Appunti sulla prima parte del corso: elettronica dello stato solido

Elettronica I: introduzione ai componenti elettronici

E I: Elettronica introduzione ai componenti elettronici.

Il materiale semiconduttore

Il silicio ha una configurazione lineare di atomi che ne determinano le caratteristiche. La meccanica quantistica ci dice che il singolo atomo può avere delle energie discrete che sono le energie degli orbitali. Prima di vedere il silicio che è il conduttore che usiamo dobbiamo ricordarci dei risultati già studiati.

Principio di esclusione: su un certo livello energetico e un certo orbitale possono esistere solo due elettroni con differente numero quantico di spin.

Il silicio ha un numero atomico che è 14: quindi ha 14 elettroni e 14 protoni in condizioni stazionarie di riposo. Gli elettroni tendono ad avere energia più bassa possibile, quindi la configurazione sarà questa:

Figura 1

Stati energetici presenti su un atomo di silicio separato a livello molecolare.

Introduciamo quindi il concetto di stati energetici: un elettrone esiste solo se ha una particolare energia ed esiste in uno stato. In mezzo alle energie che separano gli stati, un elettrone non può esistere. L’energia in maniera semplicistica la possiamo considerare come energia cinetica: come se l’elettrone ruotando attorno all’atomo avesse un’energia cinetica. In realtà l’elettrone è una nuvola di probabilità, quindi il modello di elettrone come energia cinetica è un modo per semplificarci la visione.

A noi interessa il cristallo di silicio: la ripetizione con precisione dell’atomo di silicio.

Figura 2

Rappresentazione reticolo cristallino.

Prendiamo N atomi di silicio organizzati nella struttura in figura dove sono vertici di un cubo distanziati tutti tra loro di d. Se immaginiamo di poterli fare avvicinare gli uni agli altri mantenendo una distanza d, quando gli atomi si avvicinano le nuvole elettroniche cominciano ad interagire tra di loro e quindi sovrapporsi. Dal principio di esclusione sappiamo che non possono esserci più di due elettroni, ma nel momento in cui più elettroni si sovrappongono accade che l’energia che stiamo mettendo per avvicinarli si trasforma in un leggero spostamento dell’energia dei due livelli energetici che si separano. Se ci fossero solo due atomi sarebbero due livelli energetici molto vicini, ma dato che sono N atomi ci saranno N livelli di energia spostati tra di loro.

Questi livelli energetici si separano nella realtà in un numero enorme, numero di Avogadro, leggermente distanziati l’uno dall’altro.

Tutta la rete risente dell’interazione, gli stati energetici sono talmente tanti che li rappresentiamo come banda. Di tutti gli stati energetici che abbiamo considerato per il silicio dobbiamo seguire la trasformazione in banda degli ultimi due orbitali in particolare 3p e 3s perché sono quelli esterni che andranno a toccare con gli orbitali vicini. I 6 stati del 3p hanno un unico valore anche se si sono separati in una banda.

Figura 3

Rappresentazione della banda di 3s e 3p.

La banda è un intervallo di energia per cui possiamo passare facilmente da uno stato all’altro, però le bande di 3p e di 3s sono distanti tra di loro. Pagina | 1

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La nuvola elettronica si distribuisce su tutto il cristallo: questo è il fenomeno dell’elettrone delocalizzato. Nel momento in cui avvicino la nuvola formo una banda, che sarà distribuita quindi su tutto il cristallo. Il cristallo comporta un avvicinamento per cui le due bande hanno dei livelli energetici che si sovrappongono e si hanno gli orbitali ibridi.

Figura 4

Ibridizzazione degli orbitali.

Quando si è ibridizzato si formano nuove bande energetiche che si separano tra di loro. Ci sono quindi 8XN stati, 4XN nella banda superiore e 4XN nella banda inferiore. Il numero totale di stati però si mantiene. Quando arrivo alla situazione finale di stabile distanza tra gli atomi ho due bande ben distinte: una superiore, banda di conduzione, e una inferiore, banda di valenza.

Figura 5

Cambio progressivo della banda di energia perché la distanza diminuisce.

