Appunti Fisiologia

Fisiologia

Viscosità

Viscosità è una proprietà di un fluido ideale, e misura la difficoltà del fluido di scorrere. Quando superfici parallele di area A di un fluido si muovono l’una relativamente all’altra, come nella figura, si trova sperimentalmente che la forza F necessaria per farle scorrere è proporzionale all’area A e al gradiente di velocità dv/dx.

La costante di proporzionalità η si chiama coefficiente di viscosità o anche, più semplicemente, viscosità.

F/A = ∗ = ∗ /h F η dv/dx η V Pa*s poise: L’unità di misura della viscosità è il Pa·s nel SI, mentre nel sistema cgs è il poise. 1 Pa·s = 10 poise.

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Numero di Reynolds

Quando si parla di viscosità, un parametro importante è il Numero di Reynolds, che misura il rapporto tra le forze inerziali e quelle di tipo viscoso.

Un oggetto che si muove attraverso un fluido viscoso è soggetto a una forza che si oppone al suo movimento. La grandezza di questa forza dipende da come il fluido fluisce attorno all’oggetto, che a sua volta dipende dal numero di Reynolds, definito come segue:

Re = ρLv/η

Dove ρ è la densità del fluido, L è la lunghezza caratteristica dell’oggetto lungo la direzione del moto, v è la velocità dell’oggetto e η è la viscosità.

Per bassi numeri di Reynolds (Re<1) la forza F che si oppone al moto dell’oggetto è proporzionale alla velocità F = −γv, dove γ è il coefficiente di resistenza viscosa.

Per una sfera di raggio r che si muove a velocità v nel fluido, il coefficiente di resistenza viscosa è dato da γ = 6πηr, e quindi la forza che si oppone al moto vale F = −γv = −6πηrv, che rappresenta la legge di Stokes.

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Moto di un batterio

Consideriamo un batterio di 2 μm di lunghezza, come ad esempio l’E. coli, che nuota nell’acqua a una velocità di 25 μm/s. Per la legge di Stokes, la resistenza γ è circa 20 nN*s/m. Quindi i motori molecolari che muovono i flagelli devono poter generare una forza di almeno 0.5 pN.

Quando il batterio smette di muovere i flagelli, si ferma in un tempo brevissimo. Non si può dire che la forza è zero, ma agisce solo la forza di resistenza viscosa. Si ha quindi dv(t)/dt ∗ m = −γ ∗ v(t).

In questi casi la soluzione è una funzione esponenziale del tipo v(t) = v(0) exp(−t/τ), e risolvendolo si trova il coefficiente di resistenza viscosa.

La velocità diminuisce esponenzialmente col tempo, e il parametro τ è la costante di tempo, cioè misura dopo quanto tempo la funzione è diminuita a circa il 37% del suo valore al tempo zero. In funzione dei parametri dell’equazione differenziale scritta sopra: τ = m/γ.

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Se però si ha un fenomeno che parte da un punto, ma l’asintoto non è 0, τ non è sempre il punto in cui la funzione è al 37%.

In funzione dei parametri dell’equazione differenziale, la costante di tempo si può calcolare conoscendo i valori della massa m e della resistenza viscosa γ, approssimando la forma del batterio a una sfera e la sua densità a quella dell’acqua:

m = ρ ∗ 4/3 ∗ πr³ ≈ 4 ∗ 10⁻¹⁵ kg

γ ≈ 20 nN ∗ s/m

τ = m/γ ≈ 0.2 μs

La distanza x percorsa dal batterio per inerzia, da quando i flagelli si fermano, si calcola come: x = ∫₀^∞ v(t)dt = ∫₀^∞ v(0) exp(−t/τ)dt = v(0) ∗ τ.

Con v(0)=25 μm/s e τ=0.2 μs otteniamo x = 5 pm = 0.05 Å.

Diffusione

Diffusione: moto indotto dall’energia. È la migrazione casuale di molecole o particelle che nasce dal moto indotto dall’energia termica. Le molecole a una certa temperatura T hanno una certa velocità, ovvero un’energia cinetica associata al movimento lungo una direzione nel sistema di riferimento cartesiano di kB T/2, dove kB è la costante di Boltzmann (1.38 ∗ 10⁻²³ J/K).

