Appunti lezioni Statistica medica

Recapiti prof. Marta Di Nicola

Recapiti prof. Marta Di Nicola: NPD 3 Blocco 2 Piano 08713554007 è preferibile contattare marta.dinicola@unich.it per qualsiasi dubbio utilizzando la mail oppure attraverso Microsoft Teams.

Se invece è necessario un aiuto riguardo la risoluzione degli esercizi bisogna utilizzare Microsoft Teams per un eventuale ricevimento studenti.

Il corso di statistica medica è uno dei moduli del corso integrato di metodologia medico/scientifica di base, insieme a inglese, storia della medicina e informatica.

La prof. Di Nicola è il coordinatore di questo corso integrato, quindi per qualsiasi problema di carattere logistico o di riconoscimento degli esami fare riferimento a lei.

Per quanto riguarda il riconoscimento degli esami bisogna attendere che la commissione si esprima per eventuali delibere, in linea di massima se l’esame è già stato sostenuto in un altro corso di medicina o professioni sanitarie ed è identificato come corso di statistica medica potrebbe essere riconosciuto, se invece avete sostenuto altri esami simili (es. matematica, probabilità e statistica, psicometria) quasi sicuramente questi non vi saranno riconosciuti, vi è però la possibilità di confrontare i programmi e valutare singolarmente le situazioni.

Testi consigliati: “Biostatistica M. Pagano K. Gauvreau”

Introduzione, variabili quantitative e qualitative, distribuzioni, definizioni

La biostatistica è una raccolta di metodi che sono il supporto per l’analisi d’informazioni di carattere clinico e biologico.

L’obiettivo del corso è quello di riuscire ad analizzare i dati e capirne il risultato. Sarà importante comprendere le formule e saperle applicare nel modo corretto.

La statistica ha come scopo la conoscenza quantitativa dei fenomeni collettivi. L’analisi statistica mira ad individuare modelli di interpretazione della realtà, attraverso canoni e tecniche che sono astrazioni, semplificazioni di una moltitudine di aspetti e di manifestazioni del reale.

La statistica medica serve a:

• Leggere criticamente la documentazione scientifica (es. valutare la qualità di diversi trattamenti) e valutare correttamente i dati disponibili (es. curve pandemiche).
• Avere la possibilità di effettuare autonomamente l’analisi e l’elaborazione dei dati.

Verranno fatti diversi esempi per strutturare un percorso (nella foto in alto) in cui si collocano i metodi della statistica medica.

Dopo aver identificato un problema, vengono formulate delle ipotesi di ricerca, anche semplici. Vengono poi disegnati degli studi, per stabilire delle regole da usare per raccogliere delle informazioni in modo oggettivo e strutturato al fine di giungere ad una conclusione supportata dai dati (valutando una popolazione target).

La statistica medica interviene durante la fase di raccolta delle informazioni per lavorarle, interpretarne i risultati e dare un’indicazione riguardo il problema di partenza.

In questo passaggio ci sono due fasi diverse:

Funzione descrittiva

1 Funzione descrittiva: tutti i metodi per descrivere ciò che viene osservato. In altre parole essa permette di riassumere le informazioni in modo da renderle utilizzabili più facilmente. Riduce i dati in forma maneggevole, sostituendo a molti numeri poche misure.

Un metodo classico è la media aritmetica. La funzione descrittiva è importante per la seconda parte del corso, ovvero la funzione inferenziale.

Funzione inferenziale

Funzione inferenziale: cercare delle leggi generali, generalizzare il risultato, ricavando proprietà e leggi generali sulla base di dati rilevati solamente su una parte (campione) della popolazione.

Ad esempio sapere che un vaccino funziona su 1000 pazienti arruolati è interessante ma è un’informazione limitata. Riuscire a generalizzare il risultato, partendo da questa informazione è fondamentale per portare avanti la ricerca. (es. il vaccino funziona sui 1000 pazienti, quindi da domani si procede con la vaccinazione dell’intera popolazione).