Il silicio ha un salto di energia di 1,1 eV, il germanio 0,6 eV e il diamante 4,4 eV.

L’elettrone può esistere nelle bande di energia superiore ed inferiore. Gli elettroni vanno nelle energie più basse tendenzialmente. Tendono quindi ad andare nella banda di valenza. Se gli elettroni occupano tutti gli spazi della banda di valenza, non può avvenire conduzione.

Il trasporto di carica nel semiconduttore

Anche se applico un campo elettrico, nella situazione descritta sopra, non c’è movimento. Tra le due bande c’è una barriera di potenziale che può essere superata acquistando una certa energia. A temperatura bassa l’elettrone rimane nella banda di valenza. Se la temperatura aumenta, l’elettrone può saltare dalla banda di valenza alla banda di conduzione.

Il cristallo vibra e parte dell’energia della vibrazione aumenta l’energia cinetica dell’elettrone, oppure tramite un fonone, che è una quasiparticella che descrive un quanto di vibrazione in un reticolo cristallino rigido. Una volta che l’elettrone avrà fatto il salto si sposterà nella direzione che il campo elettrico vuole, mentre il buco che lascia va nella direzione opposta, carica positiva.

Si attivano due distinti meccanismi di conduzione: spostamento di elettroni, n, spostamento di lacune, p, nella direzione opposta. Da adesso in poi dovremmo considerare p ed n come numeri: p numero di lacune in un centimetro cubo, n numero di elettroni in un centimetro cubo. I due sono su piani energetici diversi ma convivono sullo stesso spazio. p ed n diventeranno funzioni: p(x) ed n(x), quindi potranno cambiare. Man mano che mi sposto nello spazio x avranno degli andamenti. Noi consideriamo una sola dimensione, quindi solo la x.

All’interno del cristallo rappresentiamo la struttura a banda che permette la conduzione:

Figura 6

Rappresentazione 3D-2D struttura del cristallo. Pagina | 2

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A seconda del salto di energia che separa le bande posso avere un comportamento di energia completamente differente. Tutti i materiali sono costituiti da bande energetiche ciò che cambia è la banda proibita. Se il salto di energia è grande a temperatura ambiente l’elettrone non fa il salto. Un metallo ha la banda di conduzione che si sovrappone alla banda di valenza e infatti il metallo conduce sempre. Il semiconduttore ha un valore intermedio tra la banda di valenza e la banda di conduzione.

Ad ogni elettrone che salta corrisponde una lacuna lasciata in banda di valenza. Il numero di elettroni in banda di conduzione è uguale al numero di lacune in banda di valenza: = =. Il pedice “i” sta per intrinseco: può essere modificato solo dalla temperatura.

Sommario veloce

• Gli elettroni esistono solo su stati quantici distribuiti in bande, che sono fondamentalmente due: banda di conduzione e banda di valenza, che sono insiemi in cui gli stati energetici sono molto vicini tra loro e si possono facilmente modificare.
• Mentre per passare da uno all’altro ci vuole energia, normalmente la banda di valenza è quasi completamente piena e la banda di conduzione quasi completamente vuota.

Tecnica del drogaggio: vengono introdotte delle impurezze all’interno del materiale pur mantenendo la struttura cristallina. Il primo tipo di impurezza è di tipo pentavalente, antimonio, fosforo e arsenico.

I materiali pentavalenti vengono immessi a forza nella struttura cristallina andando ad occupare il posto di un atomo di silicio che aveva una struttura tetravalente, che verrà mantenuta dall’atomo impuro, avendo quindi 4 elettroni intorno a sé, quindi il quinto elettrone non sta più lì ma viene rilasciato: acquista energia per finire nella banda di conduzione.

Figura 7

Struttura cristallina con atomo pentavalente.

Il numero di elettroni in banda di conduzione è uguale al numero di atomi donori: = “D” sta per donori.

Il limite superiore della banda di valenza prende il nome di E_V, mentre il limite inferiore della banda di conduzione prende il nome di E_C.

