Appunti Meccanica del veicolo

Meccanica del veicolo

Autoveicoli

Un’autovettura è un sistema complesso, dotata di un telaio, che può essere approssimato ad un corpo rigido e che quindi sarà caratterizzato da 6 gradi di libertà nello spazio e di 4 ruote, che grazie al sistema sospensivo, hanno come minimo un grado di libertà traslazionale in direzione verticale, più un grado di libertà per consentire il rotolamento.

Perciò, in totale, l’autovettura sarà caratterizzata da 14 gradi di libertà nello spazio. Si capisce che affrontare questo sistema nella sua interezza risulta abbastanza complesso (anche se si fa con sistemi multibody come ADAMS car), quindi ai fini didattici è utile dividere lo studio della dinamica in tre sotto casi:

• Dinamica longitudinale: Leggi per cui il veicolo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato o decelerato, e quindi ci occuperemo di tutti quei problemi legati al dimensionamento dell’impianto frenante, del propulsore (non in questo corso, dato che lo considereremo un’entità nota in coppia e potenza)
• Dinamica laterale: Leggi per cui il veicolo si muove lungo una traiettoria curvilinea, e in questo caso lo studio si fa con una legge di moto assegnata, ovvero con velocità di avanzamento assegnata (e costante solitamente). Affronteremo problemi di sovrasterzo, sottosterzo e stabilità del moto in curva.
• Dinamica verticale: Legata alla guidabilità ed al confort, perciò ci occuperemo del dimensionamento del sistema di sospensioni.

Infine, il modello di autoveicolo che useremo nelle trattazioni non sarà dotato di meccatronica di assistenza alla guida (ABS, ESP, ecc.). 1

1. Forze scambiate tra ruota e strada

La funzione principale di uno pneumatico è quella di distribuire il carico verticale su di un’area sufficientemente grande e di assicurare un’adeguata deformabilità, necessaria per assorbire le irregolarità della strada.

1.1 Cinematica della ruota rigida

Per quanto riguarda la ruota rigida, questa può essere trattata utilizzando il modello di Coulomb, il quale dice che:

• || • = 0 ≤ Se allora coefficiente di attrito statico ||
• || • ≠ 0 = Se allora coefficiente di attrito cinetico || > Dove e i due coefficienti non dipendono dall’area di contatto, ma solo dal tipo di materiale, dalla natura delle superfici e al più dalla velocità.

In questa prima trattazione, si ipotizza che ruota e strada siano entrambi corpi rigidi, in modo da poter considerare il loro contatto puntiforme. Si possono distinguere due casi possibili; quello di rotolamento puro e quello di strisciamento puro.

Nel caso di rotolamento puro, facendo riferimento all’immagine, si ha che il punto di contatto C è il centro di istantanea rotazione, il quale || ||). ≤ dunque sarà fermo (perciò siamo nel caso di Dalla formula fondamentale dei corpi rigidi si ha che: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( = + ∧ − ) Ma poiché C è il centro di istantanea rotazione la sua velocità sarà nulla, e allora la formula diviene (in modulo): = Si noti che in questo caso la reazione T non è nota, poiché si ha una diseguaglianza che non permette di determinarla conoscendo N e il coefficiente di attrito statico. 2

Nel caso di strisciamento completo (un esempio potrebbe essere il caso di frenatura), si ha che la velocità di rotazione ω è nulla, ed il punto di contatto C si muove strisciando sull’asfalto (perciò siamo nel caso di || ||).= Non è più possibile utilizzare la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi, ma in compenso è possibile conoscere la reazione T, una volta noti la reazione vincolare N e il coefficiente di attrito cinematico.

Qui sotto possiamo vedere le varie condizioni di funzionamento di una ruota, secondo il modello di Coulomb.

Ruota motrice Ruota trainata Ruota frenata

Come è intuitivo, alla ruota motrice è applicato momento motore concorde con la velocità di rotazione della ruota stessa, su quella trainata non è applicato alcun momento e su quella frenata è applicato un momento frenante, con verso opposto alla velocità di rotazione. Su tutte le ruote è anche applicato un momento resistente, in verso opposto alla velocità di rotazione, legato alle resistenze a cui è soggetta la ruota (dovuto al circolo di attrito della coppia rotoidale tra mozzo e ruota). Nelle figure è possibile vedere anche le azioni e le reazioni N e T.

Si noti che la reazione N, in prima approssimazione nel caso ideale, passa per il centro di istantanea rotazione. Nella realtà la ruota si deformerà dissipando una certa quantità di energia (che aumenta con l’aumentare della deformazione e del ritorno elastico); quindi, supporre che la risultante della distribuzione delle pressioni passi per il centro della ruota stessa, ovvero presupporre che la distribuzione delle forze di pressione sia simmetrica, non è corretto.

Infatti, la distribuzione nella zona deformata 3 avrà un massimo spostato in avanti nella direzione del moto di una quantità u detta parametro di attrito volvente.

