Appunti Simulazione di Componenti e sistemi idraulici per applicazioni veicolo

Programma simulazione di componenti e sistemi idraulici

Metodi di risoluzione numerica

La soluzione del problema per problemi ingegneristici si ottiene in corrispondenza di una collezione di punti temporali chiamati TIME STEPS. Questi sample sono interni a un intervallo temporale di soluzione t=0<t₁<...<tₙ=t_fin. In base al tipo di problema e alla tipologia di soluzione che vogliamo ottenere, avremo una nuvola di punti temporali differenti e quindi time steps differenti.

I metodi di integrazione maggiormente utilizzati ricadono all'interno di due principali categorie:

Metodi espliciti di Runge-Kutta

Sono anche chiamati metodi: a un passo poiché per calcolare la soluzione di yₙ₊₁ è necessario conoscere solamente la soluzione di yₙ. Per usare questo metodo è importante conoscere il time-step: h: tₙ₊₁-tₙ. I metodi espliciti sono i più semplici da implementare proprio perché questi sono espliciti. Uno degli enormi svantaggi è dato dalla loro modesta efficacia computazionale nel caso in cui le equazioni siano fortemente non lineari.

Metodi numerici impliciti

Sono anche chiamati metodi impliciti poiché per calcolare la yₙ₊₁ è necessario conoscere più di una soluzione calcolata a passi precedenti dalla generica variabile di stato y.

Metodo di Eulero esplicito e implicito e metodi dei trapezi

Soluzione esatta: y(t)= A e^-t

Eulero esplicito:

• yₙ₊₁= yₙ + R . fₙ₊₁
• y₀ = Ay₁ = y₀ + R . y₀
• y₂ = y₁ + R . y₁ ⇒ y₂= A . (1+R . ) . (1+ R . ) =A . (1+ R . )²
• yₙ = A . (1+ R . )^ⁿ

Eulero implicito:

• yₙ₊₁ = yₙ + R . fₙ₊₁
• y₀ = Ay₁ = y₀+ R . y₁ ⇒ y₁ ⇒ y₁ .(1- R . ) = A ⇒ y₁=A/(1- R . )
• y₂= y₂+ R . y₃ y₂ ⇒ y₂ . ( 1- R . )=A/(1- R . ) ⇒ y₂= A/(1- R . )²
• yₙ= A/(1- R . )^ⁿ

Metodo dei trapezi:

• yₙ₊₁=yₙ+ h / 2 (fₙ₊₁+fₙ₊₁)
• y₀=Ay₀ = h / 2 (y₀+ y₁³)= y₁.(1 h . 2 .)A .(1R..h.2) ⇒ yₙ=A.(1+ . h h²/ 2)ⁿ/h.(1-2.. h/ 2)ⁿ

Stabilità

Metodo assolutamente stabile

Consideriamo una generica variabile di stato al passo n+1 a partire da uno c.a. A e la medesima variabile di stato calcolata a partire da una condizione iniziale leggermente perturbata:

• y_n+1 = A; y_n+1 → (A + Δ)
• Metodo assoluto stabile se: lim_n→∞ (y_n+1^* - y_n+1) = 0

Regione di assoluta stabilità

Soluzione analitica: y = A e^λt ⇒ y_n+1 = A e^λ(n+1)Δt ; y_n+1^* = (A+d)e^λ(n+1)Δt

Valuto la regione di assoluta stabilità equazionando a 0 il seguente limite:

• lim_n→∞ d e^λ(n+1)Δt = 0

Questa equazione è verificata per λ. Dunque graficamente:

• Regione assoluta stabilità se λ è un numero complesso ha regione di assoluta stabilità quindi coincide con il semipiano negativo del piano complesso.
• Regione assoluta stabilità se λ numero reale

Regione di assoluta stabilità del metodo a Eulero esplicito

y_n+1 = A(1 + R_Lλ)ⁿ⁺¹ ;

y_n+1^* = (A+Δ)(1 + R_Lλ)ⁿ⁺¹

lim_n→∞ Δ(1 + R_Lλ)ⁿ⁺¹ = 0

Stabilità se: 1 - |R_Lλ| Lλ Con R_L = 0.1 e λ = 1 siamo oltre regione di assoluta stabilità. Con λ = -1000 siamo oltre da tale regione.

Regione assoluta stabilità se λ numero complesso

Regione assoluta stabilità metodo Eulero implicito

y_n+1 = A^y_n = Aⁿ

Avremo assoluta stabilità quando: lim _n→∞ d = 0