Appunti Scienze delle costruzioni per ingegneria chimica

Il continuo deformabile: lo stato di sforzo

Considerazioni introduttive

Definiamo continuo deformabile un mezzo continuo in cui le posizioni mutue dei punti possono variare.

Tale modello suppone che:

• La materia sia distribuita con continuità nello spazio che occupa, omogenea;
• Sul corpo agiscano solo forze distribuite.

La meccanica del continuo è applicabile solo se le dimensioni del corpo sono molto maggiori della scala di composizione molecolare, non è idonea a studiare problemi sulla nanoscala.

La definizione matematica di continuo si basa sull’analisi delle forze esterne che agiscono sul corpo.

Le forze esterne che agiscono sul corpo, di volume V e superficie S, sono classificate in:

• Forze di volume: agiscono sull’elemento di volume interno al corpo. Derivano da “un’azione a distanza”. Misurate per unità di massa o volume (forza peso, forze campi magnetici);
• Forze di superficie: agiscono sulla superficie S del corpo e vengono misurate per unità di superficie.

Consideriamo un volume ΔV infinitesimo (finito) all’interno del volume e una superficie ΔS appartenente alla superficie esterna del corpo S. ̅̅̅ ̅̅̅ Δ Δ

Indico con la risultante delle forze di volume su ΔV e con la risultante delle forze di superficie su ΔS.

L’ipotesi di continuità dice che esistono e sono finiti i limiti: ̅̅̅ ̅̅̅ Δ Δ ̅̅ (, ) ( )lim = , lim = , , Δ ΔΔ→0 Δ→0 ̅̅ [ ] [ ].

Dove è in e in3 2 L’eliminazione del vincolo di indeformabilità richiede l’introduzione di una nuova descrizione dei corpi in studio.

Iniziamo a considerare l’asta tridimensionale, si abbandona il modello monodimensionale.

Introduciamo i concetti di sforzo e deformazione.

È possibile caratterizzare il comportamento meccanico di un materiale (legame elastico) secondo i parametri:

• Deformabilità: legame tra sforzi e deformazioni (prendo un’asta, la tiro (sforzo e vedo quanto si allunga (deformazione);
• Resistenza: capacità del materiale di sopportare i carichi applicati senza rompersi e perdere capacità portante.

Intensità della forza/stress: la forza non è più applicata sul baricentro del corpo ma è distribuita sulla superficie. Ho una distribuzione delle “pressioni” esercitate dal corpo: [ ]= = []2 σ è uno sforzo diretto come la normale all’area su cui agiamo.

Analisi e progetto

Sulla base dei concetti di sforzo, deformazione e legame elastico è possibile risolvere i seguenti problemi:

Problemi di progetto: date le azioni interne e le caratteristiche del materiale di cui è composta la struttura, progetto la struttura secondo le necessità.

Problemi di verifica: date le azioni interne, la geometria della sezione e le caratteristiche del materiale, verificare se la struttura è in sicurezza.

Problema di verifica

Possiamo dire che una struttura è definita in sicurezza se lo sforzo è inferiore alla tensione massima ammissibile: < Esempio 30 = 165 .

Verificare se la struttura può supportare una forza di nel punto B. Conosciamo Da analisi statica ricaviamo che = 40 = 50(compressione) (trazione) La tensione su BC sarà data da 3 50 ∙ 10 = = = 159 −6 2 314 ∙ 10 < Siccome possiamo dire che l’asta BC può sostenere in sicurezza il carico al quale sarà sottoposta.

Problema di progetto

In questo caso, invece, parto dal massimo sforzo ammissibile σ per calcolare l’area minima che soddisfa la relazione: = → = Esempio = 100 .

Ipotizziamo di usare un alluminio di tensione ammissibile 3 50 ∙ 10 −6 2 = →= = = 500 ∙ 10 100 −6 2500∙10 2 −3=√ = → = 12,62 ∙ 10 = 12,62 Siccome = 2 = 25,2 Da cui si ricava.

Coefficiente di sicurezza – metodo delle tensioni ammissibili

Per questioni di sicurezza in genere nella progettazione di struttura vengono considerati dei parametri aggiuntivi quali: incertezze delle proprietà del materiale, incertezza delle analisi, fallature, numero dei cicli, manutenzione, deterioramento struttura etc.

Questi vengono conteggiati grazie all’aggiunta di un fattore di sicurezza strettamente maggiore di 1. In questo modo, grazie al coefficiente di sicurezza, riduco lo sforzo ultimo. = = Dove è il valore di sforzo ultimo, trovato spezzando l’asta sotto il carico.

Nel metodo delle tensioni ammissibili l’incertezza grava su tutta la resistenza del materiale.

In alternativa si considerano separatamente le incertezze legate alla struttura da quelle legate ai carichi e si valuta la sicurezza in termini di sollecitazioni e non di sforzi.

Queste sollecitazioni le implementiamo con dei coefficienti γ, che sono entrambi maggiori di 1. Teniamo conto dell’incertezza amplificando il carico.

