Appunti Mechanical vibration

Meccanica delle Vibrazioni

Sistemi discreti e sistemi continui

Dinamica dei rotori — Isolamento delle vibrazioni — Elementi finiti

Docente: Paolo Righettini

Appunti a cura di Cristiano Rollo

Anno accademico 2019/2020 i

Indice

Notazione e convenzioni v

I Sistemi a un grado di libertà 1

1 Equazione di moto e metodo di Lagrange 2

1.1 Forma generale dell’equazione di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Equazione di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Posizione di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Stabilità della soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Esempio: disco che rotola senza strisciare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II Dinamica dei rotori 5

2 Albero flessibile e cuscinetti rigidi 6

2.1 Caso base e ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Comportamento in rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Soluzione in campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Velocità critica e autoallineamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Cuscinetti flessibili e albero rigido 9

3.1 Risposta a regime e velocità critiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Traiettoria del centro geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Bilanciamento dei rotori 11

o

4.1 1 caso: short rotor, piano ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

o

4.2 2 caso: long rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

o

4.3 3 caso: due masse sbilancianti sfasate di 90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

o

4.4 4 caso: rotore molto grande (massa test) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

III Sistemi a più gradi di libertà 15

5 Equazioni di moto in forma matriciale 16

6 Free response: sistema non forzato 18

6.1 Frequency equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.2 Calcolo delle frequenze naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.3 Mode vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.4 Interpretazione fisica dei modi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.5 Free vibration: soluzione completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Indice ii

7 Forced response: sistema forzato 22

7.1 Soluzione con la regola di Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.2 Cenno al sistema smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8 Dynamic vibration absorber 25

8.1 Sistema di partenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.2 Equazioni di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.3 Soluzione particolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

m

8.4 Seconda soluzione: oscillazione della massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

a

8.5 Frequenze di risonanza del sistema completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9 Corpi non vincolati a terra 29

10 Sistemi di coordinate e coupling 31

o

10.1 1 sistema di coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

o

10.2 2 sistema di coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

11 Coordinate modali 33

11.1 Disaccoppiamento delle equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11.2 Matrice modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

11.3 Esempio applicativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

11.4 Sistema forzato in coordinate modali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

11.5 Condizioni iniziali e smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

12 Rigidezza e flessibilità 37

12.1 Matrice di flessibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

12.2 Equazione di moto in termini di flessibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

12.3 Formule di deflessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

IV Sistemi continui 39

13 La fune tesata: modello discreto 40

13.1 Funzioni energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

13.2 Matrice di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

13.3 Matrice di rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

13.4 Frequenze naturali e modi di vibrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

14 Sistemi continui: la fune 43

14.1 Equazione della fune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

14.2 Separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

14.3 Fune con estremi fissi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

14.4 Shape of vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

14.5 Condizioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

14.6 Fune con molla a un estremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

14.7 Fune con estremo libero in verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Indice iii

15 Vibrazioni assiali delle travi 48

15.1 Equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

15.2 Esempio 1: trave incastrata a entrambi gli estremi . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

15.3 Esempio 2: mensola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

15.4 Esempio 3: trave con molla all’estremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

15.5 Esempio 4: trave con massa all’estremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

16 Vibrazioni flessionali delle travi 51

16.1 Equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

16.2 Esempio: trave appoggiata a entrambi gli estremi . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

V Isolamento delle vibrazioni 53

17 Isolatori di vibrazioni 54

17.1 Impostazione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

17.2 Isolatori passivi e trasmissibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

17.3 Deflessione statica e relazione di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

VI Il metodo degli elementi finiti 57

18 Introduzione al FEM e elemento asta 58

18.1 Shape function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

18.2 Elemento asta: shape function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

18.3 Stiffness matrix dell’elemento asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

18.4 Mass matrix dell’elemento asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

19 Assemblaggio 61

19.1 Passaggio alle coordinate assolute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

19.2 Matrice di estrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

20 Forze esterne, masse concentrate e vincoli 64

20.1 Effetto delle forze esterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

20.2 Effetto delle masse concentrate sui nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

20.3 Effetto dei vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

21 Elemento torsionale 67

21.1 Stiffness matrix torsionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

21.2 Mass matrix torsionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

22 Elemento flessionale 69

22.1 Shape function di Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

22.2 Stiffness matrix flessionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

22.3 Mass matrix flessionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

22.4 Coordinate assolute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

22.5 Esempio: singolo elemento flessionale incernierato . . . . . . . . . . . . . . . . 71

22.6 Modes of vibration e sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Indice iv

VII Esercizi 73

23 Sistemi non lineari a un grado di libertà 74

23.1 Esercizio 1 — Quadrilatero articolato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

23.2 Esercizio 2 — Disco e asta nel piano verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

23.3 Esercizio 3 — Bilanciere nel piano verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

24 Sistemi torsionali 77

24.1 Esercizio 4 — Turbina e generatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

24.2 Esercizio 6 — Albero a tre dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

24.3 Esercizio 7 — Tre dischi con rapporto di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . 80

25 Applicazioni a più gradi di libertà 82

25.1 Esercizio 5 — Trave con due masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

25.2 Esercizio 8 — Telaio auto e posizione dei nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

25.3 Esercizio 9 — Saldatrice stabilizzata con un pendolo . . . . . . . . . . . . . . . 84

25.4 Esercizio 10 — Equilibrio di un sistema non lineare a 2 g.d.l. . . . . . . . . . . . 86

v

Notazione e convenzioni

SIMBOLI RICORRENTI

x, X vettore (indicato con la barra superiore)

