Appunti riassuntivi e Formulari di Meccanica applicata alle macchine

POLITECNICO DI MILANO

Autore

Andrea Viale

Corso di Laurea: Ingegneria Meccanica

Anno Accademico: 2025/2026

Semestre: II Meccanica Applicata alle Macchine

Insegnamento:

Codice Insegnamento: 054828

Numero di CFU: 10

Professore: Collina Andrea

Libro di testo (di riferimento): Fondamenti di meccanica teorica ed applicata (McGraw Hill)

Descrizione:

Il seguente file è interamente basato sulle lezioni frontali del corso ed integrato tramite il libro di

testo di riferimento, indicato dal professore. Sono inoltre presenti alcuni approfondimenti

riguardanti gli argomenti più complessi e delicati, all’interno degli stessi paragrafi, oppure a parte.

Cosa include il seguente file:

8 riassunti appositi alla preparazione dell’esame, che coprono ogni possibile argomento che potrebbe

capitare nella prova (cinematica, dinamica, statica, MTU, vibrazioni, geometria delle masse, …)

Documento redatto a scopo di studio personale. È severamente vietata la riproduzione, la condivisione e la rivendita non

autorizzata a terzi. Questo materiale non sostituisce lo studio sui testi ufficiali o la frequenza alle lezioni.

Programma del corso:

Cinematica e dinamica dei sistemi di corpi rigidi nel piano con elementi di meccanica analitica.

Forze scambiate tra solidi, attriti, resistenze di rotolamento. Forze di interazione fluido-solido, forze

aerodinamiche, cenni sulla lubrificazione idrostatica e idrodinamica. Dinamica della macchina a un

grado di libertà, curve caratteristiche del motore e dell'utilizzatore, la trasmissione, moto a regime,

in transitorio e in regime periodico. Organi delle macchine per la trasmissione e la trasformazione

del moto. Trasmissioni a ingranaggi: rotismi ordinari ed epicicloidali. Trasmissioni flessibili: cinghie,

catene. Vibrazioni meccaniche di sistemi ad un grado di libertà ed applicazioni.

Versione del file: 1.2

In caso di eventuali modifiche (correzione di errori o altre) la versione del file cambia

Nota dell’autore:

“ Grazie per il tuo acquisto!

Grazie di cuore per l'acquisto e per la fiducia che mi hai dimostrato! Ho dedicato molto tempo e

cura alla stesura di questo documento; spero vivamente che queste dispense ti siano utili per

alleggerire lo studio, comprendere al meglio la materia e per superare l'esame con successo.

Se ti sei trovato bene e reputi questo materiale di qualità, ti chiedo un piccolo favore: parlane con i

tuoi amici qualora dovessero aver bisogno di appunti chiari e affidabili su cui prepararsi. Il

passaparola è il supporto più prezioso che tu possa darmi: il ricavato di queste vendite, infatti, è ciò

che mi permette di continuare questa attività, dedicando tempo e risorse alla stesura, alla

revisione e alla pubblicazione di nuove dispense per i prossimi corsi.

Un grande in bocca al lupo per il tuo esame e per il proseguimento dei tuoi studi! ”

Andrea

Altre mie pubblicazioni:

- Dispense di Costruzione di Macchine (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Fisica Tecnica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Principi di Ingegneria Elettrica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Statistica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Meccanica dei Fluidi (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Tecnologia Meccanica (lezioni, esercitazioni e mappe mentali)

Elenco aggiornato a Luglio 2026 "Non c’è vento favorevole per il marinaio che non sa dove andare."

— Lucio Anneo Seneca

GDL e CIR

Calcolo gradi di libertà

Il calcolo dei gradi di libertà e di vincolo è lo stesso di quello nel corso di

costruzione di macchine

In più, bisogna tenere presente che:

Il vincolo di contatto vale un solo grado di vincolo (vincola la proiezione

delle velocità dei corpi, lungo la direzione normale, ad essere uguale)

Il vincolo di contatto con puro rotolamento vale due gradi di vincolo

(vincola le velocità dei corpi ad essere uguali, quindi entrambe le

componenti)

La perfetta aderenza tra fune e puleggia costituisce un grado di vincolo

interno

L’inestensibilità della fune costituisce un grado di vincolo interno

Se le forze agenti non attivano l’oscillazione (spostamento orizzontale) di

una massa sospesa da una fune, tale grado di libertà non viene attivato ed

è possibile saturarlo con un vincolo fittizio considerando la massa come

collegata ad un carrello su guida verticale (che quindi non consente il moto

orizzontale)

Nei nostri casi i sistemi saranno sempre ad un grado di libertà

Determinazione dei CIR

Il CIR è il punto pensato come appartenente al corpo rigido dotato di velocità

nulla nell’atto di moto considerato

Il metodo di determinazione dei CIR è lo stesso di quello nel corso di

costruzione di macchine, almeno per i vincoli già visti

Lo studio dei CIR serve principalmente per lo studio dei dischi

In più, bisogna tenere presente che:

GDL e CIR 1

Il vincolo di puro rotolamento impone che il CIR relativo tra disco e guida

coincida con il punto di contatto. Inoltre se la guida è fissa (a terra) allora il

punto di contatto coincide anche con il CIR assoluto del disco

Inoltre, si possono (e si devono) usare i due strumenti aggiuntivi seguenti:

Ortogonalità ai vettori velocità

Dato che il CIR è ortogonale ai vettori velocità di tutti i punti del corpo rigido;

data la direzione della velocità di due punti qualsiasi del corpo rigido è possibile

determinare il CIR, in quanto coincide con l’intersezione tra le rette normali alle

direzioni dei vettori velocità di quei due punti

Teorema dei tre centri di rotazione (Aronhold-Kennedy)

