Appunti - Numeri macchina

Numeri macchina

Rappresentazione floating point

Fissato un numero b ∈ ℕ_≥2, detto base, ogni x ∈ ℝ ha un'unica rappresentazione del tipo:

x = sgn(-) e [c_e b^e]∑da _e ∈ ℤ c_d b^-e ⇔ {c_d, c_d-1, ..., c₀} ∈ ℕ₀ sotto posti (c_d ≠ 0), 0 ≤ d ≤ β-1 - e ∈ ℤ

Basi numeriche

• Base 2: x = sgn(x) (3.01₂) · 2^-2, k ≥ 0, 1 ∈ ℤ
• Base 10: x = sgn(x) 10^-1 d^k(*) {0... β-1}

Esempio: x = 11.45₁₀ = 1.145₁₀ · 10^e con base 2,10 e=2 ⇔ l(3) exp(o)exp(10) = e¹⁰ = 22026,4562...

Sgn(4) = 4, e=5, in quanto 10⁵exp(o) > 10⁵exp(o) ⇒ exp(o) = (1+1) · 10^e ⇒ 1,0101₂ · 10^-20,10²0,10²²⁰...

N.B. † ∑_{d;cd b^k ∈ ℚ (razionale)}

Problema

Se una rappresentazione arriva all'infinito di cifre decimali, si deve avere un numero finito per rappresentarli esattamente, come anche una frazione decimale infinita.

Insieme dei numeri macchina

F(β,t,l,u)g = sgna(0) ¦o,l,; , c_i bⁱ ⟶ sgn(a_i), B = β^t bt, ∈ F _e(^βd^−e)b^-2[0,2o)= ; acde,insieme dei numeri visualizzati tramite fp_point normalizzati F=(β,t,l,u)

• β= base (con d_i>0)
• t=numero di cifre della mantissa
• (l,u̲)= range di numeri dove scelgo = | c∈α

Caratteristica dei numeri macchina

Ogni numero macchina è razionale. Se ha un expm che ∙ ⟹ 'ha es. ⟨e⟩ ln(xo,(|,_s))!

Se e≥: ;g= sgn(u¹): ,e ∑_e=+1c_i b^i-e-eo + ∑i^β-1÷ci:^{-e-c÷t; βet} = ∑, olo,−1,äb^-e− per cui le prime cifre determinano la parte intera di y, le restanti la parte frazionaria.

Vedi exp(o)−/in(o,2202648m,s...) ⇔ nel punto intero

Numerazione dei numeri macchina in bit

Ogni numero macchina comprende sgn ≋ esponente e mantissa in formato binario, detto bit. Prende con int bits.

Numeri macchina rappresentazione floating point fissata un numero b ∈ ℕ, b>1, detto base, ogni x ∈ ℝ ha un'unica rappresentazione del tipo:

x = sgn(.) p=1 _i=-∞ c_ib^-i

• Base 2: x = sgn(x)1.c₁c₂ ... c_tb^e (c_i=0,1, c∈Z)
• Base 10: x = sgn(x) 1ç.c ... (c_i=0,...,9, c∈Z)

⎨d_i cifra decimale con base.

Proposizione

Se ⎨(a^-k)_k∈n⎬ non ha un limite di cifra decimale ⎨(a) ⎬

Insieme dei numeri macchina F(b, t, l)