Il quinto elettrone dell’atomo pentavalente è ad un livello energetico più alto quindi gli basta poca energia per ritrovarsi dentro la banda di conduzione perché l’elettrone è delocalizzato e la sua probabilità di salto è enormemente elevata. Questo è un modo per creare artificialmente tanti elettroni per evitare di strapparli forzatamente dalla banda di valenza. Le lacune però in questo caso sono meno. Il meccanismo di ionizzazione dell’impurezza si sovrappone al termico. In principio dal punto di vista termico dovrei avere un po’ di elettroni e un po’ di lacune, a questo meccanismo che è quello termico, si aggiunge il drogaggio.

15 20 −3 10 10 10 −3 = 10.

Gli elettroni tendono a ricombinarsi e a prendere ad energia più basso lo spazio delle lacune. In condizioni di un materiale drogato, le lacune diminuiscono enormemente rispetto alle condizioni di equilibrio:

2 = Legge di azione di massa.

Qualunque sia il livello di drogaggio all’equilibrio vale: 2 ∗ =. Pagina | 3

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Possiamo fare anche l’operazione complementare: impurità accettori. Aggiungiamo atomi trivalenti, tendono a formare quattro legami perché la struttura li forza a fare un legame aggiuntivo. Gli atomi trivalenti sono o boro o gallio. Viene estratto dalla banda di valenza un elettrone e viene localizzato intorno al nucleo, creando così una lacuna.

L’introduzione dell’impurezza fa sì che si crei uno stato molto vicino alla banda di valenza, tanto che l’elettrone salta e arriva sul livello energetico chiamato di accettore.

Si formano tante lacune quanti sono gli atomi accettori. Quindi più lacune ci sono, minore sarà il numero di elettroni.

Figura 8

Banda di conduzione e di valenza con impurità accettore.

Ci saranno delle cariche positive e delle cariche negative all’interno di un semiconduttore. + = +.

Ognuno di questi termini rappresenta della carica. Le cariche rappresentate qui sono Coulomb, ma sono distinte perché hanno delle caratteristiche diverse. La carica positiva del donore sta ferma agganciata con tutti gli altri legami, si chiama ione fisso, a differenza di questo la lacuna generata è una carica delocalizzata e che quindi si può muovere. La stessa cosa avviene per gli elettroni e gli accettori. Molto spesso non ci sono tutte insieme. Quando un materiale ha un certo tipo di drogaggio uno dei due termini diventa molto più grande dell’altro.

In altre situazioni dovremmo andarci a riprendere i portatori liberi anche quando sono pochi. Chiameremo il numero di portatori con numero alto di drogaggio maggioritario, l’altro invece minoritario. Il secondo non conterà dal punto di vista elettrostatico ma per aspetti che riguardano il movimento della carica.

Gli stati sono delocalizzati ma nell’andare a scrivere le equazioni torneremo alla forma particellare.

Gli elettroni possono muoversi grazie ad un campo elettrico che eserciterà una forza.

Se applico un campo elettrico costante gli elettroni si muovono con velocità costante in direzione negativa, perché nel tempo l’elettrone acquisterà energia che gli farà fare degli urti con il reticolo cristallino. Macroscopicamente quindi lui si sposta con velocità media, che è proporzionale al campo elettrico, proporzionale all’energia ottenuta tra un urto e l’altro. Questo coefficiente di proporzionalità si chiama mobilità.

Lo scattering è il fatto che posso avere degli urti con il reticolo. Maggiore è la temperatura maggiore è la probabilità di urto.

Lo stato energetico è dovuto al fatto che l’elettrone sta rimbalzando all’interno di una struttura periodica cristallina, infatti è quella che genera e definisce lo stato energetico in cui si muove l’elettrone.

Se però questi nuclei si spostano perché la temperatura è aumentata, dato che stanno vibrando, è come se il passo cambiasse: la temperatura riduce la mobilità.

L’altra cosa che riduce la mobilità è il drogaggio: l’atomo drogante è enormemente carico, quindi l’elettrone perde la sua energia.

Più è alto il numero di atomi droganti più è bassa la mobilità.

Se il silicio cristallino ha una superficie, gli atomi lì non sono collegati bene, ma rimangono appesi sulla superficie, il reticolo in questo caso è particolarmente distorto e quindi la mobilità si abbassa particolarmente. Il transistor MOS prevede che gli elettroni passino sulla superficie quindi bisogna analizzare questo problema.

