

Si utilizzano tutti gli elementi.

• L'ordine è importante.

•

Disposizioni

Si utilizza solo una parte degli elementi.

• L'ordine è importante.

•

Combinazioni

Si utilizza solo una parte degli elementi.

• L'ordine non è importante.

•

Per capire quale formula usare è utile porsi una domanda:

"Se cambio l'ordine degli elementi ottengo un risultato diverso?"

Se la risposta è sì, bisogna usare permutazioni o disposizioni.

Se la risposta è no, bisogna usare le combinazioni.

Riepilogo delle principali regole del calcolo combinatorio

Per risolvere correttamente un esercizio è importante seguire alcune regole.

Permutazioni semplici

Si usano tutti gli elementi.

• Ogni elemento compare una sola volta.

• L'ordine è importante.

• Formula:

• () = !

Permutazioni con oggetti uguali

Si usano tutti gli elementi.

• Alcuni elementi sono identici.

• Si eliminano le ripetizioni dividendo per i fattoriali degli elementi uguali.

• Formula:

• = ! / (₁! · ₂! · . . . )

Disposizioni semplici

Si sceglie solo una parte degli elementi.

• L'ordine è importante.

• Formula:

• (, ) !/( )!

= –

Combinazioni semplici

Si sceglie solo una parte degli elementi.

• L'ordine non è importante.

• Formula:

• (, ) = ! / [! ( − )!]

Conclusione

Il calcolo combinatorio è uno strumento fondamentale della matematica perché permette di

determinare rapidamente il numero delle possibili scelte o dei possibili ordinamenti di un insieme di

elementi. È molto utile nello studio della probabilità e viene applicato in numerosi campi scientifici

e nella vita quotidiana.

Per affrontare correttamente un problema è sufficiente individuare tre aspetti fondamentali:

1. stabilire se vengono utilizzati tutti gli elementi oppure solo alcuni;

2. verificare se l'ordine degli elementi è importante;

3. controllare se sono presenti elementi uguali.

Una volta individuate queste caratteristiche, è possibile scegliere la formula corretta tra permutazioni,

permutazioni con oggetti uguali, disposizioni e combinazioni. Con un po' di esercizio diventa

semplice riconoscere quale metodo applicare e risolvere rapidamente anche problemi complessi di

conteggio.

Nozioni di calcolo delle probabilità

Definizione

Il calcolo delle probabilità è il ramo della matematica che studia gli eventi casuali e permette di

determinare quanto è probabile che un determinato evento si verifichi.

Un evento casuale è un fatto il cui risultato non può essere previsto con certezza prima che

avvenga. Ad esempio, lanciare un dado, estrarre una carta da un mazzo o lanciare una moneta sono

esperimenti casuali, perché il risultato dipende dal caso.

La probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1:

0 significa che l'evento è impossibile;

• 1 significa che l'evento è certo;

• un valore compreso tra 0 e 1 indica che l'evento è possibile con una determinata probabilità.

•

Quando tutti i risultati possibili hanno la stessa probabilità di verificarsi, la probabilità si calcola con

la formula: () = /

Esempio

Lanciando un dado a sei facce, la probabilità di ottenere il numero 4 è:

(4) = 1/6

perché esiste un solo caso favorevole (il numero 4) e sei casi possibili.

La somma delle probabilità di tutti gli eventi possibili è sempre uguale a 1.

Legge additiva e probabilità totale

La legge additiva serve per calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno tra due eventi.

Se due eventi A e B sono incompatibili, cioè non possono verificarsi contemporaneamente, la

probabilità totale è: ( ∪ ) = () + ()

Esempio

Lanciando un dado vogliamo ottenere:

il numero 2;

• oppure il numero 5.

•

Poiché non è possibile ottenere entrambi nello stesso lancio:

= 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Se invece i due eventi possono verificarsi contemporaneamente (eventi compatibili), bisogna evitare

di contare due volte la parte in comune.

La formula diventa: ( ∪ ) = () + () − ( ∩ )

Questa formula è chiamata anche formula della probabilità totale.

Eventi composti

Un evento composto è formato dall'unione di due o più eventi semplici.

Ad esempio:

ottenere una carta di cuori oppure una figura;

• estrarre una pallina rossa e successivamente una blu;

• lanciare due dadi e ottenere una somma uguale a 8.

•

Gli eventi composti possono essere:

compatibili, se possono verificarsi insieme;

• incompatibili, se non possono verificarsi nello stesso momento;

• indipendenti, se il verificarsi di uno non influenza l'altro;

• dipendenti, se il verificarsi di un evento modifica la probabilità dell'altro.

•

Capire il tipo di evento è fondamentale per scegliere la formula corretta.

Legge moltiplicativa e probabilità composte

Quando si vuole calcolare la probabilità che due eventi si verifichino entrambi, si utilizza la legge

moltiplicativa.

Se gli eventi sono indipendenti, la probabilità composta è:

( ∩ ) = () × ()

Esempio

Si lancia una moneta e un dado.

La probabilità di ottenere:

testa;

• e il numero 6

•

è:

= 1/2 × 1/6 = 1/12.

Gli eventi sono indipendenti perché il risultato della moneta non influenza quello del dado.

Se invece gli eventi sono dipendenti, bisogna utilizzare la probabilità condizionata.

Probabilità condizionata

La probabilità condizionata è la probabilità che un evento si verifichi sapendo che un altro evento

è già accaduto.

In questo caso il verificarsi del primo evento modifica il numero dei casi possibili.