P è la sollecitazione dovuta ai carichi permanenti (dead load), strutturali (peso proprio) e non strutturali D > 1.

P è la sollecitazione dovuta ai carichi variabili (live load, è il carico utile), tengo conto della variabilità della D capacità portante > > 1 → ∅ < 1.

P è la capacità portante dell’elemento/sollecitazione limite U.

Verifica: la sollecitazione deve essere minore della resistenza + ≤ ∅.

Sforzi normali e tangenziali (Two-Force Members)

Sforzi normali

La risultante delle azioni interne di un elemento caricato da azione assiale centrata è normale ad una sezione perpendicolare all’asse dell’elemento (sezione retta).

L’intensità della forza agente su questa sezione è definita come sforzo (o tensione) normale σ: Δ = lim =Δ Δ→0.

La tensione normale in un dato punto può non essere uguale alla tensione media, ma la risultante della distribuzione delle tensioni deve soddisfare l’equazione ∫ = =.

L’effettiva distribuzione delle tensioni è staticamente indeterminata, cioè non può essere determinata con le sole equazioni di equilibrio.

Azione assiale ed eccentrica

Una distribuzione uniforme di tensioni in una sezione implica che la risultante delle forze interne passi per il baricentro della sezione.

Una distribuzione uniforme di tensioni è possibile solo se i carichi concentrati agenti sulle sezioni terminali dell’asta sono applicati al baricentro della sezione.

Se un’asta è caricata in maniera eccentrica, ovvero che la risultante delle forze non agisca sul baricentro, la distribuzione delle tensioni deve essere equivalente ad una forza assiale più una coppia.

La distribuzione delle tensioni in un elemento caricato eccentricamente non può essere uniforme o simmetrica.

Tensioni tangenziali

Le forze P e P’ sono applicate trasversalmente all’elemento AB. Le forze interne corrispondenti agiscono nel piano della sezione C e sono dette tensioni tangenziali.

La risultante delle forze interne tangenziali è detto taglio della sezione ed è uguale al carico P.

La corrispondente tensione tangenziale media τ media è = Il valore della tensione tangenziale varia da zero sulla superficie dell’elemento ad un valore massimo che può essere molto più grande del valore medio.

La distribuzione della tensione tangenziale non può essere assunta uniforme.

Tensione di rifollamento nelle connessioni

Bulloni, rivetti e perni creano tensioni nei punti di contatto degli elementi ad essi collegati.

La risultante delle distribuzioni di forze sulla superficie è uguale ed opposta alla forza esercitata sul perno.

L’intensità media della forza corrispondente è chiamata tensione di rifollamento = = Va considerato in questo caso anche l’elemento su cui poggia il bullone.

Tensioni in elementi su cui agiscono due forze

Le forze assiali in elementi con due forze danno luogo solo a tensioni normali in un piano perpendicolare all’asse dell’elemento.

Forze trasversali su bulloni e perni danno luogo solo a tensioni tangenziali nel piano perpendicolare all’asse del bullone o del perno.

Sia le forze assiali sia quelle trasversali possono produrre sia tensioni normali che tensioni tangenziali su un piano non perpendicolare all’asse dell’elemento.

Sforzi su un piano obliquo

Tracciamo una sezione inclinata di angolo θ con la sezione normale. Per l’equilibrio, le forze distribuite sul piano devono essere equivalenti alla forza P (non è più né un’azione assiale né un taglio). Scomponiamo la forza P nelle componenti normale e tangenziale sulla sezione inclinata. = =.

Le tensioni normale e tangenziale media sul piano inclinato sono 2= = = cos / = = = /.

Sforzi massimi

2 = cos = .

Abbiamo definito sforzo normale e tangenziale sul piano obliquo: e.

La massima tensione normale si ha quando il piano è perpendicolare all’asse dell’elemento: ′ = ; = 0 ±45°.

La massima tensione tangenziale si ha su un piano inclinato di rispetto all’asse: = 4545 = = 2 2.

Tensioni per condizioni di carico generali

Metodo delle sezioni: si consideri un elemento soggetto a una combinazione generica di carichi separato in due parti da un piano passante per il punto Q e normale all’asse x.

Ricavo una tensione assiale e una tangenziale. La tensione tangenziale la ripartisco a sua volta nelle componenti x e y.

La distribuzione delle componenti della tensione interna può essere definita come: ΔΔ Δ = lim = lim = lim Δ Δ ΔΔ→0 Δ→0 Δ→0.

Considerazioni analoghe possono essere svolte sui piani aventi come normali gli assi y e z. , , , , , , , , Avremo quindi 9 componenti: .

Per il principio di azione e reazione e il rispetto delle condizioni di equilibrio, sull’altra porzione dell’elemento deve essere presente una distribuzione di tensioni uguale e opposta.

Componenti sui piani coordinati: per l’equilibrio, tensioni uguali ed opposte sono esercitate sui piani nascosti; , , _su ogni piano agiscono uno sforzo normale ( ) e due sforzi , , , , , tangenziali ( ); _sforzi positivi se sono diretti come gli assi del sistema di riferimento sulle facce visibili, positivi quando sono in trazione.