Per una particella di massa m e velocità vx lungo una direzione x, l’energia cinetica media è 1/2 ∗ m ∗ v_x² = 1/2 ∗ kB ∗ T e la radice quadrata del valore quadratico medio (root mean square - RMS) della velocità è v = √(kB ∗ T/m).

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Traiettoria bidimensionale relativa a una passeggiata aleatoria (random walk) di 18050 passi, tracciata da un programma per computer. La traccia origina dal lato sinistro in alto. Le regioni nere indicano dove la particella è passata più volte.

Proprietà della diffusione considerando una random walk monodimensionale (lungo una sola direzione). Ipotesi:

• Ciascuna particella può muoversi, a seguito degli urti con le molecole del solvente, verso destra o sinistra ogni τ secondi, con velocità ±v e spostamento δ = ±vτ.
• La probabilità di andare a destra o a sinistra è la stessa, cioè 50%.
• Le particelle di soluto si muovono indipendentemente le une dalle altre (soluzione diluita).

x_i(n) = x_i(n − 1) ± δ.

Conseguenze:

• Il centro di distribuzione dell’insieme delle particelle, in media, non si sposta in nessuna direzione.
• La radice quadrata della media quadratica dello spostamento è proporzionale alla radice quadrata del tempo trascorso.

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x²(t) = (δ²/τ) ∗ t; x²(t) = 2D ∗ t.

Avendo definito il coefficiente di diffusione D = δ²/2τ, x_i(n) è la posizione della particella dopo n urti.

Per l’ipotesi 1, la posizione della particella dopo l’n-esimo punto differisce da quella dopo l’(n-1)-esimo urto per ±δ: x_i(n) = x_i(n − 1) ± δ.

La media della posizione su tutte le N particelle è definita come <x(n)> = 1/N ∑_i=1^N x_i(n), ma può essere calcolata anche come: <x(n)> = 1/N ∑_i=1^N [x_i(n − 1) ± δ] = 1/N ∑_i=1^N x_i(n − 1) = <x(n − 1)>, che corrisponde quindi alla conseguenza 1.

In media, per misurare quante particelle si sono disperse dopo l’urto, si usa la media quadratica dello spostamento: <x²(n)> = 1/N ∑_i=1^N x_i²(n).

Che può essere calcolata come <x²(n)> = 1/N ∑_i=1^N [x_i(n − 1) ± 2δx_i(n − 1) + δ²] = <x²(n − 1)> + δ².

Poiché al tempo 0 tutte le particelle sono nell’origine: <x²(0)> = 0, il procedimento iterativo dà quindi <x²(n)> = nδ². E siccome un urto avviene mediamente dopo un tempo τ, n = t/τ, e infine abbiamo: <x²(t)> = nδ² = (t/τ)δ² = (δ²/τ)t.

Essendo il coefficiente di diffusione D = δ²/2τ, <x²> = 2Dt.

Ipotizziamo un recipiente a una temperatura T, in cui viene inserito dell’inchiostro in un angolo, che inizia ad espandersi. Dopo un certo tempo si espande fino ad essere uniforme, ma in quel caso il centro di massa si troverà al centro, si è quindi spostato. Non viene quindi rispettata l’ipotesi 2, per cui la probabilità di andare a destra o a sinistra è la stessa, cioè 50%, non viene rispettata perché ci sono le pareti.

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p(x,t) è una gaussiana che rappresenta la probabilità di una particella di trovarsi in una certa distanza a un certo tempo.

Per cui, da |x(t)|² = 2D ∗ t si ha la dimostrazione del fatto che maggiore è la distanza, più tempo ci vuole per percorrerla.

Inoltre, se allora, dall’equazione precedente v = |x(t)|/t, quindi x²(t)/2D = t e v = 2D/|x(t)|.

Tempi di diffusione unidirezionale in soluzione acquosa.

Legge di Fick

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Definiamo il flusso J come il numero di moli che attraversa un’unità di superficie nell’unità di tempo.

