Appunti sulle linee di trasmissione

Appunti sulle linee di trasmissione

Giancarlo Ippolito

Appunti sulle linee di Trasmissione

Indice degli argomenti trattati

• Breve introduzione sulle linee di trasmissione pag. 2
• Il concetto delle costanti distribuite pag. 2
• Equazioni delle linee di trasmissione pag. 3
• Definizione d’impedenza caratteristica pag. 4
• Linea priva di perdite pag. 5
• Propagazione per onde: onda incidente e onda riflessa pag. 6
• Definizione dell’impedenza d’ingresso di una linea di trasmissione pag. 7
• Casi particolari d’impedenza d’ingresso pag. 8
• Condizioni al contorno: calcolo di V+ e V- pag. 9
• Adattamento d’impedenza pag. 10
• Coefficiente di riflessione pag. 10
• Linea di trasmissione non uniforme pag. 11
• Esercizi sulle linee di trasmissione pag. 14
• Esercizio numero 6 pag. 15
• Esercizio numero 5 pag. 17

Linee di Trasmissione 1 Ippolito Giancarlo

Breve introduzione sulle linee di trasmissione

Scopo di questa trattazione è quello di fornire il metodo analitico per l'analisi delle linee di trasmissione. Anche se questa può risultare più complessa del metodo grafico, cioè usando la carta di Smith, quello analitico permette di capire meglio il perché di certi fenomeni proprio grazie alla matematica.

Lo studio delle linee di trasmissione è di fondamentale importanza perché ci dà gli strumenti matematici per lo studio dei fenomeni di propagazione dei segnali, non esclusivamente elettromagnetici, lungo tutto un ben definito percorso che prende appunto il nome di linea di trasmissione.

Dovendo trattare un argomento tecnico, non si può fare a meno di introdurre equazioni, ma ciò che conta non è imparare a fare i conti quanto bensì comprendere il significato di quanto queste rappresentino.

Una linea di trasmissione può essere realizzata in svariati modi: può essere una linea bifilare, un cavo coassiale o anche l'aria, in quanto anche lo spazio tra due antenne può essere interpretato come una linea di trasmissione.

Le linee di trasmissione vengono impiegate per trasferire energia da un generatore ad un carico. Alle basse frequenze ad esempio vengono usati normali conduttori di rame e lo studio viene fatto applicando la teoria dei circuiti. Alle alte frequenze invece si impiegano cavi coassiali o linee bipolari del tipo a piattina ed il comportamento dipende da costanti caratteristiche dei dispositivi.

Il concetto delle costanti distribuite

Come introdotto in precedenza, il comportamento di una linea di trasmissione dipende da delle costanti distribuite, ovvero è possibile rappresentare una linea di trasmissione tramite le sue quattro costanti distribuite R L C G; tali costanti sono distribuite uniformemente lungo la linea e per ogni tratto dz che si considera esse hanno lo stesso valore, linea LTU.

Il parametro R è una resistenza serie per unità di lunghezza dovuta alle resistenze dei due conduttori, il parametro L è un'induttanza serie per unità di lunghezza dovuta all’effetto induttivo dei due conduttori, il parametro C è una capacità parallelo per unità di lunghezza dovuta all’effetto capacitivo che si viene a creare tra i due conduttori ed infine G è una conduttanza parallelo per unità di lunghezza dovuta alle perdite per imperfetto isolamento tra i due conduttori.

Dunque si schematizza un elementino dz di linea con il seguente circuito a costanti distribuite: Figura 1

Linee di Trasmissione 2 Ippolito Giancarlo

Tramite il concetto delle costanti distribuite si possono ricavare i modelli matematici che caratterizzano la linea di trasmissione; tali modelli vengono detti equazioni delle linee di trasmissione o dei telegrafisti.

Equazioni delle linee di trasmissione

Osservando la figura 1 di pagina 2 e applicando i noti principi dell’elettrotecnica si possono scrivere le due seguenti equazioni:

Nella prima equazione si può trascurare il termine dl, in quanto risulta essere un infinitesimo d’ordine superiore, dunque le due equazioni diventano le seguenti:

Su altri testi le equazioni prese in considerazione presentano dei segni negativi, ma questo non ha importanza in questo la variazione di segno dipende dal tipo di convenzione che si utilizza nella trattazione della linea di trasmissione.

Derivando ambo i membri delle due equazioni per dz e tenendo conto delle 1 e 2 otteniamo due equazioni differenziali del secondo ordine simili, una in V ed una in I:

 d²V / dz² = γ² ⋅ V   3 )  d²I / dz² = γ² ⋅ I  

Nella 3 appare il simbolo γ il quale prende il nome di costante di propagazione e assume l’espressione:

Tale sistema si può risolvere in modo semplice, ma è bene tener presente che per rendere uniche le soluzioni bisogna conoscere le condizioni al contorno, ossia i valori di tensione e corrente in una qualsiasi sezione della linea di trasmissione.

Le due equazioni sono uguali dunque risolvendole otteniamo degli andamenti di corrente I e tensione V cosiffatti:

Linee di Trasmissione 3 Ippolito Giancarlo

Le incognite V+ V- I+ I- sono le costanti che vengono fuori dalle equazioni differenziali e vanno calcolate con le condizioni di Cauchy.

Definizione dell’impedenza caratteristica

In questo paragrafo verrà definita una grandezza fondamentale delle linee di trasmissione, l’impedenza caratteristica. Essa viene espressa tramite le costanti primarie R, L, C, G come segue:

Tramite l’impedenza caratteristica otterremo una relazione tra costanti della tensione V e le costanti di della corrente I; scopriremo che le grandezze sono legate tra di loro proprio dal parametro impedenza caratteristica.

Si riprenda in considerazione l’equazione 1 e si sostituiscano V ed I tramite la 5:

Questa espressione può essere scomposta in due parti, una relativa all’esponenziale con argomento positivo, ed una relativa all’esponenziale con esponente negativo:

Dalla 7 e la 8 ci si può calcolare I+ e I-, in funzione di V+ e V-, come segue.

Dunque le equazioni di linea 5) diventano semplicemente:

Dalla 11 e 12 osserviamo che sia la tensione che la corrente sono la somma due termini, uno detto incidente ed uno detto riflesso. In particolare sarà:

Linee di Trasmissione 4 Ippolito Giancarlo

Dunque si ha:

Con opportuni passaggi matematici l’espressioni 11 e 12 si possono scrivere usando le funzioni iperboliche seno e coseno:

Linea priva di perdite

In questo paragrafo verrà considerato un caso particolare di linea di trasmissione: la linea priva di perdite. In questo tipo di linea si suppone che in ogni tratto dz non vi siano perdite dovute ai parametri primari distribuiti R e G, e che dunque il circuito a parametri distribuiti diventa semplicemente: figura 2

Risulta allora evidente che i parametri secondari espressi dalle espressioni 4 e 6 si semplificheranno