Appunti teoria Meccanica applicata alle macchine

Corpi e catene cinematiche

Definizioni:

• Elementi cinematici: Sono le superfici a contatto dei due corpi che interagiscono
• Coppia cinematica: È l'insieme dei due elementi.
• Catena cinematica: Insieme di corpi interagenti mediante vincoli o coppie cinematiche. Possono essere "chiuse" o "aperte" se in presenza o meno di loop.

Richiami di cinematica del corpo rigido

• Formula fondamentale dei moti rigidi

La velocità di due generici punti del corpo rigido "P" e "O" sono legate dalla formula fondamentale dei moti rigidi:

V_P = V_O + ω ∧ (P-O)

Quindi, dato un corpo rigido in moto piano, con tale formula siamo in grado di conoscere la velocità di qualsiasi punto del corpo.

• Centro istantaneo di moto (o centro di istantanea rotazione)

Sia "C" il centro istantaneo di moto, istante per istante avremo V_C = 0

Tale punto nello spazio si trova sull'asse istantaneo di moto, ovvero quell'asse costituito dai punti del corpo rigido aventi velocità parallela alla velocità angolare.

                                                                      ⟶   Istantaneamente ogni punto dell'asse può muoversi solo parallelamente all'asse stesso

                                                                      ⟶   per un caso relativamente puro

• Posso determinare il centro d'istantanea rotazione sfrutto il Teorema di Chasles

"Nati due punti A e B e le loro velocità (purché non parallele), intersecando le normali a tali velocità tracciate rispettivamente per "A" e "B" nell'intersezione trovano "C".

Il punto "C" gode di 2 proprieta':

1) Reciproco: C₁₃ = C₃₁

2) Transitiva: Considerando 3 corpi rigidi i, j, k allora C_ij, C_jk, C_ki sono allineati

Centro delle accelerazioni

Le accelerazioni di due generici punti del corpo rigido sono legate dalla formula:

a_P = a_o + ω̇ ∧ (P - O) + ω ∧ ω ∧ (P - O)

Si puo' individuare un punto "K" detto centro delle accelerazioni. In tale punto si ha che: a_K = 0.

Posso quindi esprimere l'accelerazione di qualsiasi punto sfruttando a_K = 0

a_P = ║ω║² ((K - P) + ω̇ ∧ (P - K))

Proprieta': Tutti i punti "P" hanno accelerazione rotato di "p" in senso orario rispetto alla congiungente con "K".

Luoghi geometrici individuati da "C" e "K"

Circonferenza dei Flessi

a̅_P e J̅_F dei P sono sempre parallele

• Causo t° ed "a_C"
• Vato di "p" e ricovo "k"
• Prendo "P" opposto a "C"
• Leo gira la congiungente P,K
• Vato di "p" in senso orario e ricovo "a_P"
• Con tenn. di Chasles ricovo J̅_P perpendicolare congiungente CP
• Disegno circonferenza

Circonferenza delle Accelerazioni

a̅_P e J̅_F dei P sono sempre perpendicolari

• Causo t° ed "a_C"
• Vato di "P" e ricovo "K"
• Prendo "P" opposto a "C"
• Leo gira la congiugente P,K
• Vato di "p" in senso orario e ricovo "a_P"
• Con tenn. di Chasles ricovo J̅_P
• Disegno circonferenza

• Teorema di Rivals

Questo teorema ci permette di ricavare le accelerazioni NORMALI e/o TANGENZIALI tramite una proporzionalità tra le lunghezze che compongono le accelerazioni stesse.

Per le tangenziali :

||_BT|| = ||||·    ||_AT||^A⁄_A    ||_BT||^B⁄_A

Per le normali :

||_BN|| = ̇²    ||_AN||^A⁄_A    ||_BN||^B⁄_A

VINCOLI E GRADI DI LIBERTÀ

I gradi di libertà sono il numero di parametri necessari a descrivere la configurazione di un corpo rigido o di un meccanismo. (6 gr.d. nello spazio, 3 nel piano).

Posso distingu