Se Δx è il libero cammino medio tra gli urti con molecole del solvente, Δt è il tempo medio tra gli urti e A una generica estensione di superficie attraversata (perpendicolare al piano del disegno):

Dove c è la concentrazione, e dc(x)/dx è il gradiente di concentrazione.

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Soluzione dell’equazione della diffusione, partendo dal soluto concentrato nel punto x=0 al tempo iniziale.

Relazione tra resistenza viscosa e coefficiente di diffusione

Relazione di Einstein-Smoluchowski: D = kBT/γ.

Dalla legge di Stokes: D = kBT/(6πηr), anche della relazione di Stokes-Einstein.

Con quest’ultima relazione, si può avere una stima del coefficiente di diffusione D per oggetti con raggio r.

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La membrana cellulare

La membrana cellulare è una barriera selettiva, ovvero permette l’accesso solo ad alcune sostanze, che separa l’ambiente intracellulare da quello extracellulare, garantendo il mantenimento di un ambiente interno costante e allo stesso tempo permettendo gli scambi di nutrienti, gas, energia e informazioni necessari alla vita cellulare.

In questo contesto, un concetto fondamentale è quello dell’omeostasi, cioè l’insieme dei meccanismi che consentono di mantenere una situazione stabile, sebbene lontana dall’equilibrio termodinamico. Una cellula non in equilibrio termodinamico con l’ambiente è morta.

La membrana è formata da un doppio strato fosfolipidico, con una testa polare e una coda apolare. La molecola ha quindi una regione polare idrofilica, e una apolare che è invece idrofobica.

Un esperimento diretto che ha mostrato come la membrana cellulare sia formata come base da un doppio strato fosfolipidico, è l’esperimento di Gorter e Grendel, che dimostrarono che i lipidi estratti per lisi osmotica dagli eritrociti, una volta lasciati diffondere sulla superficie dell’acqua di una capsula e compressi in modo da formare un monostrato continuo, occupavano una superficie doppia rispetto a quella dei globuli rossi di partenza.

Questa osservazione portò alla conclusione che i lipidi fossero disposti a doppio strato nella membrana degli eritrociti.

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Il modello della membrana è il modello del mosaico fluido, che prevede che i fosfolipidi che la compongono siano liberi di muoversi. Nella membrana ci si trovano, oltre molecole tipo colesterolo o altre di supporto e stabilizzazione della molecola, anche delle proteine, che possono essere estrinseche o intrinseche, che penetrano più in profondità e riescono ad attraversare la membrana, presentando un canale acquoso in cui si possono muovere gli ioni.

I fosfolipidi possono muoversi facilmente nel piano della membrana. Si può avere, con frequenza elevata, flessione delle code, o in maniera molto meno frequente, uno scambio di foglietto (superficie). Esistono degli enzimi che sotto determinate condizioni fisiologiche favoriscono il movimento.

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Questo modello è stato verificato attraverso un esperimento: vengono prese cellule di topo con degli antigeni (sostanze che, introdotte nel sangue o nei tessuti, provocano la formazione di anticorpi) di membrana (delineano l’identità della cellula) che si possono legare ad anticorpi con fluorescenza rossa.

Fluorescenza: se si hanno dei fotoni, questi possono far fare un salto energetico. Questa differenza di energia può essere restituita quando fa un salto all’indietro. La fluorescenza si ha quando lo ione ha assorbito il fotone, e si è dissipata energia.

Nell’esperimento, le cellule di topo si fondono con cellule umane aventi antigeni di membrana, che si legano ad anticorpi con fluorescenza verde. Gli anticorpi si mescolano rapidamente nella cellula di fusione, dimostrando la mobilità laterale delle proteine di membrana.

Dal punto di vista fisiologico, ci si chiede quali sostanze e come possono attraversare il doppio strato fosfolipidico:

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Si distinguono i trasporti passivi, che non necessitano di energia metabolica, non è ottenuta quindi da consumo di ATP. Si fanno passare sostanze da dove è più concentrata a dove lo è meno: si consuma quindi energia potenziale. Tra questi si ha la diffusione semplice, che avviene secondo gradiente di concentrazione, non è saturante e non selettiva. Tra queste sostanze vi sono le sostanze lipofile, cioè che stanno bene nel doppio strato fosfolipidico.

