Distribuzioni e intervalli di confidenza
Distribuzione di Poisson
La distribuzione di Poisson si utilizza per variabili quantitative discrete e per eventi distribuiti casualmente nel corso del tempo. È molto utilizzata in ambito medico e biologico per la conta di globuli rossi su vetrini o batteri su piastre.
Un fenomeno può essere descritto dalla distribuzione di Poisson quando la variabile è indipendente dall'intervallo di tempo (quindi il verificarsi del primo evento in un intervallo di tempo non influenza il verificarsi di un secondo evento nello stesso intervallo), quando la probabilità che si verifichino più eventi in una parte infinitamente piccola dell'intervallo è trascurabile e quando la probabilità di un evento nell'intervallo è direttamente proporzionale alla grandezza dell'intervallo (più è grande l'intervallo, più è probabile che si verifichi l'evento).
La funzione della distribuzione di Poisson è data da: f(x)=e-λ λx/x! n di elementi di cui si vuole conoscere la probabilità e: 2,7. λ è il parametro che corrisponde alla media (nella distribuzione di Poisson media e deviazione standard coincidono, quindi λ=μ=σ;).
Inoltre, è possibile approssimare la distribuzione di Poisson a quella binomiale quando n→∞ e ρ ≅ 0.
Distribuzione binomiale
Anche la distribuzione binomiale è utilizzata per variabili discrete.
Essa può essere utilizzata quando ogni prova presenta due possibili risultati, ovvero il successo (p) e il fallimento (q→p-1) (mutualmente esclusivi).
Ogni prova, inoltre, dev'essere indipendente dall'altra (il verificarsi di una non influenza il verificarsi dell'altra). Esempio: vogliamo calcolare la probabilità di successo e di fallimento della prova, come complesso, su 8 tentativi in condizioni come complesso.
Distribuzioni e intervalli di confidenza
Distribuzione di Poisson
La distribuzione di Poisson si utilizza per variabili quantitative discrete e per eventi distribuiti casualmente nel corso del tempo. È molto utilizzata in ambito medico e biologico per la conta di globuli rossi sui vetrini o batteri sulle piastre.
Un fenomeno può essere descritto dalla distribuzione di Poisson quando la variabile è indipendente nell'intervallo di tempo (quindi il verificarsi del primo evento in un intervallo di tempo non influenza il verificarsi di un secondo evento nello stesso intervallo), quando la probabilità che si verifichino più eventi in una parte infinitamente piccola dell'intervallo è trascurabile e quando la probabilità di un evento nell'intervallo è direttamente proporzionale alla grandezza dell'intervallo (più è grande l'intervallo, più è probabile che si verifichi l'evento).
La funzione della distribuzione di Poisson è data da: f(x) = λx/x! × e-λ n di elementi di cui si vuole conoscere la probabilità.
λ è il parametro che corrisponde alla media (nella distribuzione di Poisson media e deviazione standard coincidono, quindi λ = μ = σ;).
Inoltre, è possibile approssimare la distribuzione di Poisson a quella binomiale quando n → ∞ e ρ = 0.
Distribuzione binomiale
Anche la distribuzione binomiale è utilizzata per variabili discrete.
Essa può essere utilizzata quando ogni prova presenta due possibili risultati, ovvero il successo (p) e il fallimento (q, p-1) mutuamente esclusivi.
Ogni prova, inoltre, dev'essere indipendente dall'altra (il verificarsi di una non influenza il verificarsi dell'altra).
Esempio: vogliamo calcolare la probabilità di successo e di fallimento della messa a punto di un esperimento in cui sono presentati delle condizioni, come successo e la nascita di sesso maschile come fallimento.
p = F q = 1 - p.
Nascono 5 femmine su 8 parti, quindi p = 5 e q = 8 - 5 = 3.
La funzione di distribuzione sarà data da.
Per determinare tutte le possibili sequenze si usa il calcolo combinatorio.
Nel nostro caso: la funzione diventa.
Nella distribuzione binomiale, la media μ corrisponde a μ = np, mentre la deviazione standard σ = npq oppure np(1-p).
Distribuzione di Gauss
È utilizzata per variabili quantitative continue e le sue principali caratteristiche sono: media, mediana e moda coincidono, è simmetrica intorno alla media e l'area sotto la curva è pari a 1 (100:1).
La sua funzione è.
La deviazione standard modifica l'altezza della curva (poca deviazione standard = curva stretta).
L'indice di asimmetria fornisce informazioni sulla simmetria della curva:
- λ = 0, curva normale
- λ < 0, coda sinistra più lunga
- λ > 0, coda destra più lunga
La curtosi, invece, ci indica il picco della curva:
- Curtosi = 3, curva normale
- Curtosi > 3, curva appuntita (ipernormale o leptocurtica, significa che ci sono pochi valori e sono tutti concentrati = curva leggera)
- Curtosi < 3, curva appiattita (iponormale o platicurtica, significa che ci sono tanti valori, ma sono tutti dispersi (coda pesante)
Intervalli notevoli: → μ-σ.
La distribuzione di Gauss più diffusa è quella standard, che presenta μ=0 e σ=1, perciò la sua funzione diventa Ls ¼(x)=¼1⁄√.
Intervalli di confidenza
Le misure fatte su un campione prendono il nome di stime, mentre quelle fatte sulla popolazione prendono il nome di parametri.
Più precisamente, le stime su campione sono numeri singoli quindi è più corretto parlare di stime puntuali quindi è più corretto parlare di stime puntuali. Queste vanno poi estese alla popolazione e, per farlo, bisogna prima calcolare le stime di intervallo o intervalli di confidenza, che consiste in un intervallo di valori, compreso da due limiti, entro il quale con una certa probabilità si trova il parametro da stimare, che può essere una media o una proporzione.
La formula generale è: 1-λ/text.
Viene divisa.
Se utilizzassimo livello di confidenza pari al 99.1%.
I valori sono la media.
La determinazione dell'intervallo sarà quindi data dalla formula: stima ± (fattore di correzione * errore standard).
Può essere z (se la varianza è nota) o t (se incognita).
La distribuzione t-student è molto simile a quella di Gauss, con l'unica differenza che presenta delle code più pesanti e, quindi, un'altezza inferiore.
Caratteristiche: μ=0, δ=1, simmetrica intorno alla media.
Si ottiene dalla formula della standardizzazione z = x−μ/σ, che diventa: t = (x̄−μ)/(σ/√n).
Intervallo di confidenza di una media con varianza nota
Vogliamo calcolare i valori L₁ e L₂ che con una probabilità del 95% contengono la media della popolazione.
1−α = P[L₁ ≤ μ ≤ L₂].
Dal teorema del limite centrale sappiamo che la media della popolazione è la media delle medie, la deviazione standard è data da σ/√n e la variabile z è standardizzabile tramite l'equazione z = (x̄−μ)/(σ/√n).
Perciò sostituiamo μ con la variabile standardizzata: 1−α = P[L ≤ (x̄−μ)/(σ/√n) ≤ L₂].
Ora moltiplichiamo tutto per σ/√n, perché l'incognita da trovare è μ.
1−α = P[L * (σ/√n) ≤ x̄−μ ≤ L₂ * (σ/√n)].
Isoliamo μ →, 1−2 = P[L * (σ/√n) ≤ x̄−μ ≤ L₂ * (σ/√n)].
Infine, sostituiamo L₁ e L₂ con il fattore di correzione z: 1−α = P[ x̄−z * (σ/√n) ≤ μ ≤ x̄ + z * (σ/√n)].
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