Appunti lezioni elementi di Astrofisica

Università degli studi Milano Bicocca

Dipartimento di Fisica "Giuseppe Occhialini"

Corso di Laurea triennale Fisica

Corso di Elementi di Astrofisica

Anno accademico 2022/2023

Indice

• 1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 1.1 Cenni storici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 1.2 Tecniche osservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 1.3 Coordinate celesti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 1.4 Concetti di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• 1.5 Metodi per misurare le distanze: metodo della parallasse . . . . . . . . . . . . . 7
• 1.6 Nomi di bande di frequenze (curiosità) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 1.7 Concetto di colore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 1.8 Determinazione delle masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 2 Struttura ed evoluzione stellare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 2.1 Struttura delle stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 2.2 Equazioni di struttura stellare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 2.3 Riassunto delle Equazioni di struttura stellare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 2.4 Equazione di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 2.5 Evoluzione stellare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 2.6 Supernovae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 3 Oggetti compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 3.1 Nane bianche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 3.2 Stelle di neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
• 3.3 Buchi neri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
• 4 Onde gravitazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
• 5 Le galassie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
• 5.1 Caratteristiche di una galassia a spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
• 5.2 Curve di rotazione e materia oscura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
• 5.3 Classificazioni quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
• 5.4 Altre correlazioni osservate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
• 5.5 Nuclei galattici attivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
• 1 INDICE 5.6 Sistemi binari di buchi neri supermassivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
• 5.7 Ammassi di galassie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
• 6 Cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
• 6.1 Scala delle distanze cosmologica (distance ladder) . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
• 6.2 Legge di Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
• 6.3 Metrica di Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . 92
• 6.4 Cenni storici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
• 6.5 Redshift cosmologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
• 6.6 Radiazione di fondo cosmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
• 6.7 Evoluzione dell’universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
• 6.8 Tensione sulla costante di Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Appunti da accompagnare con le slide del corso! 2

1. Introduzione

1 Introduzione

In astrofisica si utilizzano tutte le bande dello spettro elettromagnetico (dal radio ai raggi γ), tuttavia non tutte sono visibili da terra. A terra riusciamo a vedere nell’ottico, nell’infrarosso e nel radio. Per l’osservazione di raggi UV, raggi X e raggi γ necessitiamo di telescopi spaziali.

1.1 Cenni storici

• 1600: Telescopi ottici (Galileo Galilei);
• 1830 - 1960: Sviluppo dell’Astronomia nell’infrarosso, prima di allora si poteva osservare il cielo solo nello spettro del visibile;
• 1930: Astronomia nel radio;
• 1960: Nascita dell’astronomia nell’ultravioletto;
• 1960: Astronomia nei raggi X e raggi gamma, primi satelliti in grado di misurare questi raggi e osservazioni di sorgenti astrofisiche interessanti;
• 2015-2017: Nascita dell’astronomia con le onde gravitazionali;

1.2 Tecniche osservative

Data una certa lunghezza d’onda λ, dato il diametro dello strumento tramite il quale stiamo osservando D, la risoluzione angolare è data da θ ≈ 1,22 λ / D

La risoluzione angolare è il minimo angolo che un sistema ottico (come una lente, un microscopio o un telescopio) è in grado di distinguere, senza che il fenomeno della diffrazione confonda l’immagine.

Il potere risolvente angolare è la capacità del sistema ottico di distinguere due immagini in base al diverso angolo con cui vengono proiettate.

Tecniche interferometriche possono migliorare notevolmente la risoluzione angolare, perdendo tuttavia un po’ di informazione (spargere per il pianeta vari telescopi al fine di avere una risoluzione angolare pari a quella di uno strumento della grandezza del pianeta Terra).

Con D 10 m si ha una risoluzione 1000 volte maggiore dell’occhio umano.

Esempio: “ „

Effetti atmosferici peggiorano la risoluzione angolare.