Un vantaggio di mediare il passaggio di acqua attraverso il doppio strato fosfolipidico o attraverso proteine di membrana che facilitano il passaggio, è che se l’acqua passasse in maniera normale, la cellula avrebbe il limite di non essere modulabile: se c’è un gradiente osmotico l’acqua passa; se ci sono delle proteine, la cellula può modulare la facilità di passaggio dell’acqua.

Un altro esempio di diffusione passiva è quella dei canali ionici, in cui il gradiente è ora uno che tiene conto del coefficiente di diffusione, e delle differenze di potenziale elettrico. Anche questi canali ionici possono essere selettivi, anche per uno specifico ione, o far passare ioni più o meno di dimensioni simili.

Poi si ha la diffusione facilitata, per sostanze che non riuscirebbero a passare, e anche nei canali ionici passerebbero con difficoltà, in cui le molecole di acqua sono dei dipoli che si coordinano attorno allo ione, e passano facilmente attraverso il canale ionico. Avviene attraverso proteine che espongono la sostanza nell’altro lato della membrana.

I trasporti attivi avvengono contro gradiente, e consumano ATP. Un esempio è la pompa sodio-potassio.

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Diffusione di molecole neutre attraverso la membrana

Si considera il caso monodimensionale. Lo spessore della membrana sarà S = X2 − X1. La linea obliqua indica la variazione di concentrazione della sostanza all’esterno della membrana.

Il flusso del soluto J si può calcolare integrando l’equazione di Fick J = −D d[c]/dx attraverso la membrana, misurando il flusso in moli/unità di superficie/unità di tempo.

Considerando uno stato stazionario, J è indipendente da x e può quindi essere portato fuori dal segno di integrale:

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Uno stato stazionario in queste condizioni non può durare a lungo, ma si studia un tempo molto breve per cui si può dire che il flusso non è cambiato. Si può quindi dire che in uno stato stazionario, J non dipende dallo spazio, ed è quindi indipendente da x.

La relazione che lega [c]_m a [c]_is è data dalla tendenza di una sostanza di stare in un ambiente acquoso o fosfolipidico, e questa tendenza è detta coefficiente di ripartizione k = [c] nella fase oleosa/[c] nella fase acquosa.

Il coefficiente di permeabilità sarà P = Dk/s, con dimensione della velocità.

Anche nella pratica c’è una relazione quasi lineare tra il coefficiente di permeabilità e il coefficiente di ripartizione olio/acqua.

Il flusso totale non va in una sola direzione, ma è la somma tra un flusso più debole che va da dove ho minore concentrazione a dove ne ho maggiore, e uno più forte che va al contrario.

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Se la diffusione di una sostanza da un compartimento all’altro può avvenire anche attraverso pori che possono unire ambienti intra e extra cellulari, o intracellulari tra due cellule diverse, si può comunque approssimare dicendo che il flusso avviene secondo la legge di Fick integrata, però il coefficiente di permeabilità non dipende più da k, ma dalla grandezza dei pori, e dalle sue caratteristiche.

Nell’equazione di Fick non c’è virtualmente un limite al flusso diffusivo, che cresce linearmente e con l’aumentare della differenza di concentrazione. Questo però non è più vero quando le concentrazioni sono tali per cui il movimento di una molecola è ostacolato dalle altre. Tuttavia, per concentrazioni di soluti in ambito fisiologico la relazione si considera valida.

Flusso d’acqua: osmosi

Allo stesso modo, così come le sostanze possono attraversare la membrana e diffondersi all’interno, anche l’acqua può farlo. Questa segue il proprio gradiente di concentrazione, opposto a quello di tutti i soluti presenti nella soluzione.

La somma della concentrazione dei soluti è detta osmolarità.

Si definisce pressione osmotica π e siccome la concentrazione è il numero di moli per litro, allora.

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Quindi attraverso la membrana permeata dall’acqua, si sviluppa una differenza di pressione osmotica e un flusso d’acqua.

Se la membrana è permeabile sia all’acqua sia a uno dei soluti presente nella soluzione, aumentando la concentrazione di tale soluto in uno dei due compartimenti, si aumenta l’osmolarità di quel compartimento.