Definizioni

• Unità statistica: il più piccolo elemento appartenente alla popolazione oggetto di studio, da cui si raccolgono i dati (es. paziente, soggetto sano, singola cellula).
• Campione rappresentativo o popolazione: insieme di unità statistiche con una caratteristica in comune più o meno dettagliata che ne determina l’ampiezza. La definizione di popolazione si basa sul presupposto che l’insieme di unità statistiche rappresenti l’insieme di tutti gli elementi con una data caratteristica in comune. Il campione è soltanto una parte del tutto.

Censimento: indagine su una intera popolazione.

Popolazione Campione: parte di unità statistiche tratte da una popolazione. Spesso studiare l’intera popolazione richiede troppe risorse, quindi viene studiata solo una parte per generalizzare il risultato dal campione alla popolazione bersaglio.

Il campione deve essere rappresentativo, quindi deve essere selezionato correttamente (tramite un arruolamento consecutivo). Oltre all’estrazione casuale, anche il numero di unità va preso in considerazione. La numerosità del campione viene indicata con n può essere decisa in base a delle formule precise, prima ancora di arruolare il primo soggetto.

• Variabile statistica: ciascuna informazione, caratteristica che verrà rilevata sulle unità statistiche sarà chiamata variabile. Le variabili sono caratterizzate da modalità, ovvero il modo in cui la variabile si presenta (es. variabile sesso - modalità maschio/femmina).

Le variabili possono essere di tipo qualitativo o quantitativo. In base al tipo di analisi statistica scelgo il tipo di variabile.

2 Le variabili qualitative, sono variabili caratterizzate da aggettivi, attributi. Le v. qualitative si dividono ulteriormente in: ordinali, ovvero ordinabili (es. giorni della settimana) e nominali, con modalità non ordinabili (es. sesso).

Le variabili quantitative, sono variabili caratterizzate da modalità che sono dei numeri. La media aritmetica ad esempio può essere applicata solo a variabili quantitative. Le v. quantitative si dividono ulteriormente in quantitative discrete, che assumono solo valori interi appartenenti ai numeri naturali (es. numero figli) e quantitative continue, che invece possono assumere qualsiasi valore dei numeri reali.

Le informazioni possono essere raccolte in molti modi e devono essere più quantitative possibile, infatti le variabili quantitative possono divenire variabili qualitative, ma non viceversa.

Ad esempio, una variabile qualitativa dell’indice di massa corporea può essere calcolato per poi generare delle classi che classificano i pazienti come sottopeso, obeso etc. Ciò viene fatto durante l’analisi dei dati, perché se un paziente è classificato come obeso non è più possibile risalire al suo indice di massa corporea.

Le informazioni vengono aggregate per semplificare il risultato e renderlo spendibile. Così facendo si perdono informazioni sulla variabilità a vantaggio della semplicità. Aggregare troppo comporta perdere troppa informazione.

Distribuzioni semplici di frequenze

I dati (cioè le informazioni raccolte) spesso sono di non immediata lettura. Per questo si procede ad una sistematizzazione e sintesi delle informazioni raccolte, cioè alla loro tabulazione.

Le informazioni vanno, per questo, informatizzate e trattate per descrivere il campione con programmi come Excel. A partire da questa struttura bisogna imparare a descrivere e a generalizzare i risultati.

Il file “database per esercitazione” contiene dati simulati e può essere utilizzato per esercitarsi (scaricandolo prima di utilizzarlo o modificarlo). Il file “tavole di distribuzione di probabilità” contiene le tavole proprie della statistica, è utile stampare questo file utile alle finalità del corso.

Distribuzioni: il primo passaggio per la sintesi delle informazioni è costruire le distribuzioni di frequenza, ovvero una tabella con la variabili e le rispettive modalità affiancate dalla frequenza assoluta (cioè il numero di unità statistiche che presenta quella data modalità).

Nella terza tabella in alto sono state generate delle classi in cui l’ampiezza è la stessa. Le classi non devono sovrapporsi e devono essere di pari ampiezza per essere confrontate.

Alcune distribuzioni semplici di frequenze 3

La frequenza assoluta può essere affiancata dalla frequenza relativa (frequenza assoluta in percentuale), in modo tale da avere delle informazioni più immediate. La somma di tutte le frequenze relative deve essere pari a 100.

