Appunti quarta lezione Analisi 1

Successione di numeri reali

Definizione

Una corrispondenza (o funz.) tra 2 insiemi A e B è "un predicato con 2 variabili libere a ∈ A e b ∈ B" tale che ad ogni elemento di A è associato uno ed uno solo elemento di B.

N.B. In matematica: almeno uno → 1, 2, 3... Al più uno → 0, 1...

A = { Studenti UNIBG }

B = { Lettere dell'alfabeto }

Corrispondenza = L'iniziale del cognome di a ∈ A è la lettera b ∈ B

Notazione f:a → b = f(a)

Definizione

Una successione di numeri reali è una corrispondenza da N in R.

Di solito usiamo la notazione seguente:

{ a_m }^+_m=0^∞

Che sta per N → R

m → a_m, cioè al numero naturale m associo il N° reale a_m.

Es 1) a_m = m

0, 1, 2, 3...

2) a_m = m²

0, 1, 4, 9...

3) a_m = 1/m+1

1, ½, ⅓, ¼...

{b_m}^+_m=1

b_m = 1/m

1, ½, ⅓, ¼...

4) a_m = (-1)^m

a₀ = 1

a₁ = (-1)³ = -1

a₂ = (-1)² = 1

a₃ = (-1)³ = -1

a₄ = (-1)⁴ = 1

a₅ = (-1)⁵ = -1

1, -1, 1, -1, 1...

Successione di numeri reali

Definizione

Una corrispondenza (o funz.) tra 2 insiemi A e B è "un predicato con 2 variabili libere a ∈ A e b ∈ B" tale che ad ogni elemento di A è associato uno ed uno solo elemento di B.

In matematica: almeno uno → 1, 2, 3... Al più uno → 0, 1...

A = { Studenti UNIBG } B = { Lettere dell'alfabeto }

Corrispondenza: L'iniziale del cognome di a ∈ A è la lettera b ∈ B

f : A → B

a → b = f(a)

Definizione

Una successione di numeri reali è una corrispondenza da N in R.

Di solito usiamo la notazione seguente:

{ a_m }^+∞_{m = 0}

Che sta per N → R

m → a_m, cioè al numero naturale m associo il N° reale a_m.

Es 1) a_m = m 0, 1, 2, 3...

2) a_m = m² 0², 1², 2², 3²... 0, 1, 4, 9...

3) a_m = ¹/_{m + 1} 1, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄...

{ b_m }^+∞_{m = 1} b_m = ¹/_m 1, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄...

4) a_m = (-1)^m

a₀ = 1

a₁ = (-1)³ = -1

a₂ = (-1)² = 1

a₃ = (-1)³ = -1

a₄ = (-1)⁴ = 1

a₅ = (-1)⁵ = -1

1, -1, 1, -1, 1, -1...

Definizione

Una succ. è limitata, oppure lim. superiormente, oppure lim. inferiormente se l'insieme dei valori assunti dalla successione è rispettivamente limitato, lim. super/inf.

In altre parole, ad esempio, una successione {a_m}^+∞_m=0 è limitata se ∃ m ∈ ℝ e M ∈ ℝ tale che ∀ m ∈ ℕ, m ≤ a_m ≤ M

Es. {1/m}^+∞_m=1 è limitato: ∀ m ≥ 1, 0 ≤ 1/m ≤ 1

Rappr. successione

↓

a_m = (1 + (-1)^m)^m = {2^m m pari 0 m dispari

Limitata inferiormente da zero

Limitato superiormente?

Dovrebbe ∃ M tale che ∀ x ∈ ℕ, a_m ≤ M

Se m dispari OK (basta prendere M ≥ 0)

Se m è pari: 2^m ≤ M per tutti gli m pari

log₂(2^m) ≤ log₂M

m ≤ log₂M

Impossibile qualunque sia M → a_m è sup. illimitata

Definizione

Una succ. { a_m}^+∞_m=0 si dice monotona crescente se ∀ m ∈ N si ha che A_m ≤ A_m+1

Monot. strettamente crescente se si ha A_m < A_m+1

Es {¹/_m} ^+∞_m=1 è strettamente decrescente

1/_m > 1/_m+1 ∀ m ≥ 1

m+1 > m 1 > 0 Sì

Definizione

Si dice che una successione possiede una certa proprietà definitivamente se ∃ un m_o ∈ N tale che quella proprietà è vera ∀ m ≥ m_o

Es {m - 10√m}^+∞_m=0 è definitivamente positiva:

m - 10√m > 0

√m (√m - 10) > 0

√m ≥ 0 (m ≥ 1)

√m > 10

m > 100

Posto m_o = 101, è vero che se m ≥ m_o = 101 allora A_m è positiva

Definizione

Succ. convergente

Sia {A_m}^+∞_m=0 una succ. e sia l ∈ ℝ.