Oltre a misurare la posizione di un oggetto, se ne può misurare il flusso (fotometria), lo spettro (spettroscopia), la polarizzazione (polarimetria).

3 1. INTRODUZIONE

1.3 Coordinate celesti

Nel momento in cui osserviamo un oggetto dobbiamo dargli anche un sistema di coordinate.

Vi sono due sistemi:

• Coordinate celesti
• Coordinate galattiche

Le coordinate celesti sono tipicamente quelle che si usano nell’astronomia amatoriale. Queste sono definite prendendo come piano centrale l’equatore della Terra (celestial equator). Essenzialmente si divide la volta celeste in due semisfere (emisfero nord e sud).

La semisfera che copre l’emisfero nord ha delle coordinate in declinazione da 0° a 90°. Quella che copre l’emisfero sud ha delle coordinate in declinazione da 0° a −90°.

Vi sono anche delle coordinate longitudinali misurate in ore, da 0 a 24 ore.

Dal punto di vista astrofisico quelle che si utilizzano maggiormente sono le coordinate galattiche. Invece di prendere come piano l’equatore terrestre si prende il piano della galassia in cui ci troviamo.

La latitudine va anche in questo caso da 90° a −90° con la differenza che lo zero indica un oggetto che si trova all’altezza del piano galattico.

Il centro viene definito come centro galattico, identificato come una sorgente particolarmente brillante nelle onde radio: coincide all’incirca col buco nero supermassivo che si trova al centro della nostra galassia. La longitudine è invece misurata in gradi non in ore.

Le coordinate possono essere trasferite su una mappa e vi sono vari tipi di proiezione:

• Proiezione azimutale equidistante: i due emisferi della volta celeste vengono mappati separatamente su delle circonferenze in cui il punto al centro corrisponde ad una latitudine di 90 gradi e il contorno a 0 gradi. Questa proiezione offre minime distorsioni. Mettendo qualcosa di sferico su un piano vi sono a prescindere delle distorsioni.
• Proiezione di Hammer-Aitoff: si usa per le coordinate galattiche. Il punto al centro equivale al piano della galassia. Rappresentazione completa del cielo ma forte distorsione ai poli.

Nel centro del piano galattico c’è un grande ammasso di stelle, ma vi sono anche molte polveri, che non ci permettono di vedere bene ciò che è presente in quel punto.

Possiamo risolvere il problema spostandoci nell’infrarosso, spostandoci in un’altra banda dello spettro elettromagnetico. L’assorbimento nel piano galattico è una funzione della lunghezza d’onda

I = I₀ e^−αr, α ∝ λ⁻¹

“ 90 4 1. INTRODUZIONE

L’andamento descritto vale in particolare nell’ottico e nell’infrarosso, tuttavia spostandoci dal primo al secondo l’assorbimento è migliore (la polvere assorbe tanto nell’ottico e meno nell’infrarosso). dust,

L’infrarosso può essere osservato a terra ma non tutte le sue bande.

Il problema è che anche noi umani emettiamo infrarosso, di conseguenza siamo fonte di disturbo per i telescopi a questa frequenza.

[Problema del rumore termico: T: 300K ha una lunghezza d’onda di 10 µm. Vanno tenuti ad una bassa temperatura questi telescopi.]

L’assorbimento non va a zero ma l’immagine migliora osservando l’universo in bande magnetiche diverse (ad esempio le polveri osservate nell’infrarosso).

Spostandoci in lunghezze d’onda più grandi, nelle microonde possiamo osservare la radiazione di fondo cosmico. Ci torneremo parlando di cosmologia.

Passando nel radio, nel 1967 Jocelyn Bell durante le sue osservazioni ha scoperto che nei dati rilevati vi erano dei segnali periodici (circa un secondo) con una frequenza ben precisa: si rivelò essere una stella di neutroni.

Nel radio alcune galassie sono molto più brillanti della nostra.