Ciò, ovviamente, introduce un nuovo momento necessario per mantenere in moto la ruota, così definito: = ⋅ Risulta interessante calcolare il lavoro dissipato per unità di lunghezza, come: ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ ⁄ ⅆ = = = = ⋅ → = = ⅆ ⅆ ⅆ Con f coefficiente di attrito volvente (grandezza adimensionale), che serve per caratterizzare la ruota dal punto di vista delle resistenze al rotolamento insieme ad u. Tale coefficiente dipende dal tipo di pneumatico (dimensione e scolpitura), dalla pressione di gonfiaggio e dalla velocità di avanzamento del veicolo.

Si osserva che l’andamento di f in funzione della velocità di avanzamento è lentamente crescente fino a una certa velocità, detta velocità critica, in corrispondenza della quale si individua un ginocchio nella curva: oltre questa velocità l’attrito di rotolamento subisce un incremento repentino che lo porta rapidamente ad assumere valore elevati.

L’andamento della curva può essere rappresentato, nel tratto al di sotto della velocità critica, con un’equazione del tipo: 2 = + 0 Dove f e K sono coefficienti da determinare sperimentalmente per ciascun tipo di pneumatico nelle v0 2−6 = 0.013 = 6.5 ⋅ 10 diverse condizioni di asfalto (solitamente i valori sono di e ). Qui 0 2 possiamo trovare una tabella con i valori di f per alcuni tipi di superfici: v0

Il valore di f per la neve è relativamente alto perché essa tende ad accumularsi davanti allo v0 pneumatico. 4

Il modello di Coulomb precedente viene introdotto per spiegare la possibilità delle ruote di trasmettere forze longitudinali; tuttavia, sappiamo che una ruota è in grado di trasmettere sia forze longitudinali che laterali. È comunque possibile utilizzare questo modello per descrivere questo caso, a patto di considerare la condizione di superamento del coefficiente d’attrito sulla risultante 2 2+ √ delle forze longitudinali e laterali

Anche in questo caso, il modello di Coulomb descrive le sole due condizioni limite di aderenza e slittamento:

• 2 2+ ≤ = √ Aderenza se
• 2 2+ = ≠ √ Slittamento se

Non è quindi da utilizzarsi nei casi intermedi al rotolamento puro ed al bloccaggio dello pneumatico sull’asfalto.

1.2 Cinematica della ruota pneumatica

Il modello di ruota pneumatica rigida introdotto nello scorso capitolo non risulta applicabile alla realtà, per questo è necessario introdurre un modello di ruota deformabile a contatto con l’asfalto (per lo meno per quanto riguarda lo pneumatico, mentre il mozzo sarà considerato comunque rigido). Infatti, analizzando l’impronta di contatto si distinguono nettamente due zone: una frontale al senso del moto di aderenza tra strada e battistrada e una posteriore di micro-slittamento.

Il sistema di riferimento da utilizzare nello studio del contatto tra ruota e strada è quello in figura, in cui:

• Asse x: Definito dall’intersezione tra il piano medio della ruota ed il suolo e diretto in avanti nel senso di avanzamento
• Asse z: Perpendicolare al suolo e diretto verso l’alto (passante per il centro dell’impronta)
• Asse y: Conseguenza degli altri due, giacente sul suolo diretto verso sinistra e coincidente con la proiezione sul piano stradale della velocità di rotazione del cerchione

Si suppone che all’asse della ruota venga imposto un moto puramente traslatorio con velocità costante V e che il cerchione della ruota, da considerarsi rigido, abbia velocità angolare ω, data da un momento motore T.

È necessario anche definire due angoli caratteristici del contatto ruota – strada: 5

• γ angolo di camber (campanatura): Dato dal fatto che, nella realtà, il piano di simmetria non è coincidente al piano xz. Rigorosamente, quantitativamente camber e campanatura sono uguali, ma con segno opposto (camber positivo verso l’interno mentre la campanatura è positiva verso l’esterno). Tale angolo è necessario per massimizzare l’impronta a terra al variare del carico
• α angolo di deriva del pneumatico: Angolo formatosi tra l’asse x e la velocità V, da cui sono dovute le possibilità dello pneumatico di esercitare forze laterali

Da queste considerazioni si ha che la ruota non solo trasla lungo la direzione x ma anche in direzione y (quest’ultima con verso negativo).

Forze agenti (supponendo che le forze scambiate tra strada e pneumatico siano concentrate nel centro dell’impronta, o meglio la proiezione del centro della ruota sul piano stradale):

• F : Forza longitudinale x
• F : Forza laterale y
• F : Forza verticale z

Momenti agenti (che nascono dal fatto che le forze sopra elencate non sono applicate nel centro dell’impronta O):

• M : Momento di ribaltamento x
• M : Momento di resistenza all’avanzamento (o al rotolamento) y
• M : Momento di autoallineamento (momento che tende a far diminuire l’angolo di sterzo a zero) ⃗ = ( , , 0):

Dalle considerazioni fatte, la velocità V dell’asse del cerchione ha due componenti = { = − ⃗ = (0, , 0) Oltre a traslare, il mozzo ruota con velocità angolare dipendente, oltre che dalla velocità di traslazione, anche dalla coppia applicata all’asse.

