Appunti Statistica c.a. - modulo 2 (parte 3)

Lezione 12

Mercoledì 8 marzo 2023 09:14

Proprietà dell'IA

1. Proprietà di additività di IA per v.c. indipendenti

IA (θ; Ŷ) = V [u(θ; Ŷ)] = ∑_i=1ⁿ V [u(θ; Y_i)]

Es.: n=1 Y_i ∼ N (θ; σ²=1), θ ∈ Θ⊆ℝ

Kernel di L (θ; y_i) = exp{-1/2 (y_i - θ)²}

l(θ; y_i) = -1/2 (y_i - θ)²

u (θ; y_i) = y_i - θ

IA (θ; y_i) = V [u (θ; y_i)] = E [ ( ∂l(θ; y_i) / ∂θ ) ]² = -E ( -1 ) = 1 = i (θ)

(info ottenuta di Fisher contenuta in un campione di dimensione 1)

n=2 Ŷ = (Y₁, Y₂) indipendenti

IA (θ; Ŷ) = V [u (θ; Ŷ)]

= V [u (θ; Y₁)] + V [u (θ; Y₂)]

= IA (θ; Y₁) + IA (θ; Y₂)

(posso farlo perché Y₁, Y₂)

2. Additività per v.c. i.i.d.

Ŷ = (Y₁, ..., Y_n) n variabili IID

IA (θ; Y_i) = i (θ) i = 1, ..., n

IA (θ; Ŷ) = i (θ) + ... + i (θ) = n i (θ)

nell'esempio

IA (θ; Ŷ) = n⋅1 = n

Teorema - Disuguaglianza di Rao-Cramer (p.79)

Nell'ambito di un problema regolare di stima, con k = 1.

Lezione 12

Mercoledì 8 marzo 2023 09:14

Proprietà dell'IA

1. Proprietà di additività di IA per v.c. indipendenti

IA (θ; Ỹ) = V [u(θ; Ỹ)] = ∑_i=1ⁿ V [u(θ; Y_i)]

Es.: n = 1 Y₁ ~ N (θ; σ² =1) θ ∈ Θ = ℝ

Kernel di L (θ; y₁) = exp { - 1/2 (y₁ - θ)² }

l(θ; y₁) = - 1/2 (y₁ - θ)²

u (θ; y₁) = y₁ - θ

IA (θ; y₁) = V [u(θ; y₁)] = - E [ (∂ l(θ; y₁) / ∂θ²) ] = - E ( -1 ) = 1 = i (θ)

n = 2 Ỹ = (Y₁, Y₂) indipendenti

IA (θ; Ỹ) = V [u(θ; Ỹ)]

= V [u(θ; Y₁)] + V [u(θ; Y₂)]

= IA (θ; Y₁) + IA (θ; Y₂)

2. Additività per v.c. i.i.d

Ỹ_i = (Y₁, …, Y_i, …, Y_n) n variabili i.i.d

IA (θ; Y_i) = i (θ) i=1,...,n

IA (θ; Ỹ) = i (θ) + … + i (θ) = n i (θ)

nell'esempio IA (θ; Ỹ) = n . 1 = n

Teorema - Disuguaglianza di Rao-Cramer (p.79)

Nell'ambito di un problema regolare di stima, con k = 1.

Teorema - Disuguaglianza di Rao-Cramer (p.79)

Nell'ambito di un problema regolare di stima, con k=1. Sia T(\bar{y}) uno stimatore di \theta t.c. il suo valore atteso

E[T(\bar{y})]=\alpha(\theta) esiste ed è derivabile rispetto a \theta

V[T(\bar{y})] ≥ \frac{[\alpha'(\theta)]^2}{I\!A(\theta)}; \alpha'(\theta)=dE[T(\bar{y})]/d\theta

purché 0 < I\!A(\theta) < +\infty

la varianza dello stimatore non può essere più piccola

del rapporto, che viene definito "limite inferiore di

Rao-Cramer per la varianza di T(\bar{y})"

Osservazioni

T(\bar{y}) corretto per \theta → E[T(\bar{y})]=\theta

→ \alpha(\theta)=\theta

→ \alpha'(\theta)=1

funz. identità

V[T(\bar{y})] ≥ \frac{1}{I\!A(\theta)} = [I\!A(\theta)]^{-1}

Se V[T(\bar{y})] = \frac{1}{I\!A(\theta)} (corretto e con varianza minima)

lo stimatore è pienamente efficiente

→ minore è la varianza, maggiore è l'info attesa

→ I\!A(\theta) = \frac{1}{V[T(\bar{y})]}

misura della precisione massima della stima attesa di \theta ricavabile

a partire da uno stimatore corretto

k>1 & T(\bar{y}) corretto per \theta

V[T(\bar{y})] - [I\!A(\theta)]^{-1} è una matrice semi-definita positiva

\bar{y} = (y_1, ..., y_n) \ \text{iid}

I\!A (θ; \bar{y})=nI(θ)

Esempio

Y_i ∼ N(θ; σ² = 1), θ ∈ ℝ

Θ̂ = ȳ = M₁ = ¹/_n ∑ y_i

E(Θ̂) = θ

V(Θ̂) = ¹/_n

Calcolo IΛ(θ)

l(θ | x) = -¹/₂ ∑ (y_i - θ)²

u(θ) = ∑ y_i - nθ

u'(θ) = -n

IΛ(θ) = -E[-n_i] = n

=> V(Θ̂) = ¹/_IΛ(θ)

Θ̂ è corretto e pienamente efficiente

La varianza dello stimatore misura la dispersione delle stime attorno al valore atteso

V[ T̅(ȳ) ] = E { [ T̅(ȳ) - E [ T̅