Si dice che A_m converge ad l, e si scrive

lim_m→+∞ A_m = l

A_m→l per m→+∞

A_m→l

Se ∀ ε>0 ∃ m₀ ∈ ℕ (dipendente da ε) tale che ∀ m≥m₀

Si ha |l-A_m|<ε

Errore consentito

-ε<l-A_m<ε

-ε<A_m-l<ε

l-ε<A_m<l+ε

Esempio

Es A_m=\frac{m^2-1}{m^2-5} l=1?

ε=\frac{1}{10} ho bisogno che |A_m-l|<\frac{1}{10}

Equivalentemente

l-\frac{1}{10}<A_m<l+\frac{1}{10}

l=1

1-\frac{1}{10}<A_m<1+\frac{1}{10} → \frac{9}{10}<A_m<\frac{11}{10}

\frac{9}{10}<A_m=\frac{m^2-1}{m^2-5}

9\left(m^2-5\right)<10\left(m^2-1\right)

-35<m² vero ∀ m≥3

m≥3

Am < ¹¹⁄₁₀

^M2-1⁄_M²-5 < ¹¹⁄₁₀

10 M²-10 < 11 M²-55

45 < M² → M > √45 = 6,70...

Prendo M₀=7 se M ≥ M₀=7 allora ⁹⁄₁₀ < A_m-1 < ¹¹⁄₁₀

In generale

Sia ε > 0 mi chiedo se ∃ M₀ tale che

∀ M ≥ M₀ 1-ε < A_m < 1+ε

M ≥ 3

1-ε < ^M2-1⁄_M²-5

(1-ε)(M²-5) < M²-1

-5(1-ε) + 1 < M²-(1-ε)M²

M² > ^1-5(1-ε)⁄_ε = ^5ε-4⁄_ε

M > √^5ε-4⁄_ε

^M2-1⁄_M²-5 < 1+ε

M²-1 < (M²-5)(1+ε)

-1 + 5(1+ε) < M²(1+5)-M²

^4+5ε⁄_ε < M²

M >√^4+5ε⁄_ε = M₁

Osservo che M₁ > M₀ pur di prendere M ≥ M₁

Avremo che 1-ε < A_m < 1+ε

Osservazione

Nella def di lim posso sostituire l'espressione " ∃ M₀ in tale che..." con "∃ ^m̃ ∈ R tale che"

Se infatti ^m̃ non fosse un intero basta prendere M₀=^[m̃]+1

Parte intera di ^m̃

Es se ^m̃= 6,713542...

^[m̃]=6 allora prendo M₀=7

N.B. [3,1] = 3 [5] = 5 [-2,1] = 3 (Il più grande intero ≤ -2,1)

Definizione

Sia {a_m}^+∞_m=1 una successione se ∀ ε>0 ∃ m_o∈ℝ tale che -ε ≤ a_m ≤ ∀ m≥m_o, allora si dice che a_m converge ad dal basso e si scrive lim_m→+∞ a_m = ^-

Dall'alto ∀ ε>0 ∃ m∈ℝ tale che ≤ a_m < +ε ∀ m≥m_o

Es lim_m→+∞ ¹/_m = 0⁺

∀ m≥1 ¹/_m ≥ 0

∀ ε>0 ∃ m∈ℝ tale che ∀ m≥m_o ¹/_m < 0+ε ?

¹/_m < ε

m > ¹/_ε = m̅_o

m_o = ¹/_ε + 1

Se m ≥ ¹/_ε + 1 allora ¹/_m < ε

Teorema

Unicità del limite: se una succ. converge, allora il lim è unico.

Ipotesi ➔ a_m converge

lim_m→+∞ a_m = ₁

lim_m→+∞ a_m = ₂

Tesi ➔ ₁ = ₂