Appunti Matematica e statistica

Analisi di funzione

Funzione = una funzione da A a B è una legge che a ciascun elemento di A (Dominio) associa uno e un solo elemento di B (Codominio) f: A → B x → y.

Il grafico di una funzione è l’insieme delle coordinate (a; f(a)) tali che a∈A. Dal punto di vista grafico per capire se si ha una funzione o meno si traccia una retta verticale (// asse y), se interseca il grafico in 2 punti allora non è una funzione.

Cardinalità = numero di elementi di un insieme.

Prodotto cartesiano di due insiemi: AxB è l’insieme delle coppie ordinate (a;b) con a∈A e b∈B; cardinalità è il prodotto delle cardinalità dei gruppi di partenza.

Es funzioni: temperatura / pressione di un paziente misurata più volte a orari diversi del giorno.

Insiemi numerici

• Naturali = N. Esiste almeno un elemento di Z che non sta in N, uno di Q che non sta in Z e uno di R che non sta in Q.
• Interi = Z.
• Razionali = Q.
• Reali = R.

Controimmagine

Controimmagine = considerando una funzione f: A → B, e sia B1 un sottoinsieme di B, allora chiamiamo controimmagine di B1 l’insieme f^-1(B1) = {a∈A : f(a)=b, b∈B1}.

Sostanzialmente, se B è il codominio (y) la sua controimmagine è il dominio (x): l’insieme delle x corrispondenti alle y.

Funzione suriettiva, iniettiva e biiettiva

Funzione suriettiva = funzione in cui ogni elemento del codominio B associa almeno un elemento del dominio A.

Grafico: se ogni y associa almeno una x immaginando di proiettare il grafico sull’asse y questo deve coprire tutto l’asse Y.

Funzione iniettiva = funzione in cui ogni elemento del codominio B è immagine di al più un elemento del dominio A.

Grafico: immagino di tracciare una retta orizzontale (// asse x), se interseca il grafico SOLO UNA volta allora è iniettiva.

Una funzione è iniettiva se vale: x1 ≠ x2 ⇔ f(x1) ≠ f(x2) (o con l’=).

Funzione biiettiva = funzione sia suriettiva che iniettiva della quale è possibile definire l’inversa (f^-1).

f: A → B, f^-1: B → A.

x → y, y → x.

Per ricavare la funzione inversa: esplicito la x e poi cambio le lettere.

Grafico: curva di f e quello di f^-1 sono simmetrici rispetto la bisettrice y=x.

Composizione di 2 funzioni

Date due funzioni f: A → B e g: B → C.

x → f(x), x → g(x).

La funzione composta con dominio A e codominio C sarà: (g o f)(x): A → C.

A → B → C.

x → f(x) → g(x).

Per ricavare la composta (g o f)(x): in g(x) sostituisco la x con f(x).

NB (g o f)(x) ≠ (f o g)(x). Se compongo una funzione con la sua inversa ottengo x (la variabile), funzione identità: h(x)=x.

Monotonia

• Stretta crescente se x1 < x2 → f(x1) < f(x2).
• Stretta decrescente se x1 < x2 → f(x1) > f(x2).
• Debole crescente se x1 ≤ x2 → f(x1) ≤ f(x2).
• Debole decrescente se x1 ≤ x2 → f(x1) ≥ f(x2).

NB se f è strettamente crescente o decrescente allora f è iniettiva (non vale il viceversa).

Funzioni definite a tratti e valore assoluto

Funzioni definite a tratti: si divide il dominio (x) in intervalli per ognuno dei quali si impone una condizione +.

Valore assoluto: caso particolare di funzione definita a tratti, il codominio è solo positivo f: R → R+.

"x,y∈R.

Diseguaglianza triangolare: |x+y|≤|x|+|y| (≤ se x e y concordi altrimenti <).

Funzione potenza

f: A → B.

• Se p è intero positivo dominio = A = R.
• Se p è intero negativo dominio = A = R – {0}.
• Se p = ½, … dominio = {x∈R | x ≥ 0}.

x → ax^p, a∈R.

Funzione esponenziale

• Se 0 < a < 1 funzione strettamente decrescente.
• Se a > 1 funzione strettamente crescente.

f: R → ]0 ; +∞[.

x → a^x, a∈R, a>0, a≠1.

Essendo strettamente crescente o decrescente è iniettiva oltre che suriettiva, è biiettiva ed invertibile.

Funzione logaritmo

Funzione logaritmo. Funzione inversa dell’esponenziale.

f: ]0 ; +∞[ → R. Dominio = argomento sempre > 0.

x → log_a(x), a>0, a≠1.

Proprietà log.

Variazioni di scala

Dall’andamento esponenziale si può ricavare la: scala semilogaritmica con un nuovo sistema di coordinate: X = x e Y = ln(y) (y>0).

In generale: y(x) = c×a^x; Y(X)= ln(c×a^x) = X×ln(a) + ln(c) (retta).