Spostandoci nello spazio possiamo osservare l’universo nell’ambito di raggi X e raggi Gamma. Prima osservazione dei buchi neri. Le radiazioni sono relative alla materia che accresce sul buco nero, infatti i buchi neri non emettono radiazione.

Negli anni 60 sono stati mandati in orbita satelliti con detector sensibili ai raggi Gamma. Tramite i satelliti vela, satelliti posti in orbita in piena guerra fredda per controllare che i sovietici non facessero esplodere bombe nucleari nello spazio, si è scoperta l’esistenza dei Gamma-Ray burst.

Le bombe atomiche emettono precisi segnali gamma.

L’unica evidenza diretta dell’emissione di neutrini data dall’esplosione di una supernova è quella unica che abbiamo. Supernova 1987A. rilevata dall’esplosione della

1.4 Concetti di base

Quando noi osserviamo le stelle, oltre ad osservare l’intensità (la quantità di radiazione che arriva a noi), possiamo osservarne anche lo spettro, l’intensità emessa in una specifica banda frequenza. Se ne facciamo un plot ciò che vediamo è lo spettro di corpo nero.

µ_ν = 8πν² / c³ · hν / (e^hν/kBT − 1)

Se integriamo su tutte le frequenze otteniamo la densità di energia totale

u = ∫₀^∞ µ_ν dν = aT⁴

5 1. INTRODUZIONE

dove a è la costante di radiazione a = 7,6 · 10⁻¹⁵ erg cm⁻³ K⁻⁴

Un corpo nero emette radiazione: si può misurare il flusso di radiazione, dove il flusso è la potenza emessa per unità di superficie, sostanzialmente il vettore pointing intensità.

Anche questa quantità si misura ad una certa frequenza: f_ν è il flusso per unità di frequenza o densità di flusso.

In astrofisica si usa il sistema CGS, perciò:

f_ν = erg s⁻¹ cm⁻² Hz⁻¹ ⇒ potenza per unità di superficie

dove erg è l’unità di energia nelle unità del CGS.

Anche questa quantità può essere integrata, ottenendo il flusso totale:

f = ∫₀^∞ f_ν dν = σT⁴

L’ultima relazione viene ricavata dalla teoria sul corpo nero, nella quale σ equivale alla costante di Stefan-Boltzmann σ = 5,7 · 10⁻⁵ erg s⁻¹ cm⁻² K⁻⁴

Per entrare più in confidenza con le misure del CGS:

1 W = 10⁷ erg / s

Nonostante le stelle siano sorgenti molto luminose, capita che siano così distanti che il flusso che arriva a noi è debolissimo. Misuriamo il numero di fotoni al secondo per unità di area.

Recap sulla notazione:

u = densità di energia; f = flusso o potenza per unità di superficie

La densità di flusso è una potenza per unità di superficie moltiplicato per Hertz, ovvero corrisponde alla misura di un flusso ad una determinata frequenza.

Immaginiamo di avere una densità di flusso misurata sulla superficie di una stella, quindi misurata a un raggio pari a R*: la potenza emessa non sarà altro che quella densità integrata su tutta la superficie (assumiamo sia una sfera perfetta).

L_ν = f_ν(R*) · 4πR*² ⇒ luminosità per unità di frequenza erg / s · Hz

Integrando su tutte le frequenze ottengo la luminosità, la potenza totale irradiata:

L = f(R*) · 4πR*² erg / s

6 1. INTRODUZIONE

La notazione con pedice ν indica che stiamo considerando una certa quantità solo ad una determinata frequenza. Tutte le volte che c’è un pedice ν c’è di conseguenza nelle unità di misura l’Hertz.