La formula è: (|) = ( ∩ ) / ()

Questa formula viene utilizzata quando i due eventi non sono indipendenti.

Esempio

In un sacchetto ci sono:

3 palline rosse;

• 2 palline blu.

•

Si estraggono due palline senza rimettere dentro la prima.

La probabilità che la seconda pallina sia rossa dipende dal colore della prima estratta.

Poiché il numero delle palline cambia dopo la prima estrazione, i due eventi sono dipendenti e bisogna

utilizzare la probabilità condizionata.

La probabilità condizionata è molto importante nella statistica, nella medicina, nell'economia e

nell'analisi dei dati.

Speranza matematica

La speranza matematica, chiamata anche valore atteso, rappresenta il valore medio che ci si

aspetta di ottenere ripetendo molte volte lo stesso esperimento casuale.

Si calcola moltiplicando ogni possibile risultato per la sua probabilità e sommando tutti i prodotti.

In pratica indica il guadagno o la perdita media prevista nel lungo periodo.

Esempio

Un gioco prevede:

vincita di 20 € con probabilità 1/5;

• vincita di 0 € con probabilità 4/5.

•

La speranza matematica è: 20 × 1/5 + 0 × 4/5 = 4 €.

Questo significa che, ripetendo moltissime volte il gioco, il guadagno medio sarà di circa 4 € per

partita.

La speranza matematica viene utilizzata nei giochi d'azzardo, nelle assicurazioni, nella finanza e

nella valutazione dei rischi.

Prove ripetute

Le prove ripetute sono esperimenti casuali eseguiti più volte nelle stesse condizioni e in modo

indipendente.

Un esempio è il lancio ripetuto di una moneta oppure di un dado.

Quando la probabilità di successo rimane costante ad ogni prova, è possibile calcolare la probabilità

di ottenere un certo numero di successi utilizzando la distribuzione binomiale.

In generale, nelle prove ripetute valgono queste condizioni:

ogni prova ha solo due possibili risultati (successo oppure insuccesso);

• le prove sono indipendenti;

• la probabilità di successo è sempre la stessa.

•

Esempio

Lanciando una moneta cinque volte è possibile calcolare la probabilità di ottenere esattamente tre

teste.

Le prove ripetute sono molto utilizzate nella statistica, nella biologia, nell'economia e nel controllo

della qualità dei prodotti.

Riepilogo delle formule probabilistiche più utili

Per risolvere correttamente gli esercizi è importante ricordare le formule principali.

Probabilità semplice () = /

Si utilizza quando tutti i casi sono equiprobabili.

Evento contrario ( ) = − ()

Serve per calcolare la probabilità che un evento non si verifichi.

Legge additiva

Per eventi incompatibili: ( ∪ ) = () + ()

Per eventi compatibili: ( ∪ ) = () + () − ( ∩ )

Legge moltiplicativa

Per eventi indipendenti: ( ∩ ) = () × ()

Per eventi dipendenti: ( ∩ ) = () × (|)

Probabilità condizionata (|) = ( ∩ ) / ()

Speranza matematica

= à.

Conclusione

Il calcolo delle probabilità permette di studiare gli eventi casuali e di prevedere quanto è probabile

che un determinato risultato si verifichi. È uno strumento fondamentale della matematica e viene

utilizzato in moltissimi settori, come la statistica, l'economia, la medicina, la finanza, l'informatica e

le scienze.

Per risolvere correttamente un problema è necessario capire quale tipo di evento si sta

considerando: semplice o composto, compatibile o incompatibile, indipendente o dipendente.

Successivamente si sceglie la formula più adatta tra la legge additiva, la legge moltiplicativa, la

probabilità condizionata o le formule relative alle prove ripetute. Conoscere queste regole permette

di affrontare con sicurezza la maggior parte degli esercizi di probabilità e di interpretare

correttamente molti fenomeni della vita quotidiana.

Elementi di statistica descrittiva

Aspetti introduttivi

La statistica descrittiva è il ramo della statistica che raccoglie, organizza, rappresenta e analizza i

dati relativi a un fenomeno, con lo scopo di descriverlo in modo chiaro e sintetico. A differenza della

statistica inferenziale, non serve a fare previsioni sul futuro, ma a riassumere e interpretare i dati

osservati.

La statistica descrittiva viene utilizzata in moltissimi campi, come l'economia, la medicina, le scienze

sociali, lo sport e la ricerca scientifica. Ad esempio, permette di analizzare i risultati di un sondaggio,

l'andamento delle vendite di un'azienda o i voti di una classe.

I dati raccolti possono riguardare un'intera popolazione oppure un campione.

I principali elementi della statistica sono:

Popolazione statistica: insieme di tutti gli elementi che si vogliono studiare.

• Campione: parte della popolazione scelta per effettuare l'analisi.

• Unità statistica: ogni singolo elemento della popolazione.

• Carattere statistico: la caratteristica osservata (ad esempio età, altezza, peso, voto).

•

I caratteri possono essere:

qualitativi, se descrivono una qualità (colore degli occhi, professione, città di residenza);

• quantitativi, se esprimono un valore numerico (altezza, peso, reddito).

•

I caratteri quantitativi si distinguono inoltre in:

discreti, quando assumono valori interi (numero di figli);

• continui, quando possono assumere qualsiasi valore in un intervallo (altezza, temperatura).

•

Classificazione in tabelle

Dopo aver raccolto i dati, è necessario organizzarli in modo ordinato attraverso d