= − 0 = − =.

Sto muovendo quindi una densità di carica con una velocità, quindi creo una densità di corrente. Il campo elettrico produce sugli elettroni una corrente positiva se il campo elettrico è positivo.

= 0. Pagina | 4

Elettronica I: introduzione ai componenti elettronici.

Lo stesso discorso si può fare per le lacune. Essendo cariche positive si spostano nella direzione concorde al campo elettrico. ( ) = + = 0 0.

A parità di concentrazione, la resistività di un materiale n è sempre minore di quella del materiale p, perché la mobilità di p è minore di quella del materiale n.

La massa efficace, rapporto della massa dell’elettrone sull’orbitale rispetto alla sua massa, dell’elettrone in banda di conduzione è minore della banda di valenza: le lacune si muovono più lentamente degli elettroni.

Non è però l’unico modo con cui si possono spostare i portatori.

Le espressioni che stiamo ricavando si riferiscono solo ai portatori liberi.

Diffusione: il numero di atomi che si spostano nell’unità di tempo è proporzionale al gradiente.

Figura 9

Diffusione delle lacune: dalla parte con più concentrazione alla parte con meno concentrazione.

Le lacune non sono costanti.

La densità di corrente sarà: = − ( ).

Le lacune si spostano lungo l’asse x, ma se ce ne sono tante a sinistra e poche a destra il gradiente sarà negativo, quindi il gradiente farà spostare lungo la direzione positiva dell’asse x, crea quindi una corrente di lacune positiva.

Per quanto riguarda gli elettroni: = ( ).

I due mezzi di trasporto vanno considerati contemporaneamente: sia le lacune sia gli elettroni si possono spostare per un campo elettrico sia per il gradiente.

= − ( ).

= + ( ).

Questi due termini contengono termini non lineari. Il secondo di ognuno di queste equazioni è lineare, più aumento p o n più aumento il gradiente. Mentre nel primo termine ho E e la densità di carica che crea quindi un’equazione non lineare.

Giunzione P-N

Andiamo ad esaminare la prima delle strutture.

Mettiamo insieme attaccati due semiconduttori: uno drogato p l’altro n. All’inizio sono entrambi neutri.

Figura 10

Giunzione P-N. Pagina | 5

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Esempio numerico

Consideriamo che le lacune e gli elettroni dal lato drogato p sono:

18 = = 10 0 2 2 = = 100.

Nella zona n invece:

15 = 10 = 02 5 = = 10 0.

Nell’istante in cui si toccano arrivo ad una distanza clamorosa di portatori da un lato e dall’altro.

Avviene quindi una diffusione.

Le lacune si portano dietro la carica positiva e gli elettroni si portano dietro la carica negativa. La lacuna lascerà non compensata una carica negativa, mentre l’elettrone che era stato generato da una carica positiva fissa la lascia nella zona n. Quindi si sta formando un dipolo e quindi per la legge di Gauss si genera un campo elettrico.

Tutte le cariche che tentano di muoversi risentono della forza del campo elettrico. L’inter diffusione di elettroni e lacune si ferma rapidamente: tempo di rilassamento del dielettrico, ordine di picosecondi.

La situazione si congela. Si forma quindi un dipolo con cariche positive sulla sinistra e negative sulla destra: il dipolo blocca il mescolamento. Il materiale rimane quindi neutro, tranne in un sottile strato che separa le due zone. La giunzione è caratterizzata da questo dipolo di carica. Dobbiamo studiare le caratteristiche della struttura.

I maggioritari nella zona di svuotamento intorno alla giunzione è come se scomparissero: non è completamente vero, ma molto vicino alla realtà ed è comodo per fare i conti.

Nella zona di svuotamento quindi rimangono solo gli ioni fissi.

Larghezza della zona di svuotamento

Uno degli elementi fondamentali per trattare gli elementi, ma non è il conto più importante, lo sarà quello della corrente.

Ci bastano le equazioni di Gauss e di Poisson, perché siamo