Le onde elettromagnetiche emesse dalle stelle sono di tipo sferico, quindi il flusso va come 1/r².

f ∝ 1/r² per le stelle

Ad esempio, misuriamo un certo flusso sulla Terra. Sia d la distanza tra la stella e noi:

f(d) = f(R*) (R*/d)²

moltiplichiamo sopra e sotto per 4π

f = f(R*) 4πR*² / 4πd²

ma da cui

L = f(R*) 4πR*²

f(d) = L / 4πd²

L = 4πd² · f(d)

Il flusso, la potenza per unità di superficie, è una quantità che misuro sempre f(d). Se in qualche modo riesco ad ottenere la distanza d tra me e la stella, riesco a calcolarne la luminosità (L). Il flusso si misura, la luminosità si calcola. Noi misuriamo la potenza che arriva per unità di superficie, dove l’unità di superficie è data dalle dimensioni del telescopio che utilizzo: misuro quindi la quantità di fotoni che arrivano sul telescopio.

Notazione: Cerchio con puntino dentro = simbolo del sole d

1.5 Metodi per misurare le distanze: metodo della parallasse

La parallasse è un fenomeno per cui un oggetto sembra spostarsi rispetto allo sfondo se si cambia il punto di osservazione.

Stesso metodo che essenzialmente utilizzo per misurare la distanza tra me ed un oggetto qui sulla Terra. La tecnica viene usata in astronomia per determinare la distanza di corpi celesti non eccessivamente lontani. Misurando l’angolo della parallasse e la distanza tra i due punti di osservazione è possibile calcolare la distanza dell’oggetto per mezzo della trigonometria. Per determinare la parallasse stellare si sfrutta il cambiamento di posizione assunto dalla Terra durante il suo moto orbitale. La tecnica presuppone la conoscenza del diametro dell’orbita terrestre e richiede l’osservazione dello stesso oggetto celeste a sei mesi di distanza per determinarne lo spostamento apparente rispetto allo sfondo.

Più una stella è vicina, più la sua parallasse è grande. Più precisamente si definisce parallasse annua quella derivata da uno spostamento pari alla distanza media tra Terra e Sole (raggio medio dell’orbita).

7 1. INTRODUZIONE

Questa tecnica ha introdotto in astronomia l’uso di una nuova unità di misura delle distanze: il parsec, definito come la distanza alla quale la parallasse annua è esattamente di un secondo d’arco, ed equivale a 3,26 anni luce.

1 pc ≈ 3,1 · 10¹⁸ ≈ 3,3 ly ⇒ circa 100000 volte la distanza tra la Terra e il Sole

Ad esempio: la stella a noi più vicina dopo il Sole, Proxima Centauri, presenta una parallasse di 0,768 (secondi d’arco). Ne consegue che la sua distanza è 1 / 0,768 ≈ 1,3 pc, ovvero 4,3 anni luce. Anche con questa precisazione le distanze massime misurabili direttamente sono nell’ordine di poche centinaia di parsec.

Noi possiamo misurare distanze fino a 100 pc. Il raggio della Via Lattea è 10 kpc; quindi per le stelle più distanti non possiamo misurare il loro spostamento (il loro angolo α).

Ora ci concentriamo su stelle sufficientemente vicine a noi, di cui possiamo misurare la distanza. Misuriamo il flusso (è qualcosa che abbiamo sempre). Poiché la stella in considerazione è vicina, riesco ad osservarne anche lo spostamento apparente nel cielo e quindi posso calcolarne la luminosità.

L = 4πd² · f(d)

Ma poiché la potenza irradiata è costante (dal corso di Fisica II) posso riscrivere la relazione come

L = 4πR*² · f(R*)

Poiché le stelle hanno un perfetto spettro di corpo nero, posso utilizzare la relazione espressa all’inizio con la costante di Stefan-Boltzmann.

L = 4πR*² σT⁴

Volendo possiamo calcolare T analizzando lo spettro di emissione della stella, ovvero come varia la densità di flusso in funzione della frequenza, fittandolo con la formula vista precedentemente.

Posso quindi misurare il raggio della stella R*

Flusso e luminosità (metodo della parallasse) ⇒ Temperatura (analisi spettro) ⇒ Raggio della stella

Per dare un’idea: Raggio Terra: 6000 km

Raggio