Appunti quinta lezione Analisi 1

Teorema

Se una successione converge allora è limitata (Insieme di tutti i valori presentano un minorante e un maggiorante).

Succ. convergenti ⊆ Succ. limitate.

Esempio

Es. la successione \( (-1)^n \) da \( m=0 \) è limitata ma non convergente.

Limitata: \(-1 \le a_m \le 1\) ∀ \( m \ge 0 \).

Non converge: per assurdo, supponiamo che \( l \in \mathbb{R} \) sia \( \lim_{m \to +\infty} (-1)^m \).

Posto \( \varepsilon = \frac{1}{4} \) ∃ \( m_0 \) tale che ∀ \( m \ge m_0 \) si ha \( |a_m - l| \).

Disequazione triangolare \( a_{2m} \) \( a_{2m+1} \).

2 = \( |-1 - (-1)| \le | -1 - l + l - (-1) | \le |a_{2m} - l| + |l - a_{2m+1}| \).

Se \( 2m \ge m_0 \) (e \( 2m+1 > m_0 \)) allora \( |a_{2m} - l| \).

Dunque, se \( m > m_0 \), allora \( 2 \).

Dimostrazione

\((a_m \text{ converge} \Rightarrow a_m \text{ limitato})\).

Sia \( l \in \mathbb{R} \) il lim di \(\{a_m\}_{m \to +\infty}\), cioè \(\lim_{m \to +\infty} a_m = l\).

Fisso \(\varepsilon = 1\); per (a defin. di) limite, ∃ \( m_0 \) tale che ∀ \( m \ge m_0 \) si ha \( l - 1 \).

[Grafico]

Sia ora \( m \) = min \(\{ a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{m_0-1}, l-1 \} \).

\( M \) = max \(\{ a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{m_0-1}, l+1 \} \).

Per costruzione, ∀ \( m \ge 0 \) si ha \( m \le a_m \le M \Rightarrow \{ a_m \}_{m=0}^{+\infty} \) è limitata.

Teorema

Se una successione converge allora è limitata (Insieme di tutti i valori presentano un minorante e un maggiorante).

Succ. convergenti Succ. limitate.

Es. la succ {(-1)^m}_m=0^+∞ è limitata ma non convergente.

Limitata: -1 ≤ a_m ≤ 1 ∀ m ≥ 0.

Non converge: per assurdo, supponiamo che l ∈ R sia l = lim a_{mm → +∞}.

Posto ε = 1/4 ∃ m₀ tale che ∀ m ≥ m₀ si ha |a_m - l| < 1/4.

Disuguaglianza triangolare α_2m α_2m+1.

2 = | a_2m - a_2m+1 | = | 1 - (-1) | = 1 + 1 = 2 ≤ | 1 - l | + | l + (-1) | = | a_2m - l | + | l - a_2m+1 |.

Se 2m ≥ m₀ (e 2m + 1 > m₀) allora | a_2m - l | < ε = 1/4 | a_2m+1 - l | < 1/4.

Dunque, se m ≥ m₀ allora 2 < 1/4 + 1/4 = 1/2 assurdo.

Dimostrazione

(a_m converge ⟹ a_m limitato).

Sia l ∈ R il lim di {a_m}_m=0^+∞, cioè lim_{m → +∞} a_m = l.

Fisso ε = 1; per (a defin. di) limite, ∃ m₀ tale che ∀ m ≥ m₀ si ha l - 1 < a_m < l + 1.

Sia ora m_min = {a₀, a₁, a₂, ... , a_m0-1, l - 1}.

M = max {a₀, a₁, a₂, ... , a_m0-1, l + 1}.

Per costruzione, ∀ m ≥ 0 si ha m_min ≤ a_m ≤ M ⟹ {a_m}_m=0^+∞ è limitata.

Proposizione

Una successione {a_m}_m=0^+∞ converge ed l∈R se e solo se la succ { |a_m-l| }_m=0^+∞ converge a zero.

Dimostrazione

lim a_m = l m→+∞ significa: ∀ ε>0 ∃ m₀ t.c. ∀ m≥m₀ si ha |a_m-l| < ε.

lim |a_m-l| = 0 m→+∞ sign.: ∀ ε>0 ∃ m₀ t.c. ∀ m≥m₀ si ha |a_m-l-0| < ε.

Definizione

Una succ. {a_n}_m=0^+∞ si dice divergente a +∞ se ∀ k>0 ∃ m₀ ∈ R tale che ∀ m ≥ m₀ si ha a_m > k > 0.

