Appunti Simulation and modelling of turbulent flows - 2/2

Dissipation anomaly e multiscale phenomena

Dissipation anomaly: ε = 2νS_ijS_ij ∼ U₀³ / L₀|∇ψ| ∼ VRe

Multiscale phenomenon: L / η ∼ Re^3/4

Equazioni di ordine ridotto in CFD

In CFD usiamo equazioni di ordine ridotto che rompono la legge L / η ∼ Re^3/4 e poiché L / η = / x ∼ NRANS ∂U_i / ∂x_i = 0 ∂U_i / ∂t + ∂U_iU_j / ∂x_j = -1 / ρ ∂P / ∂x_i + ν ∂²U_i / ∂x_j² - ∂u_iu_j / ∂x_j

R_ij = tensore di stress di Reynolds

u²u¹'^u2_w'²v²w'^{reversed v2'}w'v'v'^{reversed w₂}

Queste equazioni sono esatte ma non possiamo risolverle. R_ij introduce 6 nuove incognite: questo è il problema della chiusura della turbolenza.

Modelli di ordine

Primo ordine

Esprimere R_ij come funzione di ũ e P. Tuttavia, questa relazione non esiste direttamente, quindi possiamo usare la nostra conoscenza del flusso turbolento per collegare alcune caratteristiche del flusso medio ad alcune del flusso turbolento.

Secondo ordine

Derivare l'equazione esatta di R_ij; la otteniamo facendo: (NS); −(cNS); e le loro ũ(NS);+u'(cNS); ∂u' _i/∂t + ∂u'_i U_k / ∂x_k = −R_ix U_k − R_jx U_j; 2U_k

Assunzione di Boussinesq

È l'assunzione di primo ordine più famosa, la viscosità turbolenta. L'obiettivo è passare dalla soluzione disturbata a quelle diagonali. L'idea è di aggiungere una viscosità che dissipa le irregolarità non volute. R_ij è chiamato "tensore di stress" perché le fluttuazioni sono percepite dal flusso medio come uno stress aggiuntivo. Basandosi su questo, introduciamo l'assunzione della viscosità turbolenta:

r_ij − ⅓ r_kk δ_ij = −2νT ⟨S_ij⟩

Fenomeni multiscala e equazioni ridotte

Dissipation anomaly: ε = 2νs_ijs_ij ∼ U₀³ / L₀|∇ψ| ∼ √Re

Multiscale phenomena: L / η ∼ Re^3/4 L / η = Δ / ΔX = N

Numero di punti in una direzione: in CFD usiamo equazioni di ordine ridotto che rompono la legge L / η ∼ Re^3/4 e poiché L / η ≫ Re^3/4

Problema di chiusura della turbolenza

∂U_i / ∂X_i = 0 ∂U_i / ∂t + ∂U_iU_j / ∂X_j = -1 / ρ ∂p / ∂X_i + ν ∂²U_i / ∂X_j² - ∂u_iu_j / ∂X_j

τ_ij = tensore di stress di Reynolds

⟨u'u'⟩ ⟨u'v'⟩ ⟨u'w'⟩⟨v'u'⟩ ⟨v'v'⟩ ⟨v'w'⟩⟨w'u'⟩ ⟨w'v'⟩ ⟨w'w'⟩

Queste equazioni sono esatte ma non possiamo risolverle. τ_ij introduce 6 nuove incognite: questo è il problema della chiusura della turbolenza.

Possiamo seguire due strategie:

Primo ordine

Esprimere τ_ij come funzione di Ū e p. Tuttavia, questa relazione non esiste direttamente, quindi possiamo usare la nostra conoscenza del turbolento per collegare alcune caratteristiche del flusso medio ad alcune del flusso turbolento.

Secondo ordine

Derivare l'equazione esatta di τ_ij, la otteniamo facendo: ⟨NS⟩ - ⟨CNS⟩, e poi ⟨U'⟩⟨NS⟩ + U'_i⟨NS⟩;∂τ_ij / ∂t + ∂τ_ijU_k / ∂x_k = - r_ik * U_k / ∂x_k - r_jk * U_k / ∂x_i

18 nuove incognite R_ij = ⟨p'u⟩; S_ijk = ⟨u², ⟨φ²; S_jmn⟩, ⟨u⟩⟨v⟩

Assunzione di viscosità turbolenta

1^st ORDER MODELING - BOUSSINESQ ASSUMPTION

È l'assunzione di primo ordine più famosa, la viscosità turbolenta. L'obiettivo è passare dalla soluzione distorta alle diagonali. L'idea è di aggiungere una viscosità che dissipa le irregolarità non volute. τ_ij è chiamato "stress" tensor perché le fluttuazioni sono percepite dal flusso medio come uno stress aggiuntivo. Basandosi su questo, introduciamo l'assunzione della viscosità turbolenta:

τ'_ij - 1 / 3 r_kkδ_ij = - 2νT ⟨S_ij⟩

Eddy Viscosity

Vogliamo modellare correttamente la parte deviatrice ma in questo modo la diagonale sarà sbagliata, sottraiamo 1/3 ... perché la traccia di s_ij è zero a causa del divergente libero. Non possiamo usare correttamente la diag. di r_ij, ma questo non è un problema perché i termini diagonali sono stress isotropico = pressione, che sarà corretta dal metodo di correzione per ottenere un campo solenoidale.