Per scrivere l’equilibrio del corpo elementare posso ancora usare le equazioni cardinali della statica: ∑ ( (⤽ = 0 Δ) − Δ) = 0 = ; = ; =.

Le tensioni tangenziali non possono verificarsi sono su un piano!

La stessa condizione di carico conduce a sforzi differenti su piani diversamente orientati.

Definizione stato di sforzo nell’intorno di un punto (Cauchy)

Consideriamo un corpo continuo in equilibrio, soggetto a forze esterne note, e immaginiamo di dividerlo in due con una superficie piana di normale ̅.

Ciascuna delle due parti esercitava sull’altra delle azioni; per mantenere l’equilibrio dobbiamo sostituire alla continuità le forze che essa trasmetteva.

Definiamo una ΔS, centrata nell’intorno del punto Q in esame; consideriamo la normale n a ΔS positiva se Δ̅ uscente dalla superficie. Sia la risultante forza che agisce sulla superficie.

Coerentemente con l’ipotesi di continuo, ammettiamo al tendere a zero della ΔS, e quindi al ridursi Δ̅ dell’area al punto Q, nonostante sia sia ΔS tendano a zero, assuma un valore finito limite: Δ̅ lim = ̅ ΔΔ→0.

Il vettore ̅ rappresenta lo sforzo nell’intorno del punto Q sulla giacitura di normale ̅.

In generale lo sforzo dipende dalla posizione del punto Q e dalla direzione della normale alla superficie passante su Q.

Postuliamo inoltre che il momento risultante delle forze scambiate attraverso la superficie ΔS tenda a zero al tendere a zero della superficie: ̅Δlim =0ΔΔ→0.

Le due relazioni forniscono la definizione di stato di sforzo nell’intorno di un punto secondo Cauchy.

La conoscenza compiuta dello stato di sforzo in un corpo deformabile richiede la determinazione del ̅ vettore sforzo al variare della giacitura in ciascun punto del corpo stesso.

̅ rappresenta lo sforzo agente sulla giacitura in cui la ̅ ̅ normale uscente ha direzione x. Allo stesso modo e sono gli sforzi agenti sulle giaciture in cui le normali uscenti hanno rispettivamente direzione degli assi y e z.

Immaginiamo il volume approssimabile ad un punto Q: i tre vettori sono quindi gli sforzi in Q agenti su piani normali agli assi coordinati, e non occorre tenere conto di alcuna variazione dello stato di sforzo legata alla posizione del punto su cui gli sforzi agiscono.

̅ = −̅− Sulle tre facce agiscono sforzi uguali e contrari a quelli che agiscono sulle facce visibili.

Inoltre, poiché non esiste alcun legame tra la direzione dello sforzo e la direzione della normale, ogni vettore può essere scomposto nelle sue tre componenti lungo gli assi coordinati. Otteniamo quindi: [ ] [ ] [ ] = = =.

Le componenti con pedici uguali sono gli sforzi normali, mentre le componenti quelle con pedici diversi sono gli sforzi tangenziali. = = = = = = = = =.

Condizioni di equilibrio per corpi deformabili

Le equazioni cardinali della statica per il corpo rigido erano necessarie e sufficienti.={=

Per il corpo rigido risultano necessarie ma non sufficienti.

Immaginiamo di dividere in un certo numero di parti il volume V del corpo deformabile in equilibrio.

• C. n. e s. per l’equilibrio di un corpo deformabile è che le parti in cui può venire arbitrariamente diviso il corpo siano tutte in equilibrio, sotto l’azione delle forze esterne e delle forze trasmesse attraverso le superfici di sezionamento;
• Poiché in ogni parte in cui è diviso un corpo deformabile è a sua volta un corpo deformabile abbiamo che la condizione necessaria per l’equilibrio di tutto il corpo è che siamo verificate per le singole parti le equazioni cardinali della statica per i corpi rigidi;
• Postuliamo ora che la condizione necessaria sia anche sufficiente, se vale qualunque sia la forma e la dimensione delle parti in cui il corpo è diviso.

Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un corpo deformabile è che per ogni sua parte, forma e dimensioni arbitrarie, soggetta alla porzione di forze esterne che le compete e alle forze di superficie trasmesse dalle parti adiacenti, siano verificate le equazioni cardinali della statica.

Lo stato di sforzo dipende dalla giacitura della faccia su cui agisce, dal punto del corpo in cui agisce.

Per poterlo determinare dobbiamo esplicitare entrambe le dipendenze e trovare la relazione con i carichi esterni.

La relazione di Cauchy

Vogliamo dimostrare che è possibile ricavare lo sforzo nel punto su una generica giacitura di normale n:

• Dati in un punto Q i vettori sforzo su tre giaciture mutuamente perpendicolari;
• ̅Definito il versore n di una retta alla superficie su cui si cerca lo sforzo.

Assumiamo l’origine del sistema di rifermento coincidente con il