Appunti ed esercitazioni del corso di Calcolo numerico

Revisionato il 10/09/2026

di angel.c

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Appunti ed esercitazioni del corso di Calcolo numerico. Nel file è presente la parte teorica del corso con le esercitazioni che sono state svolte nel corso delle lezioni. Sono presenti …

Esame Calcolo numerico

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. De Marchi Stefano

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2022-2023

52 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Simboli di Landau

"O piccolo"

Osservazione: Si osserva che f(x) = o(1) per x→0.

Generalizzo e ottengo la definizione.

Def. di "o piccolo": Sia x₀ ∈ ℝ punto di accumulazione per dom f non dom g (con g(x) ≠ 0 sempre per x→x₀) f(x) = o(g(x)) ⟷ (lim _x→x₀ f(x) / g(x) = 0.

Se f e g sono entrambe infinitesime (o infinite) per x→x₀, f(x) = o(g(x)) significa che f è un infinitesimo (rsp. infinito) di ordine superiore rispetto a g(x).

Esempi:

X³ = o(x²) per x→0
X² = o(x³) per x→+∞
X² = o(2^x) per x→+∞

"O grande"

Def. di "O grande": x₀ ∈ ℝ di accumulazione per dom f ndom g (g(x) ≠ 0 sempre) f(x) = O(g(x)) ⟷ lim _x→x₀ f(x) / g(x) = c x→x₀ f(x) / 1 = f(x) 0 f è limitata.

Anche per "O grande" valgono le seguenti proprietà:

O(c O(x)) = O(cx) ∀ c ∈ ℝ \ {0} (o . O(cx) = 0)
X β o(cx) = o(x α + β)
O(x β) o(cx) = O(x α + β) (f ≠ 0)
O(O(x¹)) = O(x¹) perché se f(x) = o(cx¹) h = o c(x¹α) f(≠0) h = o O(cx¹))
O(x α) O(cx β) = o(cx α) ær=min{α,β} x→0+ o(x α) + o(x β) = o(x α) ær=max{α,β} x→+∞

"Asintotico"

Def. di asintotico: f(x)∼g(x) x→x₀ se lim _x→x₀ f(x) / g(x) = Δ.

Esempi:

Sin x ∼ x x→0
Tan x ∼ x x→0
1 - cos x ∼ (0 x²) x→0
Sin (x / x²) = O(x) x→0 lim _x→0 x sin 1/x sin Δ / x² che è limitata

Simboli di Landau

"O piccolo"

Osservazione: Si osserva che f(x) = o(1) per x → ∞.

Generalizzo e ottengo la definizione.

Def. di "o piccolo": Sia x_o ∈ ℝ punto di accumulazione per dom f f(x) = o(g(x)) ⟺ (lim_{x→x_o} f(x)/g(x) = 0.

Esempi:

X sin(1/x²) = o(x²) per x → 0
X² = o(x³) per x → +∞
X² = o(2^x) per x → +∞

"O grande"

Def. di "O grande": x_o ∈ ℝ di accumulazione per dom f f(x) = O(g(x)) ⟺ lim_{x→x_o} f(x)/g(x) = c < +∞.

In particolare f(x) = O(1) lim_{x→x_o} f(x)/1 = f(x) < +∞ ∀ x_o f è limitata.

Anche per "O grande" valgono le seguenti proprietà:

O(c(x)) = o(c(x)) ∀ c ∈ ℝ \ {0}
X² o(x^α) = o(x^α+β) (f ≠ 0)
O(x^β o(x^γ)) = O(x^α+β)
O(c o(x^d)) = o(x^γ) perché se f(x) = o(c x^α)
O(x^α o(x^β)) = O(c x^θ) θ = max {d, β}, x → +∞

"∼ asintotico"

Def. di asintotico: f(x) ∼ g(x) x → x_o se lim_{x→x_o} f(x)/g(x) = 1.

Esempi:

Sin x ∼ x x → 0
Tan x ∼ x x → 0
1 - cos x ∼ (x²)/2 x → 0
X sin(4/x) ∼ (4/x) x → ∞
Lim_x→0 x sin(1/x) x → 0
Lim_x→∞ sin 4/x ∼ che è limitata

Errori

Siano x,y due numeri, valori.

Errore assoluto |x-y|.

Errore relativo x ≠ 0 x ≠ 0 |x-y|_{Errore rispetto ad x} |x-y|_{Errore rispetto ad y}.

Troncamento e arrotondamento

Troncamento: Supponiamo di avere t cifre, con il troncamento si considerano solo t cifre e dalla t+1-esima si tagliano.

p = 0,758₉₁₂ t = 3 p̃ = 0,758 → troncato.

Arrotondamento: t cifre, allora la t+1-esima cifra della mantissa rompo S e poi opero come prima.

p = 0,758₉₁₂ p̂ = 0,759 → arrotondato.

Esempio: p = 0,758512 p̂ = 0,759.

Perché l’arrotondamento è preferibile?

Δ = ± ρN⁹ Δ̂ = ± ρ̄N⁹.

(i) Usando t cifre se p₄ e p₂ sono due mantisse consecutive |p₄-p₂| = N⁻t.

Esempio: p₄ = 0,543₂ p₂ = 0,5433 |p₂-p₄| = 0,0001.

(ii) Se p₄ Errore di troncamento: |a-ã| = |p-ṗ|N⁹ Errore di arrotondamento: |a-3̄| = |p-p̂|N⁹ commenti metà dell'errore del troncamento quello di arrotondamento.

Troncamento: |a-ã| |a| ⁴-tpoiché N⁹⁻⁴ ≤ |a| Errore relativo di troncamento e arrotondamento.

Arrotondamento: |a-3̄|/|a| ≤ 4

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