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11. MOTO DELLE ONDE

Propagazione della perturbazione

Durante il moto dell’impulso lungo la corda, come in figura, ciascun

segmento elementare perturbato della corda si muove in direzione

perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda

Si noti che non vi è alcuna parte della corda che si muova nella direzione

dell’onda. Si ha un’onda trasversale quando gli elementi del mezzo

eccitato dall’onda che si propaga o dall’impulso subiscono spostamenti

nella direzione perpendicolare alla direzione di propagazione.

Si confronti questo tipo di onda con un altro tipo di onda che, come

illustrato in figura, si propaga lungo una molla in tensione.

Si muova rapidamente verso destra l’estremità libera della molla e poi la si muova, altrettanto

rapidamente, verso sinistra.

Questo movimento genera una rapida compressione di una regione della molla. La regione

compressa si propaga lungo la molla.

Si noti che la direzione della perturbazione della molla è parallela alla direzione di propagazione della

compressione. Si ha un’onda

longitudinale quando gli elementi del

mezzo attraversato subiscono

spostamenti in direzione parallela alla

direzione di moto dell’onda o

dell’impulso.

Alcune onde in natura sono caratterizzate da una combinazione di spostamenti

trasversali e longitudinali. Le onde sulla superficie dell’acqua ne sono un buon

esempio.

Quando un’onda di superficie si propaga in acque profonde, gli elementi

dell’acqua si muovono su traiettorie quasi circolari, come mostrato in Figura

La perturbazione ha entrambe le componenti, trasversale e longitudinale. Lo

spostamento trasversale osservato in Figura 16.4 è la variazione della posizione

verticale degli elementi di acqua, mentre lo spostamento longitudinale è dovuto

agli spostamenti degli elementi che si muovono avanti ed indietro nella

direzione orizzontale.

Terremoti…

Consideriamo, come in figura, un impulso che si propaga verso destra lungo una corda tesa.

La figura (a) mostra la forma e la posizione dell’impulso al tempo t = 0.

A quest’istante la forma dell’impulso, qualunque essa sia, può essere rappresentata da una funzione

y(x,0) = f (x).

Questa funzione descrive lo spostamento verticale y di un generico elemento della corda che si

trova, al tempo t = 0, in posizione x.

Poiché la velocità dell’impulso è v, in un tempo t l’impulso si è spostato verso destra di una distanza vt

Supponendo che con il tempo la forma dell’impulso non cambi, al tempo t la forma dell’impulso è

la stessa di quella al tempo t = 0

Di conseguenza, un segmento elementare della corda in x a questo tempo ha la stessa posizione y

che un segmento elementare posto in x-vt ha avuto al tempo t = 0:

In generale, allora, possiamo rappresentare lo spostamento trasversale y per

tutte le posizioni e

tempi misurati in un sistema di riferimento fermo con l’origine in O, come

In modo analogo, se l’impulso si propaga verso sinistra, lo spostamento

trasversale dei segmenti elementari della corda è descritto da

La funzione y, chiamata di solito funzione d’onda, dipende dalle due variabili x

e t.

La funzione d’onda y(x, t) rappresenta la coordinata y– lo spostamento

trasversale – di un qualsiasi segmento elementare che si trova in posizione x

ad un qualunque istante t.

Inoltre, se t è fissato, (come, per esempio, nel caso in cui si prenda una

“istantanea ”dell’impulso), la funzione d’onda y(x), a volte chiamata forma

d’onda, descrive una curva che rappresenta la forma geometrica dell’impulso

in quell’istante.

ONDA PROGRESSIVA

L’onda sinusoidale è l’esempio più semplice di un’onda periodica continua e può essere utilizzata, per

costruire onde più complesse. La curva marrone della figura rappresenta un’istantanea, al tempo t =

0, dell’onda sinusoidale, mentre la curva blu rappresenta un’istantanea dell’onda ad un tempo

successivo t.

Si può immaginare che siano due i tipi di moto che possono avvenire:

1. tutta la forma d’onda della figura che si muove verso destra, in modo

tale che la curva marrone, muovendosi verso destra, si sovrapponga

alla curva blu; questo è il moto dell’onda

2. si osserva un elemento del mezzo, come quello in x = 0, questo si

muove su e giù lungo l’asse y di moto armonico; questo è il moto

degli elementi del mezzo.

Con l’introduzione del concetto di onda, si sviluppa un nuovo modello

semplificato, l’onda, che permette, insieme agli altri modelli di analisi, di

risolvere i problemi. Un punto materiale ideale non ha dimensioni ma è

possibile immaginare un corpo fisico, con dimensioni definite, come una

combinazione di punti materiali.

Quindi, il punto materiale può essere considerato come il mattone

fondamentale. Un’onda ideale ha una sola frequenza ed è infinitamente

lunga; cioè, l’onda si estende attraverso tutto l’Universo.

Modello di analisi onda progressiva: Questo modello viene utilizzato nel

caso in cui un’onda

si propaghi attraverso lo spazio senza interagire con altre onde o corpi.

La figura (a) mostra l’istantanea di un’onda che si propaga in un mezzo. Uno

dei punti di figura (a),

dove lo spostamento verticale dell’elemento dalla posizione non perturbata

raggiunge il valore

massimo, si chiama cresta dell’onda; quello dove lo spostamento raggiunge il

valore minimo si

chiama valle.

La distanza fra una cresta e quella successiva è chiamata lunghezza d’onda λ (lettera greca lambda).

La figura (b) è il grafico della posizione di un elemento del mezzo in funzione del tempo.

Il periodo T dell’onda si misura contando, in un punto qualunque dello spazio, il numero di secondi

che intercorrono fra gli arrivi di due creste adiacenti.

Per dare la stessa informazione del periodo viene più spesso utilizzato l’inverso del periodo,

chiamato frequenza f:

Si consideri l’onda sinusoidale di figura (a), che illustra la forma dell’onda a t = 0. Poiché l’onda è

sinusoidale, ci si deve aspettare che la funzione d’onda in quest’istante si esprima come y(x,0)=A sin

ax. dove A è l’ampiezza ed a è una costante da determinare.

Possiamo esprimere la funzione d’onda armonica in una forma più conveniente definendo altre due

quantità, numero d’onda angolare k (comunemente chiamato semplicemente numero d’onda, può

essere pensato come il numero di oscillazioni nell’unità di lunghezza) e la pulsazione (o

frequenza angolare) ω:

Onde sinusoidali sulle corde

Come possiamo fare per creare un treno di impulsi anziché un