Appunti lezioni Meccanica dei continui e delle strutture

Meccanica dei continui

f_x(s) [N/m²] Forze esterne di superficie

b_x(x) [N/m³] Forze esterne di volume

C_f - Porzione di contorno sollecitata

C_n - Porzione di contorno vincolato

P(x) = P(x₁, x₂, x₃) - Posizione

σ = [ _{σ1, τ12, τ13; τ12, σ2, τ23; τ13, τ23, σ3} ] Tensore degli sforzi di Cauchy

σ_α [N/m²] Vettore sforzo riferito alla giacitura di normale h_α

Analisi statica: modello di continuo di Cauchy

• Separo l'oggetto solido
• Idealizzo tramite modello semplificato
• Definisco sollecitazioni esterne agenti
• Definisco vincoli e reazioni vincolari

Ipotesi di Cauchy

lim_ΔS→0 ΔF/ΔE = σ_α

lim_ΔS→0 ΔM/ΔE = 0

Relazione di Cauchy

σ_α = σħ_α

Proprietà del tensore degli sforzi

Simmetria

σ_it = σ_jt

σ_ij = σ_ji

Cambio di S.D.R.

σ_αβ = σ_ij n_i h_β

Coniugazione degli sforzi tangenziali

σ_ββ = σ_ττ

n_τn_β h_ρ

τ_β n_τ σ_ρρn_β

σ_βσ = σ_ρρn_β

Decomposizione dello stato di sforzo

σ = ρI + S

σ_idrostatico + σ_deviatorico

σ_{deviatorico degli sforzi}: tr(S) = 0

Pressione idrostatica: ρ = tr(σ)/3

Direzioni principali di sforzo e sforzi principali

σ_x = Sx, con (S₁, S₂, S₃) sforzi principali

det(σ) = 0

φ(s, s, s) = S³I₁I₂−I₃=I_σ=0

Invarianti di σ

tr(g) = 0

det(σ) = g

Stato di sforzo cartesiano

Stato di sforzo cilindrico

Stato di sforzo sferico

Meccanica dei continui

f_(xs) [N/m²] Forze esterne di superficie

b_(x) [N/m³] Forze esterne di volume

I_c - Porzione di contorno sollecitata

I_n - Porzione di contorno vincolata

P(x) = P(x₁, x₂, x₃) - Posizione

σ_γ = σ₁σ₂σ₃ σ₁₂σ₂₂σ₃₂ σ₁₃σ₂₃σ₃₃ Tensore degli sforzi di Cauchy

σ_x [N/m²] Vettore sforzo riferito alla giacitura di normale η_α

Analisi statica: modello di continuo di Cauchy

• Separo l'oggetto solido
• Idealizzo tramite modello semplificato
• Definisco sollecitazioni esterne agenti
• Definisco vincoli e reazioni vincolari

Ipotesi di Cauchy

⋅ limΔEΔE to 0= σ_α

⋅ limΔMΔE to 0= 0

Relazione di Cauchy

σ_⍺ = σ^γ⌋ h_⍺

Proprietà del tensore degli sforzi

σ_ij = σ_ji Simmetria

σ_γ = V_γV_ij

Cambio di S.D.R.

σ_β = σ_ijn_jh_i

Decomposizione dello stato di sforzo

σ = p I + s = σ_idrostatico + σ_deviazione

σ_deviazione degli sforzi:

p = tr(σ^γ)/3

Direzioni principali di sforzo e sforzi principali

σ_x = S₁h₁, con (S₁, S₂, S₃) Sforzi principali

φ(σ_i, σ_j, σ_k) = s³I_s = Σ₁ - Σ₂ - I_σ = 0

Invarianti di σ

Invarianti di σ ⇒ tr(v^γ) ≡ det (σ)

[σ - s I]n_α = 0 ⇒ det [σ - s I] = 0

Stati di sforzo

Stato di sforzo cartesiano

S₄ + S₂ ≠ S₃

Stato di sforzo cilindrico

─S₂ ≠ S₃

Stato di sforzo sferico

S₁ = S₂ = S₃

Direzioni principali

Norma euclidea

Stato di