Appunti Metodi numerici - Parte 4

PDE - Eq. differenziali alle derivate parziali

Per ora dobbiamo studio

ODE_IV: dy⁄dt = -αy, y(0) = y_o.

m d²x_m⁄dt² + μ dx_m⁄dt + kx_m = f, x_m(0) = x_i, v_m(0) = v_i.

Metodo di Eulero e How.

ODE_BV: d²T⁄dx² + h’(T_∞ - T) = 0, T(x)?, T(0) = T_i, T(L) = T_b.

Fino ad ora le incognite del problema dipendevano da una sola variabile indipendente: y(t), x_m(t), v_m(t), T(x).

Nell’ingegneria civile si incontrano problemi che possono essere descritti da grandezze che variano tridimensionalmente in 4 direzioni, ovvero: φ(x,y,z,t).

‘φ’ può essere:

• Scalare (es. Temperatura)
• Vettoriale (es. velocità dell’aria)

In questo caso ci ricondurremo ad un problema scalare analizzando le componenti del vettore φ^(x) φ^(y) φ^(z).

Da ora in poi φ è scalare!

Per φ dobbiamo una derivata lungo ogni direzione di derivabilità, cioè: ∂φ⁄∂x, ∂φ⁄∂y, ∂φ⁄∂z, ∂φ⁄∂t.

Simbolo di derivazione parziale poiché φ non dipende solo da x.

PDE: Eq. differenziali alle derivate parziali

Per ora dobbiamo studio

ODE_IV: dy⁄dt = -a^y, y(0) = y_o.

m d²x_m⁄dt² + μ d x_m⁄dt + k_xm = ɸx_m(0) = x_o x_m(0) = v_o.

Metodo di Eulero e Heun.

ODE_BV: d²T⁄dx² + h'(T_oo - T) = 0, Π(x)?, Π(0) = T_ο, T(L) = T_b.

Fino ad ora le incognite del problema dipendevano da una sola variabile indipendente: y(t), x_m(t), υ_m(t), T(x).

Nell'ingegneria civile si incontrano problemi che possono essere descritti da grandezze che variano tendenzialmente in 4 direzioni, ovvero: φ(x, y, z, t).

φ può essere:

• Scalare (es. Temperatura)
• Vettoriale (es. velocità dell'aria)

Da ora in poi φ è scalare!

Per φ dobbiamo una derivata lungo ogni direzione di derivabilità, cioè: ∂φ⁄∂x, ∂φ⁄∂y, ∂φ⁄∂z, ∂φ⁄∂t.

Scopo di derivazione parziale perché φ non dipende solo da x.

Queste derivate si possono scrivere in modo compatto nel seguente modo: φ_x, φ_y, φ_z, φ_t.

Derivate seconde e derivate miste

Posso avere delle derivate seconde (con la relativa notazione compatta), cioè: ∂²φ⁄∂x², ∂²φ⁄∂y², ∂²φ⁄∂z², ∂²φ⁄∂t².

φ_xx, φ_yy, φ_zz, φ_tt.

Posso avere anche derivate miste, preso ad esempio derivare la funzione prima rispetto a x e poi rispetto a y, ovvero: ∂²φ⁄∂x∂y, ∂²φ⁄∂x∂z, ∂²φ⁄∂x∂t, ∂²φ⁄∂y∂x, ∂²φ⁄∂y∂z, ∂²φ⁄∂y∂t.

φ_xy, φ_xz, φ_xt, φ_yx, φ_yz, φ_yt.

∂²φ⁄∂z∂x, ∂²φ⁄∂z∂y, ∂²φ⁄∂z∂t, ∂²φ⁄∂t∂x, ∂²φ⁄∂t∂y, ∂²φ⁄∂t∂z.

φ_zx, φ_zy, φ_zt, φ_tx, φ_ty, φ_tz.

A volte troviamo: φ̇ → derivata di φ rispetto a t: ∂φ⁄∂t.

φ̈ → ∂²φ⁄∂t².

L'idea è quella di ricondurre ad un problema con una sola variabile nello spazio e una nel tempo.

Equazione generale della fisica matematica

Mi scrivo un'equazione generale della fisica matematica: m₂ ∂²φ⁄∂t² + d₂∂φ⁄∂t + αφ = ∇·(c∇φ) + β.

(quasi simile alle equazioni di oscillatori)

(coefficiente di smorzamento diffusivo)

(coefficiente di stiffness)

(coefficiente diffusivo)

Termine noto (termine forzante)

f(x,y,z,t)

1° termine

Tiene conto delle variazioni di quantità di moto.

Nei problemi dove ci sono oscillatori/vibrazioni rappresenta queste variazioni rapide della soluzione nel tempo.