matrice di massa, di rigidezza, di smorzamento

M, K, C

∗ ∗ ∗

m k c equivalenti

, , massa, rigidezza e smorzamento (sistemi a 1 g.d.l.)

, pulsazione naturale (i-esima) del sistema

ω ω

m mi

Ω pulsazione della forzante esterna

( )

i

X i-esimo mode vector (autovettore)

eccentricità della massa (dinamica dei rotori)

ξ rapporto fra le masse (assorbitore dinamico)

µ

q coordinate libere / coordinate modali

i 1

PARTE I

Sistemi a un grado di libertà 2

CAPITOLO 1

Equazione di moto e metodo di Lagrange

1.1 Forma generale dell’equazione di moto

L’equazione di moto attorno alla condizione di equilibrio di un qualsiasi sistema vibrante a

un grado di libertà si scrive nella forma

∗ ∗ ∗ ∗

+ + =

m ẍ c ẋ k x F (1.1)

∗ ∗ ∗ ∗

m c k F equivalenti

dove , , e sono i parametri del sistema, riferiti alla coordinata libera

scelta.

La (1.1) è ottenibile in tre modi:

1). equilibri dinamici;

2). lavori virtuali;

3). equazioni di Lagrange.

Il terzo è il metodo più semplice e quello che si utilizza sistematicamente, perché sfrutta le

funzioni energia: si tratta di manipolare degli scalari e non dei vettori.

1.2 Equazione di Lagrange T

Le funzioni energia coinvolte sono l’energia cinetica (legata alle forze d’inerzia) e l’energia

U

potenziale (forze elastiche e gravitazionali).

EQUAZIONE DI LAGRANGE

d ∂T ∂T ∂D ∂U

− + + = ( )

Q t (1.2)

q̇ q̇

dt ∂ ∂q ∂ ∂q

q

con coordinata libera del sistema.

I singoli termini valgono:

2 2

12 1

= +

T M ẋ J energia cinetica (1.3)

θ̇

2

∆ 2

12

= ℓ +

U k m g h forze potenziali (elastiche e gravitazionali) (1.4)

2

12

=

D c ẋ forza smorzante (1.5)

∗ ( )

L F t

δ δx

( ) = =

Q t lavoro virtuale specifico delle forze esterne (1.6)

δq δx ( ) =

Q t

Se il sistema non è soggetto a forze esterne allora 0.

1.3 Posizione di equilibrio

Dall’equazione di Lagrange, eliminando i termini dinamici, si ottiene:

1. Equazione di moto e metodo di Lagrange 3

dU = ( )

Q t (1.7)

dq

equazione di equilibrio valida sia per i sia per i

sistemi lineari sistemi non lineari.

1.4 Stabilità della soluzione

La stabilità del punto di equilibrio si giudica dal segno dei parametri equivalenti. Poiché

∗ >

m 0 sempre: massa rigidezza esito

∗ ∗

> >

m k

0 0 equilibrio stabile

∗ ∗

> <

m k

0 0 equilibrio instabile

1.5 Esempio: disco che rotola senza strisciare

m, J R,

Si consideri un disco di massa momento d’inerzia baricentrico e raggio che rotola

D k

senza strisciare su un piano orizzontale, collegato al telaio da una molla e da uno smorzatore

( )

c F t

e sollecitato da una forza esterna applicata al centro (Figura 1.1).

k

θ

m, J

( )

F t D

R c

x

Disco rotolante con molla e smorzatore.

Figura 1.1:

Il rotolamento senza strisciamento impone

Legami cinematici. = = =

x ẋ ẍ (1.8)

θR, θ̇R, θ̈R.

Funzioni energia. 2

ẋ

2 2 2

1 1 1 1

= + = +

T m ẋ J m ẋ J (1.9)

θ̇

D D

2 2 2 2 R

∆

2 2 2

12 12

1 −

= ℓ = ( )

= c ẋ U k k x x

D , (1.10)

0

2

Derivate.

J J

d

∂T ∂T

D D

= + =⇒ = + ẍ

m ẋ ẋ m (1.11)

2 2

ẋ R ẋ R

dt

∂ ∂

∂T ∂D

= = c ẋ

0, (1.12)

ẋ

∂x ∂ ( )

F t

∂U δx

−

= ( ) ( ) = = ( )

k x x Q t F t

, (1.13)

0

∂x δx

Equazione di moto.

