Appunti esame Elettronica

Sistema di rappresentazione dei numeri con binario

1) Rappresentazione dei numeri naturali

Rappresentazione numeri naturali: con N bit, il range dei numeri che posso rappresentare va da 0 a 2^N-1; numero di bit di cui ho bisogno per rappresentare N numeri: K bit, dove N = 2^K.

Da binario a decimale: 101101 = 1 · 2⁵ + 0 · 2⁴ + 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45.

Da decimale a binario: 45:2 resto 1; 22:2 resto 0; 11:2 resto 1; 5:2 resto 1; 2:2 resto 0; 1:2 resto 1. La rappresentazione binaria va riportata al contrario, da LSB a MSB: 45 = 101101₂. Mi fermo quando ottengo come risultato 0.

Operazioni con numeri naturali

• Somma: 00101 + 00101 = 01010; con resto si procede bit per bit.
• Moltiplicazione: numero moltiplicato per un bit; sommo i risultati parziali e ottengo un numero fino a N bit.
• Shift a sinistra e destra: X · 2^a = numero originario X shiftato di a posizioni; Y = numero shiftato. Lo shift a sinistra/destra sposta i bit.
• Distanza di Hamming: corrisponde al numero di posizioni alle quali i bit sono diversi.

Esempio: A = 1111, B = 1001, C = 0110. dH(A,B) = 2; dH(A,C) = 3; dH(B,C) = 4.

2) Rappresentazione dei numeri interi

Rappresentazione dei numeri interi: esistono 2 tipologie di rappresentazione.

a) Modulo e segno: un bit dedicato al segno, il bit N-1. Numeri positivi: bit di segno = 0; numeri negativi: bit di segno = 1. Range: [-(2^N-1-1), 2^N-1-1]. Esempio con N = 5: i valori vanno da -15 a +15.

Problemi della rappresentazione in modulo e segno: lo zero si rappresenta in 2 modi, ad esempio 0000 e 1000; inoltre non funziona direttamente la somma.

b) Complemento a 2: il MSB vale -2^N-1. Quindi, se il MSB = 0, il numero è positivo; se il MSB = 1, il numero è negativo.

Esempio: 10110 = -2⁴ + 0 · 2³ + 1 · 2² + 1 · 2¹ + 0 · 2⁰ = -16 + 0 + 4 + 2 + 0 = -10. Range: [-2^N-1, 2^N-1-1].

Operazioni con complemento a 2

Rappresentazione di segno binario opposto del numero. Procedimento:

• Inverto i bit.
• Sommo 1.

Esempio: voglio -7 con 4 bit. 7 = 0111. Inverto i bit: 1000. Sommo 1: 1000 + 1 = 1001. Quindi -7 = 1001.

Il complemento a 2 rappresenta tutti i numeri con una sola rappresentazione dello zero e permette sempre la somma.

Sottrazione: A - B = A + (-B), ottenendo -B invertendo i bit di B e sommando 1.

Overflow: si ha quando sommo tra loro due numeri con lo stesso segno e ottengo un risultato con segno opposto.

Soluzione ed estensione da N a M bit: aggiungo il bit MSB tante volte quante mi servono per arrivare a M bit.

Esempio: N = 4, voglio -7 con 8 bit: 1001 diventa 11111001. Esempio: N = 4, voglio 7 con 8 bit: 0111 diventa 00000111.

3) Rappresentazione dei numeri razionali

Rappresentazione a virgola fissa: viene dedicato un numero di bit alla parte intera e un numero di bit alla parte frazionaria.

Da decimale a binario: separo parte intera e parte frazionaria.

36,47₁₀: parte intera come numeri naturali, divisione per 2. 36:2 resto 0; 18:2 resto 0; 9:2 resto 1; 4:2 resto 0; 2:2 resto 0; 1:2 resto 1. Quando ottengo 0 mi fermo e scrivo al contrario: 100100.

Parte frazionaria: invece di dividere, moltiplico per 2. Se il numero inizia con 1, sostituisco la parte intera con 0 e procedo. Dopo aver ottenuto il numero con la virgola, mi fermo quando ho ottenuto abbastanza parti. Scrivo le parti ottenute in ordine.