Le frequenze cumulate sono un altro tentativo di descrivere un fenomeno e permettono di leggere la distribuzione. Si possono cumulare sia le frequenze relative sia le frequenze assolute, ma solo nel caso in cui si hanno delle variabili che hanno un ordine.

Si possono costruire anche distribuzioni di frequenza doppie per studiare correttamente le associazioni (es. nella prima tabella sotto vi è un maggior numero di fumatori, quindi riportando i dati in proporzione si scopre che il 57.1% dei fumatori si ammala, contro il 58.8% dei non fumatori).

Distribuzione doppia di frequenze assolute Distribuzione doppia di frequenze percentuali 4

Le misure di sintesi numerica

Misure di tendenza centrale

Obiettivo: individuare un indicatore che possa, con un solo valore, rappresentare significativamente tutta l’informazione che è stata raccolta nel mio campione (insieme di dati statistici).

In sostanza, dopo aver estratto un campione dalla popolazione bersaglio, da esso ottengo delle informazioni che possono essere sintetizzate mediante questo indicatore.

Valor medio o media aritmetica

La media aritmetica è definita come quel valore che avrebbero tutte le osservazioni se non ci fosse la variabilità (casuale o sistematica). È un indicatore che, attraverso l’espressione di un numero, rappresenta tutte le unità statistiche del campione.

Si immagini di studiare un campione di 188 studenti di cui è stata rilevata l’altezza (fenomeno quantitativo continuo) raggruppata in classi (in modo da sintetizzare ed evitare di avere 188 altezze teoricamente diverse).

Uno dei modi più semplici ed efficaci per sintetizzare queste informazioni consiste nel calcolare la media (in questo caso 1,68m). In questo modo si perde però di specificità, in quanto sarebbe come definire 25/10/2021 Statistica Medica, lez 02 Prof.ssa Marta Di Nicola 1 le 188 altezze tutte uguali.

Ciò potrebbe comportare alcuni errori: di sovrastima (es. uno studente alto 1,78 m) o di sottostima (es. uno studente alto 1,50 m).

N.B. In questo caso si parla di media campionaria, da non confondere con quella relativa alla popolazione.

Proprietà della media

Proprietà della media: giustificano la scelta della media come metodo di sintesi dei dati.

1. Internalità: il suo valore è sempre compreso tra il minimo dei dati e il massimo dei dati.
2. La somma degli scarti dalla media aritmetica è sempre uguale a zero.
3. La somma degli scarti al quadrato dalla media aritmetica assume valore minimo.
4. La media dei valori: k × x è pari alla media aritmetica × k (dove k è un numero reale qualsiasi).
5. La media dei valori: x ± h è pari a: media aritmetica ± h (dove h è un numero reale qualsiasi).

Limiti della media

La media è particolarmente sensibile ai valori atipici (tutti quei valori a bassa frequenza che discostano tanto dagli altri) poiché nel suo calcolo vengono considerati tutti i dati. In questo caso essa perde di rappresentatività e, proprio per evitare ciò, è sempre consigliabile fare uno screening dei dati, in modo da notare fin da subito la presenza di valori atipici ed evitare di usare la media come metodo di rappresentazione.

Nonostante la media aritmetica sia considerata la migliore tra le misure di sintesi (tant’è vero che è in assoluto la più utilizzata), essa oltre che non appropriata nelle situazioni di outlier (come già detto elementi con valori particolarmente più alti o più bassi della distribuzione), non può essere ovviamente calcolata in caso si stiano analizzando delle variabili qualitative.

Mediana

Per le variabili non quantitative abbiamo quindi bisogno di una misura che possa sintetizzare le informazioni: quella più usata è la mediana. La mediana è quell’indicatore che bipartisce (divide in due parti uguali) la distribuzione in modo tale che sia sotto che sopra ci sia lo stesso numero di dati.

L’idea che è alla base della mediana è quella di cercare un numero che sia più grande di un 50% delle osservazioni e più piccolo del restante 50%.

N.B. Non si tratta del centro dell’intervallo dei valori ma del centro in termini di unità statistiche. Dunque, la mediana non è altro che la modalità assunta dall’unità statistica che occupa la posizione centrale quando tutte le unità statistiche vengono ordinate.