Scala logaritmica con un nuovo sistema di coordinate: X = ln(x) e Y = ln(y) (x,y>0).

In generale: y(x) = a×x^p; Y(X)= ln(a×x^p) = p×ln(x) + ln(a) = p×X + ln(a) (retta: y=mx+q).

Funzioni periodiche

Funzioni periodiche: f: R → R con periodo T (T∈R e T>0) se f(x + T) = f(x).

Proprietà: f(x + kT) = f(x) dove T = periodo e K = intero.

«Funzione pari f(-x) = f(x) simmetrica rispetto asse y es: parabola e valore assoluto.

«Funzione dispari f(-x) = -f(x) simmetrica rispetto origine es: f(x)=x^p con p dispari.

Funzioni trigonometriche

Considero la circonferenza trigonometrica di r=1 e C(0;0).

• f(x) = sin(x) pari.
• f(x) = cos(x) dispari.

Funzioni periodiche con T = 2π. NB: sin(wx) ha periodo T=2π/w.

Relazione fondamentale della trigonometria: cos²(x) + sin²(x) = 1.

Formule di addizione e sottrazione.

Grafici.

Funzione sinusoidale

Funzione sinusoidale: f(x) = A + B×sin(Cx + D).

• A = traslazione verticale.
• B = dilatazione verticale = ampiezza oscillazione.
• C = contrazione orizzontale = frequenza oscillazioni.
• D = traslazione orizzontale di vettore V(-D;0) = fase iniziale.

Somma di 2 funzioni sinusoidali

• In fase: 2 creste/ventri si sommano.
• In opposizione di fase: si compensano ed elidono.

Funzione tangente

Funzione tangente.

Tan : [-π/2 ; π/2] → R.

x → sin(x)/cos(x).

Dominio può essere esteso a D = R – {x∈R : x = kπ, k∈Z}.

È dispari e biiettiva inversa: arctan(x): R → [-π/2 ; π/2].

Successioni

Successione = lista ordinata e infinita di numeri reali (N) X0, X1, X2, X3, …, Xn.

Posso pensarla come una funzione definita su N f: N → R.

n → f(n), Xn = f(n).

Progressioni aritmetiche

Successione di numeri reali (R) tali che la differenza tra un termine e il precedente è costante. Costante d = ragione della pr.ar.

Xn = X0 + n×d.

Xn – Xn-1 = d.

Progressioni geometriche

Descrivono fenomeni con crescite esponenziali (es: crescita popolazioni animali con risorse infinite).

Successione di numeri reali (R) tali che il rapporto tra un termine e il precedente è costante. Costante q = ragione della pr.geom.

Xn = X0 × qⁿ.

Modello diffusione di un’epidemia

Modello diffusione di un’epidemia.

In = infetti al giorno n.

I = I0 + λI0 = I0(1 + λ). Prog. geometrica di ragione q = 1 + λ, crescita esponenziale.

Questa descrizione va bene nei primi giorni dell’epidemia ma non per lunghi periodi, la popolazione non è infinita quindi dopo un certo tempo il numero di infetti tenderà a stabilizzarsi.

Modifico il modello perché valga sia per tempi brevi che per tempi lunghi.

Supponiamo di avere una popolazione di N individui.

I = infetti al giorno n.

In+1 - In = λIn × Sn / N.

S = suscettibili (sani che possono infettarsi) al giorno n.

N = popolazione totale = In + Sn.

• Se Sn ≈ N cioè se il numero di suscettibili è vicino al numero totale di persone allora vale il modello esponenziale.
• Più S diminuisce (più la popolazione si infetta) più I diventa piccolo, cioè il numero di nuovi infetti diminuisce.

Modello logistico

Modello logistico.

Osservando che Sn = N – In.

Posso riscrivere il modello di diffusione come: In+1 - In = λIn × (1 - In/N). Per tempi grandi In → N per cui nuovi infetti → 0.

Descrive bene i fenomeni di saturazione.

Limiti di successioni

Limiti di successioni (n → +∞).

• Successioni con limite l (l∈R) quando i valori della successione si avvicinano ad un numero fissato (l) lim Xn = l.

Esiste un valore di n (-) per cui per ogni altro n≥- il grafico sta nell’intervallo delle y [l+e ; l-e].

• Successione tende/diverge a ∞ se Xn diventa arbitrariamente grande al crescere di n lim Xn = +∞.

Esiste un valore di n (-) per cui per ogni altro n≥- il grafico sta sopra la retta y = M.

Convergenza progressioni aritmetiche e geometriche

Convergenza progressioni aritmetiche e geometriche.

Aritmetiche.

Xn = X0 + n×d.

• d > 0 Xn diverge a +∞.
• d < 0 Xn diverge a -∞.

Geometriche.

Xn = X0 × qⁿ.

• 0 < q < 1 Xn tende a 0.
• q > 1 Xn diverge a +∞.

Funzioni oscilla