0,47 · 2 = 0,94; 0,94 · 2 = 1,88; 0,88 · 2 = 1,76; 0,76 · 2 = 1,52; 0,52 · 2 = 1,04; 0,04 · 2 = 0,08. La parte frazionaria ottenuta è 011110. Quindi 36,47₁₀ = 100100.011110₂.

Da binario a decimale: prima della virgola uso le potenze positive di 2; dopo la virgola uso le potenze negative: 2^-1, 2^-2, 2^-3 e così via.

Problemi della virgola fissa: la dinamica è limitata.

4) Rappresentazione dei numeri reali

Rappresentazione a virgola mobile: N = M · 2^E, dove M = mantissa ed E = esponente.

Vengono specificati 3 parametri: precisione P, cioè il numero di bit che ha la mantissa; esponente massimo EMAX, numero che sommato all’esponente vero serve per avere il campo esponente; esponente minimo EMIN.

Forma normalizzata: la mantissa viene scelta sempre nella forma 1,xx... . Per l’esponente si usano i bit E; per la mantissa i bit P. In generale: EMAX = 2^E-1-1; EMIN = 1-EMAX.

Formati floating point:

Nota: 8, 11, 16, 32; E + P + segno = numero totale di bit nel formato.

Conversione da decimale a binario in floating point

Da decimale a binario: 36,47₁₀, P = 23 bit, E = 8 bit, S = 1 bit.

1) Scrivo in binario parte intera e frazionaria. Parte intera: 36:2 resto 0; 18:2 resto 0; 9:2 resto 1; 4:2 resto 0; 2:2 resto 0; 1:2 resto 1; quindi 100100.

Parte frazionaria: 0,47 · 2 = 0,94; 0,94 · 2 = 1,88; 0,88 · 2 = 1,76; 0,76 · 2 = 1,52; 0,52 · 2 = 1,04; 0,04 · 2 = 0,08; quindi 011110. Risultato: 100100.011110.

2) Sposto la virgola per avere la mantissa nella forma 1,xx...: 100100.011110 = 1.0010001110 · 2⁵. Mantissa: 0010001110.

3) Scrivo l’esponente polarizzato in binario: Epol = 127 + 5 = 132₁₀. 132:2 resto 0; 66:2 resto 0; 33:2 resto 1; 16:2 resto 0; 8:2 resto 0; 4:2 resto 0; 2:2 resto 0; 1:2 resto 1. Quindi 132 = 10000100₂.

4) Scrivo il numero: in questo caso il numero è positivo, quindi il bit di segno è 0. Risultato: 0 10000100 00100011110...

Nota: davanti o dietro il numero aggiungo il bit per estendere, se necessario.

Conversione analogico-digitale ADC

1) Campionamento

Conversione analogico-digitale ADC: il campionamento divide l’asse dei tempi in intervalli di durata fissa. Il periodo di campionamento è Ts.

Periodo di campionamento: Ts. Frequenza di campionamento: fs = 1/Ts. Più fs è grande, più accurata è la descrizione del segnale. Si guarda il valore del segnale al tempo t = nTs.

Teorema di Nyquist-Shannon: la frequenza minima di campionamento deve essere fsmin = 2 · FMax del segnale.

2) Quantizzazione

Quantizzazione: divide l’intervallo di valori analogici in un numero finito di intervalli di ampiezza uguale. Esempio: A, 10, 34322, valori minimi e massimi.

Dato il segnale x(t), la dinamica è [Umin, UMax], dove UMax e Umin indicano i valori massimo e minimo. L’intervallo [Umin, UMax] viene diviso in intervalli uguali.

Risoluzione o ampiezza degli intervalli: dato un ADC a N bit, il numero di intervalli è 2^N. L’ADC lavora con k bit e con 2^k livelli.

La quantizzazione non è reversibile. La differenza tra valore analogico reale e valore digitale quantizzato è detta errore di quantizzazione o rumore di quantizzazione.

3) Codifica

Codifica: i segnali vengono convertiti in segnali digitali binari.

Esempio: 00 corrisponde a 0; 01 corrisponde a 1; 10 corrisponde a 2; 11 corrisponde a 3. Se il valore si trova nel pallino medio o in un intervallo, prende quello inferiore o quello corrispondente.

Conversione digitale-analogico DAC

Conversione digitale-analogico DAC: dato un segnale binario, il convertitore prende i livelli di tensione corrispondenti. Nell’intervallo [min, max] si prende un livello di tensione e si ricostruisce il segnale analogico.