Appunti domande orali di Idraulica applicata

Oscillazione di massa:  2

Nel sistema galleria-pozzo piezometrico di un impianto idroelettrico descrivi le:  Ωp    Ωp   ̇ ̇ → +     + =   +  +   = 

Equazioni fondamentali

Equazioni Fondamentali, soluzioni in presenza e in assenza di resistenze. 2      Ωg 

Precisare in maniera esaudiente le condizioni al contorno in entrambi i casi. Equazione oscillatore armonico smorzato.

Senza resistenze e sotto queste condizioni, abbiamo:  =  → è  = { ̇ = ˳ ; A = Z max = massima ampiezza delle oscillazioni  =   Ωg ̥  Ω = ˳  = =  con Ωp Ω 

Oscillazioni che l’acqua subisce nel momento in cui si ha una chiusura improvvisa della valvola tra pozzo e condotta (2). Il periodo dipende solo dalla grandezza delle sezioni e dalla lunghezza della condotta, sia con attrito che senza.

Dopo la chiusura, l’acqua si sposta velocemente dalla galleria al pozzo alzando la quota del pelo libero di quest’ultimo.

Dopo di che l’acqua riscende per la gravità e così comincia a oscillare.

Ipotesi

• Presenza di oscillazioni elastiche (periodo delle oscillazioni maggiore del tempo di produzione delle onde). Ω = 
• Moto permanente Sezione invariata →  = 
• Fluido incomprimibile → → =   = 
• L’equazione di continuità:   =  ≠e

Supponendo l’ipotesi del moto in blocco per la portata uscente     J= − −

L’equazione del moto diventa: Successivamente, integrando tra 1 e 2    in figura si ha:        = ∫ −   − ∫  −→  −  = − − ∫     

Con L = Lunghezza galleria, H1 – H2 = Z     +  +  = 

L’equazione del moto è quindi:    

Trovo U attraverso l’uguaglianza tra il volume che in attraversa una sezione della galleria (V1)  e quello immagazzinato nel pozzo (V2). Perciò si ha:     −→ = =  −→  =    

Colpo d’ariete

Colpo d’ariete: - Imbocco (B) (x = L) H = H˳ →    dove = grado di apertura dell’otturatore - Sbocco (A) (x = 0) → =   =

A partire dalle eq. semplificate del colpo d’ariete, stimare il massimo sovraccarico e la massima ˳ ˳ ˳ sovrapposizione nella sezione di sbocco nel caso di:

• Manovra brusca (Joukoski);
• Manovra lente (Allevi-michard).

Ipotesi di Allevi-Michaud

Specificando le ipotesi semplificative che sono alla base del calcolo.

Per manovre brusche ricavare la persistenza della massima sovrapposizione nella sezione di sbocco e la lunghezza del tratto di condotta interessato dalla massima sovrapposizione. - H = Hmax per  =   =  - U(t) decresce linearmente nel tempo

Considero perciò un punto 1 con e H1 = Hmax:  = 

Ipotesi semplificative

• Si considerano le derivate convettive trascurabili rispetto alle derivate locali;   sono due triangoli simili: Dove: U˳U1P e U˳0= 
• Si considera trascurabile la variazione di densità dovuta a variazioni di quota: 
• Si considerano trascurabili le resistenze:  ≅ ;

1) Una manovra brusca avviene in un tempo è il tempo che impiega l’onda (diretta +   . contraccolpo) a tornare da dove è partita, si chiama tempo di fase ed è θ  = 

Dato che allora h nella sezione di sbocco A è nulla (h = 0). Perciò le equazioni già integrate  <  sono:   − ˳ =    − 

Sottraendo la seconda dalla prima otterrò: {   − ˳ = − [   − ]   questa è l’equazione che descrive l’andamento del sovraccarico.  − ˳ =  − ˳ 

Quindi →˳ ˳ ˳−  ∶  = ˳ ∶  −  ∶  = ˳ ∶  ˳ −  = 

Nel momento in cui la sezione è completamente chiusa, U = 0, l’equazione assume valore  = . In conclusione dalle eq. già integrate si ha: . Quindi si ha massimo sovraccarico nella sezione massimo, si scrive quindi: ˳ − ˳ =     

A che permane per . che scritto in termini di pressioni diventa:  ≤  ≤   −→ ˳ =˳ −   − ˳ = − ˳ =     

In termini di pressione diventa: poiché Z = 0 in A ho:  =  + =    Formula Allievi-Michaud.  − ˳ =  ˳

Si ha Formula di Joukoski che indica la sovrapposizione massima.  − ˳ =   ˳ 

L’equazione vale anche per tutti gli che soddisfano la condizione di manovra brusca, cioè:  ≠ ; Perciò il tratto di condotta in cui persiste si trova uguagliando:  <  ≤    

Ottengo quindi →  = −  =   

2) Una manovra lenta avviene invece in un tempo. Considero le eq. già → ≥   =  integrate:   −    −  − ˳ =    −  

Imponiamo le condizioni al limite nella sezione di imbocco e {    − ˳ = − [   −  +    +  ]    sbocco: ARIETE 2 Ω .

Ariete 2

Esprimiamo in funzione di Considero il comportamento elastico (con modulo E) della   condotta.

A partire dall’equazioni di continuità del moto delle correnti, ricavare, utilizzando le ipotesi Eq. di MARIOTTE: classiche, le equazioni semplificate del colpo d’ariete, nonché la struttura monodimensionale della soluzione.    ∂Ω  Ω  Ω ΩD ℎ, → =  =  = = =  so che:

Discutere il significato fisico delle funzioni che descrivono l’onda diretta e l’onda di contraccolpo.    Ω      

Spiegare quali sono le corrette condizioni di contorno. Utilizzo queste formule nell’equazione di continuità:   Ω ΩD 

Studiando il caso semplice con condotta a caratteristiche costanti, ovvero spessore e materiali   Ω ΩD  Sapendo che  +  +  =   =  + costanti, ci sono 3 ipotesi di semplificazione del colpo d’ariete.   ˳  ℎ   Ω  ℎ Ω ΩD

• La densità non dipende da