Si dice invece che {a_n}^+∞_m=0 diverge a -∞ se ∀ k>0 ∃ m₀ ∈ R tale che ∀ m ≥ m₀ si ha a_m < -k.

Si scrive lim a_m → +∞ (-∞).

Esempio

Es. lim (m² - m) = +∞ m→+∞.

Verifica: sia k>0 voglio a_m > k : m² - m > k.

m² - m - k > 0 (Risolvo in m).

M_1,2 = ^{1 ± √(1 + 4k)}/₂.

m < ^{1 - √(1 + 4k)}/₂; ^{1 + √(1 + 4k)}/₂ < m.

Posto m₀ = ^{1 + √(1 + 4k)}/₂ ho dimostrato che se m > m₀ allora a_m > k.

Definizione

Una succ che non converge ne diverge si dice irregolare (o oscillante, o indeterminata).

Es. {(-1)^m}^+∞_m=0 è irregolare.

Non converge (visto), né diverge (?).

Osserv. E' implicito nella def. che se una succ diverge a +∞, allora e' superiormente illimitata.

Teorema

Una succ. {a_m}_m=0^+∞ monotona crescente ammette limite.

Questo limite e' uguale all'estremo superiore dell'insieme dei valori assunti dalla succ. {a₀; a₁; a₂;...; a_m...}.

Più precisamente, se la succ e' limitata, allora e' convergente.

Se la succ. e' sup. illimitata allora e' divergente.

(Analogo per succ. monotone decrescenti (inf.)).

Dimostrazione

Sia {a_m} : mon. crescente limitata.

Dimostro a_m converge al sup (a₀; a₁;...).

Sia E = {a₀; a₁;...; a_m} limitato.

Sia S = sup E ∈ ℝ.

Voglio far vedere che lim_{m → +∞} a_m = S.

Sia ε > 0, devo far vedere che ∃ m₀ t.c. ∀ m ≥ m₀ si ha S-ε < a_m < S+ε.

Poiché S = sup E, S e' un maggiorante per E e dunque ∀ m ≥ 0 a_m ≤ S + ε.

Poiché S = sup E, S e' un minimo dei maggior, cioè se E non e' un maggior di E.

Dunque ∃ m̄ ∈ ℕ t.c. a_m̄ > S - ε. Per la monotonia di li {a_m}, ∀ m ≥ m̄.

Posto m₀ = m̄, ∀ m ≥ m₀ si ha □.

Successione monotona crescente illimitata

Sia ora {a_m}_m=0^+∞ : mon. crescente illimitata.

Allora {a_m}^+∞_m=0 diverge a +∞.

Dimostrazione

∀ m ≥ 0 A₀ ≤ A_m ⇒ A₀ è un minorante di E: {A₀, A₁, ...}.

Dunque E, E = {A_m}_m=0^+∞ sono illimitati sup.

Segue ∀ k > 0 ∃ m in t.c. A_m > k per monotonia ∀ m ≥ m A_m > k ∃ A_m.

Posto m₀ = M₀, si ha che ∀ m ₀, A_m > k quindi lim A_m = +∞ = sup E.

Esempi fondamentali

1) Sia q ∊ Rc si consideri la succ {q^m}_m=0^+∞ progressione geometrica di ragione q.

^qm/_q^m-1 = q (costante) prop lim q^m.

Dimostrazione

q>1 sia k>0.

q^m > k ⇔ log_q(q^m) > log k ⇔ m >log_q k = m₀.

q=1 q^m=1 ∀m (∀ ε>0 m₀ = 0 |q^m-1| = |m⁰-1| = 0 < ε).

|q|<1 fisso ε>0 |q^m-0|<ε |q^m|<ε ⇔ log_|q|(|q^m|) >log_|q| ε m > logε.

m q = -1 (-1)^m irreg: già visto.

2)   ∑ m α^α ∞_m=1 α ε R prop lim m^α =.

Dimostrazione

α>0 sìa k>0, voglio m>k (Risolvo in M) ⇔ ln (m)^α₁ kα = m₀.

3) α>0, α≠1 {_m→+∞ log_α m = +∞ prop. _m→+∞ lim log_α m = {+∞ se α>1, -∞ se 0<α<1.

Dimostrazione

α>1 sia k>0, voglio log_α m > k ⟺ α> α^k ⟺ m>α^k = M_o □.

Osservazione

I lim visti per le 3 succ. precedenti non cambiano se al posto di m scriviamo una qualsiasi altra succ. b_m t.c. b_m → +∞ per m → +∞ (Escludiamo il caso q<0).