Enunciato formale

Dati tre corpi rigidi , e in moto relativo piano, i tre centri di istantanea

i j k

rotazione a loro associati, presi a due a due (ovvero i punti , e ),

C C C

ij jk ik

​ ​ ​

devono giacere sulla medesima retta

Traduzione pratica

Dati due corpi in moto relativo piano, rispetto ad un telaio fisso, i loro due CIR

assoluti (rispetto al telaio) e il loro CIR relativo devono giacere sulla stessa retta

GDL e CIR 2

Cinematica

Analisi cinematica

Casi possibili

Cinematica aperta

Sono sistemi composti da una serie di corpi mobili più un corpo fisso, in cui i

membri sono vincolati in successione. Ogni corpo è vincolato esclusivamente

a quello che lo precede e a quello che lo segue nella catena. L'ultimo elemento

è libero di muoversi nello spazio

In questo caso si usa direttamente il teorema dei moti relativi

Cinematica chiusa (meccanismi)

È un sistema in cui almeno uno dei corpi non rispetta la condizione di

successione esclusiva, formando uno o più anelli chiusi. L'ultimo membro della

catena è nuovamente vincolato al primo membro oppure a terra

In questo caso si applica prima il principio di congruenza e solo

successivamente il teorema dei moti relativi

Strumenti di risoluzione

Principio di congruenza

Consiste nel suddividere il sistema in 2 sottosistemi:

Si sceglie un punto in cui dividere il sistema

Si studia la cinematica di quel punto in entrambi i sottosistemi

Si impone che la velocità e le accelerazioni di quel punto siano uguali in

entrambi i sottosistemi

Cinematica 1

Teorema dei moti relativi

Velocità = +

ASS TR RL

v v v

Accelerazione = + +

ASS TR RL Co

a a a a

Da scomporre in accelerazione normale e tangenziale

= + = + + + +

ASS ASS ASS TR TR RL RL Co

a a a a a a a a

tot n t n t n t

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Con

Accelerazione normale 2

=

a ω R

n ​

Accelerazione tangenziale =

a ω̇ R

t ​

Accelerazione di Coriolis = 2 ×

Co RL

a ω v

Dove è la velocità angolare del sistema di riferimento rotante

ω è la velocità relativa del punto rispetto al sistema di riferimento

RL

v

L’accelerazione di Coriolis risulta sempre diretta come l’accelerazione relativa

normale

Note

Se la traiettoria del punto è rettilinea non c’è accelerazione normale ma solo

tangenziale

Cinematica 2

Se il sistema di riferimento relativo non è rotante allora non c’è

accelerazione di Coriolis

Se rispetto al sistema di riferimento relativo il punto non ha velocità relativa

allora non c’è accelerazione di Coriolis

Teorema di Rivals

Si applica ai corpi rigidi e serve per calcolare la velocità e l’accelerazione di un

punto, conoscendole su un altro punto del corpo rigido

Velocità = + × ( − )

v v ω B A

B A

​ ​

Accelerazione 2

= + ( − ) − ( − )

×

a a ω̇ B A ω B A

B A

​ ​

Sistemi di riferimento

Terne traslanti

Tipicamente rendono più semplice l’analisi cinematica in quanto è possibile

calcolare direttamente la velocità angolare di un corpo, data la sua velocità (sia

di trascinamento che relativa), e in quanto non c’è accelerazione di Coriolis

Bisogna tuttavia fare attenzione quando si hanno due corpi rotanti concatenati

in quanto, nel moto di trascinamento, il raggio di curvatura della traiettoria è la

distanza tra centro della terna traslante e fulcro attorno al quale avviene la

rotazione (e non la distanza tra esso il punto preso in analisi)

Questo perché, per studiare il moto di trascinamento, il vincolo fittizio blocca

Φ

la rotazione del corpo a cui appartiene il punto analizzato rispetto alla terna

traslante, e non la rotazione del corpo rigido del punto analizzato rispetto

all’altro corpo rigido (pertanto la rotazione relativa tra i due è concessa)

Di conseguenza le traiettorie curve di tutti i punti del corpo rigido a cui

appartiene il punto analizzato sono uguale, e sono quindi anche la stessa del

Cinematica 3

centro della terna traslante

Il raggio di curvatura sarebbe la distanza tra il fulcro attorno al quale avviene la

(

rotazione ed il punto preso in analisi solo se la rotazione relativa tra i due corpi

rigidi fosse impedita, in tal caso i due corpi rigidi potrebbero essere considerati

come un unico corpo ed allora il raggio di curvatura corrisponderebbe a tale

distanza )

Terne rotanti

In questo caso l’analisi cinematica risulta leggermente più complessa in quanto

è necessario calcolare la velocità angolare di un corpo, data la sua velocità,

applicando il teorema dei moti relativi; inoltre solitamente compare

l’accelerazione di Coriolis (a meno che la velocità relativa del punto sia nulla)

Bisogna sottolineare però che in questo caso non si presenta la complicazione

relativa alla traiettoria di trascinamento, precedentemente evidenziata, che

invece è presente nelle terne traslanti

Come detto prima, in questo caso quando si calcola una certa grandezza

angolare (velocità o accelerazione) bisogna fare attenzione a che tipo di

grandezza si sta calcolando (assoluta, relativa o di trascinamento)

Solitamente nelle terne rotanti:

Grandezze angolari della traiettoria di trascinamento

La velocità e l’accelerazione angolare assoluta del corpo coincidono con quella

di trascinamento, in quanto quest’ultima è uguale a quella della terna rotante

Si possono quindi calcolare direttamente dividendo il modulo della velocità di

trascinamento del punto (appartenen