1. Equazione di moto e metodo di Lagrange 4

J D + + = ( )

+ ẍ c ẋ k x F t

m (1.14)

2

R

2

J

Il termine /R è il contributo inerziale rotazionale riportato alla coordinata

D ∗ 2

= +

x: m m J

traslazionale la massa equivalente è /R .

D 5

PARTE II

Dinamica dei rotori 6

CAPITOLO 2

Albero flessibile e cuscinetti rigidi

Si studiano l’oscillazione e il bilanciamento di alberi rotanti dotati di masse sbilanciate.

2.1 Caso base e ipotesi

IPOTESI DEL CASO BASE

• rotore molto sottile (disco) posto nella mezzeria dell’albero;

• rotore avente massa eccentrica rispetto all’asse di rotazione;

k;

• albero dotato di rigidezza

senza massa

• cuscinetti ideali, perfettamente rigidi.

massa Ω

G

S si schematizza k

m

ℓ ℓ

/2 /2

Albero flessibile su cuscinetti rigidi e sua schematizzazione a un grado di libertà.

Figura 2.1: =

k F/d

La rigidezza equivalente dell’albero è (forza su freccia), e la pulsazione propria

del sistema schematizzato vale r k

= (2.1)

ω 0 m

2.2 Comportamento in rotazione S

Osservando l’albero/disco lateralmente, il centro geometrico del disco risulta spostato

O: G.

rispetto all’origine durante la rotazione l’albero «sbanda» a causa dell’eccentricità di

Approccio energetico. ∆

2 2

12 12

= = ℓ

T m V U k

, (2.2)

G

con  = ( ) +

x x t cos

ξ θ

 G

2

∆ 2 2 2

ℓ = = +

OS x y , (2.3)

= ( ) +

y y t sin

ξ θ

G



Derivando le coordinate del baricentro:

 = + (− )

ẋ ẋ sin

ξ θ θ̇

 G 2 2 2

=⇒ = +

V ẋ ẏ (2.4)

G G G

= + ( )

ẏ ẏ cos

ξ θ θ̇

G



2. Albero flessibile e cuscinetti rigidi 7

2 2

2

−

= + +

V ẋ ẏ

sin cos (2.5)

ξ θ θ̇ ξ θ θ̇

G 2 2

+ =

Sviluppando e sfruttando sin cos 1:

θ θ

h i

2 2 2 2 2 2 2 2

12 −

= + + + +

T m ẋ ẋ ẏ ẏ

sin cos 2 sin 2 cos

ξ θ θ̇ ξ θ θ̇ ξ θ θ̇ ξ θ θ̇

| {z }

2 2

ξ θ̇

2 2 2 2

12

−

= + + +

m ẋ ẋ ẏ ẏ

2 sin 2 cos (2.6)

ξ θ̇ ξ θ θ̇ ξ θ θ̇

2 2

12

= +

U k x y (2.7)

ATTENZIONE y):

Abbiamo (x e occorre scrivere un sistema di due equazioni di

due coordinate

x y,

Lagrange, una per e una per considerandole separatamente.

Ωt, Ω

= = =

Con e 0 (disco in rotazione a velocità costante):

Equazioni di Lagrange. θ θ̇ θ̈

dU

d ∂T

∂T 2

12

− −

=

= =⇒ =

( ) m ẍ

m ẋ kx

x ,

cos

2 2ξ sin (2.8)

: ξ θ θ̇

θ θ̇

ẋ ẋ

dt dx

∂ ∂

dU

d

∂T ∂T 2

12

−

( ) = + =⇒ = =

y m ẏ m ÿ ky

,

: 2 2ξ cos sin (2.9)

θ θ̇ ξ θ θ̇

ẏ ẏ

dt dy

∂ ∂

= =

Q Q

Non essendoci forze esterne, 0 e separando i termini si ottiene

x y

 Ω Ωt

2

+ = ( )

m ẍ k x m cos

ξ

 (2.10)

Ω Ωt

2

+ = ( )

m ÿ k y m sin

ξ



m termine delle masse non bilanciate.

Il prodotto è il

ξ

2.3 Soluzione in campo complesso i

Si moltiplica la seconda delle (2.10) per l’unità immaginaria e si introduce la variabile

= + = +

z x i y, z̈ ẍ i ÿ:

da cui Ωt Ωt

2 2

( + ) + ( + ) = ( ) + ( )

m ẍ i ÿ k x iy mξΩ mξΩ i

cos sin (2.11)

Ω Ωt Ωt

2

+ = ( ) + ( )

m z̈ k z m i

cos sin (2.12)

ξ | {z }

forma geometrica

e quindi, in forma esponenziale, Ω iΩt

2

+ =

m z̈ k z m e . (2.13)

ξ ( ) =

z t

Si deve risolvere un’equazione differenziale non omogenea del second’ordine:

( ) + ( )

z t z t z z

, con (omogenea) che rappresenta l