Es. so che 2m → +∞ per m → +∞.

So che b_m = √m = m^½ → +∞ per m → +∞.

Dunque _m→+∞ lim 2^(m½) = +∞.

Es. ³√log₂ m → ?

b_m = log₂ m → +∞ (Es. 3).

³√m → +∞ (Es.2) ⇒ ³√log₂ m → +∞.

Teorema (permanenza del segno)

1^a versione

Sia _m→+∞ lim a_m = a ∈ R (convergente) a>0.

Allora {a_m}_{m=0, +∞} è definitivamente positiva (∃ M_o t.c. ∀ m ≥ M_o si ha A_m >0).

Dimostrazione

Sia ε = a/2 > 0.

Allora ∃ m₀ t.c. ∀ m ≥ m₀ si ha a/2 = a - ε < a_m < a + ε.

Ho dimostr. che ∀ m ≥ m₀ si ha a_m > a/2 > 0.

2^a versione

Se a_m ≥ 0 ∀ m ≥ 0 (oppure definitiva).

Se lim_m→+∞ a_m = a.

Allora a ≥ 0.

Dimostr. per assurdo a < 0.

Per il teorema precedente {a_m}_m=0^+∞ è defin. negativa.

Assurdo per l’ipotesi su a_m □.

Corollario

Supponiamo lim_m→+∞ b_m = b ∈ ℝ.

E lim_m→+∞ c_m = c ∈ ℝ, e supponiamo che ∀ m ≥ 0, b_m ≤ c_m.

(Basta che b_m ≤ c_m definit.).

Allora b ≤ c.

Dimostrazione

Chiamiamo a_m = c_m - b_m ≥ 0.

Inoltre tra poco dimostr. che lim_m→+∞ (c_m - b_m) = c - b ⇒ lim_m→+∞ a_m = c - b ⇒ c - b ≥ 0.

Per il teorema prec. c ≥ b □.

Teorema (del confronto o dei 2 carabinieri)

[a_m]^+∞_m=0, [b_m]^+∞_m=0, [c_m]^+∞_m=0 3 succ.

Supponiamo: a_m ≤ b_m ≤ c_m ∀ m ≥ 0 (oppure defin.).

lim_m→+∞ a_m = lim_m→+∞ c_m = l ∈ ℝ.

Allora lim_m→+∞ b_m = l.

Dimostrazione

Sia ε > 0 poiché lim_m→+∞ a_m = l, ∃ m₀ t.c. ∀ m ≥ m₀ si ha l - ε < a_m < l + ε.

Poiché lim_m→+∞ c_m = l, ∃ m₁ t.c. ∀ m ≥ m₁ si ha l - ε < c_m < l + ε.

Chiamo m₂ = max (m₀, m₁) se m ≥ m₂ valgono (*) e (**).

Teorema (confronto nel caso di divergenza)

Suppon. a_m ≤ b_m ∀ m ≥ 0 (oppure defin.) e che lim_m→+∞ a_m = +∞.

Allora lim_m→+∞ b_m = +∞.

Corollario

1. Suppon |a_m| ≤ b_m ∀m ≥ 0 e lim_m→+∞ b_m = 0 allora lim_m→+∞ a_m = 0
2. Suppon {a_m} limitata e lim_m→+∞ b_m = 0 allora lim_m→+∞ a_m b_m = 0

Dimostrazione

|a_m| ≤ b_m ⟹ -b_m ≤ a_m ≤ b_m per 1 2 caramba a_-→0.

(2) (a_m)^+∞_m=0 lim. significa che ∃ M > 0 t.c. -M ≤ a_- ≤ M ⟹ |a_m| ≤ M.

|a_m b_m| ≤ |a_m| |b_m| ≤ M |b_m| → 0.

Per il punto 1, a_m b_m → 0.

Es. |^sen(m)_m| = |^{sen m}_m| ≤ ¹_m = M^-1 → 0 ⇒ lim_m→+∞ ^sen(m)_m = 0.

Algebra dei limiti

{a_m}^+∞_m=0 e {b_m}^+∞_m=0 2 succ. convergenti ad a ∈ ℝ, b ∈ ℝ allora:

lim_m→+∞ (a_m ± b_m) = a ± b.

lim_m→+∞ a_m b_m = a·b.

Se b ≠ 0, allora limm→+∞ ambm = ab.

Se a > 0, allora lim_m→+∞ a_m^b_m = a^b.