Appunti teoria Meccanica applicata alle macchine

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Corpi e catene cinematiche

Definizioni

Elementi cinematici: Sono le superfici a contatto dei due corpi che interagiscono.

Coppia cinematica: È l'insieme dei due elementi.

Catena cinematica: Insieme di corpi interagenti mediante vincoli o coppie cinematiche. Possono essere "chiuse" o "aperte" se in presenza o meno di loop.

Richiami di cinematica del corpo rigido

Formula fondamentale dei moti rigidi

La velocità di due generici punti del corpo rigido "P" e "O" sono legate dalla formula fondamentale dei moti rigidi: v̅_P = v̅_o + ω̅ ∧ (P - O)

Quindi, dato un corpo rigido in moto piano, con tale formula siamo in grado di conoscere la velocità di qualsiasi punto del corpo.

Centro istantaneo di moto (o centro di istantanea rotazione)

Sia "C" il centro istantaneo di moto, istante per istante avremo v̅_C = 0.

Tale punto nello spazio si trova sull'asse istantaneo di moto, ovvero quell'asse costituito dai punti del corpo rigido aventi velocità parallela alla velocità angolare.

• Istantaneamente ogni punto dell'asse può muoversi solo parallelamente all'asse stesso.

Fusso caso relativamente puro.

Posso determinare il centro di istantanea rotazione sfruttando il Teorema di Chasles.

"Nati due punti A e B e le loro velocità (purché non parallele), intersecando le normali a tali velocità tracciate rispettivamente per "A" e "B" nell'intersezione troverò "C".

Il punto "C" gode di 2 proprietà:

• Reciprocità: C_1/3 = C_3/1
• Transitività: Considerando 3 corpi rigidi i,j,k allora C_i/js, C_j/k, C_i/k sono allineati

Centro delle accelerazioni

Le accelerazioni di due generici punti del corpo rigido sono legate dalla formula: a_P = a₀ + ū Λ (p-o) + 𝒲 Λ 𝒲 Λ (p-o)

Si può individuare un punto "k" detto centro delle accelerazioni; tale punto si ha che: a_k = 0.

Posso quindi esprimere l'accelerazione di qualsiasi punto sfruttando a_k = 0: a_P = ||ū||(k-p) + 𝒲 Λ (p-k)

Proprietà: Tutti i punti "P" hanno accelerazione rotata di "p" in senso orario rispetto alla congiungente con "K".

Luoghi geometrici individuati da "C" e "K"

Circonferenza dei flessi

• Carosco "c" e "a_c"
• Ruoto di "p" e ricavo "k"
• Prendo "P" opposto a "C"
• Leo giù la congiungente P.k
• Ruoto di pi in senso orario e ricavo "Q_p"
• Con teum di Chased ricavo J_P perpendicicolare congiungente C.P
• Disegno circonferenza.

Circonferenza delle accelerazioni

• Carosco "c" e "a_c"
• Ruoto di "p" e ricavo "k"
• Prendo "P" opposto a "C"
• Leo giù la congiungente P.k
• Ruoto di pi in senso orario e ricavo "Q_p"
• Con teum di Chased ricavo J_P
• Disegno circonferenza

Teorema di Rivolt

Questo teorema ci permette di ricavare le accelerazioni normali e/o tangenziali tramite una proporzionalità tra le lunghezze che compongono le accelerazioni stesse.

Per le tangenziali: ‖\(\vec{a}_{t}\)‖ = ‖\(\vec{a}'_{B}\)‖ \(\cdot \frac{AB}{BC}\)

Per le normali: ‖\(\vec{a}_{n}\)‖ = \(\varphi '\) \(\cdot AB\)

Vincoli e gradi di libertà

I gradi di libertà sono il numero di parametri necessari a descrivere la configurazione di un corpo rigido o di un meccanismo. (6 g.d.l. nello spazio, 3 nel piano).

Posso distinguere le coppie cinematiche in:

• Coppie elementari o combacianti
• Coppie superiori

Le coppie elementari sono caratterizzate da due elementi cinematici uguali, per questo si dicono combacianti.

Le varie coppie prismatiche nel piano mi lasceranno:

• Prismatiche (P) → 1 g.d.l. → Ne vincola 2
• Rotoidali (R) → 1 g.d.l. → Ne vincola 2
• Elicoidali (E) → 1 g.d.l. → Ne vincola 2
• Cilindrica (C) → 2 g.d.l. → Ne vincola 1

Regola di Grubler

Serve per determinare il grado di libertà di un meccanismo piano: l = 3(m - n) - 2C₁ - C₂

Dove:

m = numero di membri

C₁ = Coppie cinematiche che consentono 1 grado di libertà

C₂ = Co