Poiché l’angolo di deriva è stato supposto non nullo, il moto del cerchione non è piano, ma è comunque individuato, istante per istante, l’asse elicoidale del moto (da meccanica applicata, qualunque moto rigido può essere descritto dal rotolamento di due superfici rigate l’una sull’altra e dal contemporaneo slittamento lungo la generatrice a contatto dell’una superficie sull’altra. Nel caso di moto piano non si ha slittamento, sezionando con un piano ottengo la polare fissa e mobile): il moto del mozzo consiste in una rotazione, con velocità angolare ω attorno a tale asse e in una traslazione con velocità parallela al vettore velocità angolare.

Nel caso in esame, l’asse elicoidale è sempre parallelo all’asse y e i suoi punti hanno una velocità parallela a y e di modulo pari a V . Nella figura a fianco, è y α indicato con S la traccia dell’asse elicoidale sul piano xz, e con R raggio di rotolamento effettivo, e 6 ovvero la distanza tra S (oppure il centro di istantanea rotazione) e il centro del mozzo. In formule, α possiamo scrivere che: = Che si trova leggermente al di sotto del piano stradale, infatti in figura risulta compreso tra il raggio R effettivo dello pneumatico e h raggio dello pneumatico deformato.

• = • {Caso : Ovvero il caso di angolo di deriva nullo = e coppie applicate nulle, che è la condizione di rotolamento puro dello pneumatico. Siamo di fronte ad un moto piano, in cui l’unica componente di velocità è quella data da V (poiché il seno di α diventa x nullo, V si annulla), per cui l’asse elicoidale diviene y asse di istantanea rotazione e quindi posso individuare il centro di istantanea rotazione C che si 0 trova ad una distanza R dal centro del mozzo, tale per e cui: =0 0
• ≠ • {Caso : In questo caso non si ha più un moto = piano, ma torna ad essere presente l’asse elicoidale del moto, e anche la velocità V non sarà coincidente α con la componente x. Si individua il punto S dato 0 dall’intersezione dell’asse elicoidale col piano xz. α Anche qui si può scrivere R , come: e0 ⋅ =0 0
• = • {Caso : In questo caso intermedio si può ≠ comunque parlare di centro di istantanea rotazione perché α è nullo, ma la presenza di una coppia applicare lo fa spostare in alto o in basso (a seconda che la coppia sia motrice o resistente) rispetto al primo e0T caso affrontato. Anche qui posso dire che R è uguale a: =0 0

Si noti però che abbassandosi il centro di istantanea rotazione rispetto al caso iniziale, il centro di istantanea rotazione iniziale C si trova a muoversi con 0 7 una certa velocità, detta di slittamento dello pneumatico V , dovuto al fatto che lo pneumatico si deforma. Quindi, se riesco a conoscere la velocità di slittamento, posso ricavare le forzanti applicate al sistema; tuttavia tale velocità dipende dalla velocità di rotazione del mozzo ω e quindi è nota.

• ≠ • {Caso : In questo ultimo caso avrò la stessa ≠ condizione di sopra, ma non più con i centri di istantanea rotazione ma bensì con l’intersezione dell’asse elicoidale col piano xz. A differenza di prima, però, dato che l’angolo di deriva è diverso da zero, ho anche una velocità di slittamento anche in direzione y, di verso opposto all’asse y, data da V moltiplicata per il seno di α, e quindi costante (mentre ricordiamo che quella lungo x ha un andamento lineare) ⋅ =

Da questo ultimo caso si ha il vettore della velocità di slittamento in componenti lungo x e lungo y: = − = − = ( − ) 0 0 0 { = − 0 = = = Tuttavia è possibile scrivere e di conseguenza è anche possibile scrivere 0 = − = − . che Quindi si ha che la velocità di slittamento è: 0 0 0 = ( − ) 0 { 0 = − 0 α

Queste espressioni sono molto interessanti perché a parte la costante dell’angolo di deriva e di R le e0 velocità angolari possono essere facilmente misurabili.

A questo punto si può definire un’altra velocità, ovvero la velocità di rotolamento, come quella che non comporterebbe slittamento (in termini grafici, è quella α velocità data dal triangolo con vertice in S e ipotenusa 0 parallela a quella del triangolo di V ) e che x effettivamente da avanzamento. Questa vale: = 0 ⃗ ⃗ ⃗ = + E si può scrivere che

È comodo adimensionalizzare la velocità di slittamento in questo modo: 8

• ⃗⃗⃗ 1− • =( ) = Scorrimento pratico: (solitamente si usa questo scorrimento) 0 − 0 −10
• ⃗⃗⃗ 1 • ( ) = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = Scorrimento teorico: 0 1− − ⋅

I due vettori appena definiti differiscono fra di loro solo in modulo, avendo entrambe sempre la stessa direzione e verso di V . In particolare, nel caso di ruota bloccata (ω = 0) in assenza di deriva (α = 0) si ha S =