Ciò che sta al centro normalmente è il valore del fenomeno che più caratterizza il campione; i dati anomali o a frequenza bassa sono generalmente i valori molto più alti o molto più bassi.

Si prenda in esame il caso dell’altezza (o del peso): in una popolazione avrò pochi soggetti alti 1,40/1,50m, così come avrò pochi soggetti 2 alti 1,90/2,00m agli estremi della distribuzione, mentre la maggior parte della popolazione starà verso il centro, dove non troverò situazioni limite ma tutto ciò che è maggiormente presente nel campione osservato.

Questo vale anche per le variabili qualitative ordinali es. Titolo di studio (5^ elementare, 3^ media ecc.): posso ordinare la distribuzione e trovarne il valore mediano.

È un valore “robusto”, nel senso che non è sensibile ai valori anomali, tiene conto solo dell’ordinamento delle osservazioni, considerando solo la modalità assunta dall’unità statistica in posizione centrale.

I passaggi per calcolare la mediana sono 3:

• Ordinare i valori (solo quantitativi o qualitativi ordinali) in modo da rendere facilmente visibile il valore centrale.
• Andare ad osservare la numerosità del campione (se è pari o dispari).
• Cercare l’unità o le unità centrali.

Con n pari abbiamo quindi due valori di mediana, che solitamente hanno valori abbastanza simili tra loro, in questo caso se ne può assumere solo uno. Può però capitare che questi valori siano distanti tra loro, in questo caso bisogna considerarli entrambi.

Alle volte potrebbe essere utile cumulare le frequenze percentuali per determinare la mediana (fino a che non si arriva al 50%).

Moda

Nel caso di variabili non ordinali, l’unica operazione possibile è individuarne il valore modale, che sta ad indicare la modalità che si presenta con la maggior frequenza.

Questo ovviamente comporta una grossa perdita di informazione, il che rende la moda un indicatore molto limitato.

N.B. In un campione si possono avere anche più valori modali.

3 Questi grafici sono particolarmente utili per descrivere l’andamento dei tre indicatori sopra descritti.

Esistono diversi tipi di distribuzioni:

1. Simmetrica: media, mediana e moda coincidono;
2. Bimodale: si può avere questo caso in due situazioni: o si sta campionando da due gruppi diversi, o ci sono delle variabili che possono confondere (dette appunto confondenti);
3. Asimmetrica destra (o positiva): Media >= Mediana >= Moda;
4. Asimmetrica sinistra (o negativa): Media <= Mediana <= Moda.

N.B. Le ultime due sono utili soprattutto per descrivere situazioni in ambito medico. N.B. Nelle curve il picco corrisponde sempre alla moda.

N.B. Un esempio di distribuzione simmetrica è dato dalla famosa curva di Gauss.

Quantili

Come già detto, la mediana divide la distribuzione in due parti uguali. La distribuzione può però essere divisa anche in 4 parti uguali, ognuna contenente il 25% delle unità statistiche.

Per fare ciò, avrò bisogno di 3 valori che dividano in 4 parti la distribuzione, uno dei quali è il valore della mediana.

Generalizzando, si può anche dividere la distribuzione in 3 parti da 33,3% utilizzando 2 valori, in 10 parti o in 100 parti...

Se la divido in 3 parti i valori saranno chiamati terzili, se la divido in 4 prendono il nome di quartili, se la divido in 10 parti saranno decili, se la divido in 100 parti si chiameranno centili o percentili (utilizzati in pediatria per le curve di crescita, basate sui percentili di altezza e peso in cui, escludendo le code con i casi limite del 5% dei bambini più piccoli e il 5% dei bambini più grandi, quelli nella norma rientrano tra il 5^ e il 95^ percentile).

4 I quantili vengono spesso calcolati cumulando le frequenze percentuali.

N.B. Il secondo quartile (25% + 25%) coincide con la mediana (50%).

N.B. Tra il primo e il terzo quartile è contenuta la metà delle unità statistiche (50%).

Boxplot

Particolarmente utile è un’altra tipologia di grafico: il box and whiskers plot, o più semplicemente boxplot. Si tratta di una “scatola” affiancata da una scala che indica le modalità del carattere considerato.

La scatola, avendo per estremi il primo e il terzo quartile, contiene il 50% delle unità