Appunti di teoria di Scienza delle costruzioni

Spostamenti rigidi piani

Spostamenti infinitesimi: μ_x = μ_x + ψ_z, μ_y = μ_y − ψ_z × x.

Traslazione e rotazione: ho bisogno quindi di 6 parametri.

Analisi della deformazione

Deformazioni elementari

y(x) = μ_o + λx x + λ_o

Elongazione

Con AB = Δs_n, AB′ = Δs′_n

• ε_n = A′B′ − AB / AB
• Medio ε_n = lim Δs′_n−Δs_n / Δs_n = ds'_n−ds_n / ds_n
• Puntuale ε_n = 0 no elongazione
• ε_n > 0 AB′ > AB allungamento
• ε_n < 0 AB′ < AB accorciamento

Scorrimento angolare

γ_nt = π / 2 Ûnt π − t + γ_nt(') = π / 2 Ûnt(')

• ϑ = π / 2 Ûint ° no c'è scorrimento
• ϑ < π / 2 ° nt si avvicinano
• ϑ > π / 2 ° nt si allontanano

Dipende dalla posizione e dalla direzione n. Dipende dalla posizione e dalle direzioni n e t. Ho bisogno quindi di conoscere 6 componenti: 3 ε e 3 γ.

ε_x = Δu₁ − Δx / Δx

ε_y = Δv₁ − Δy / Δy

ε_z = Δw − Δz / Δz

Elongazione media

• ε_x = lim u₁−u / Δx = du − dx / dx
• ε_y = lim v₁−v / Δy = dv − dy / dy
• ε_z = lim w₁−w / Δz = dw − dz / dz

Elongazione puntuale

Scorrimento medio

• γ_xy = π / 2 − ϑ°xv
• γ_yz = π / 2 − ϑ°yz
• γ_zx = π / 2 − ϑ°lz

Scorrimento puntuale

• γ_xy = lim (π − ϑ_xy)
• γ_yz = lim (π − ϑ_yz)
• γ_zx = lim (π − ϑ_zx)

Spostamenti rigidi piani

Spostamenti infinitesimi: A B → u_x x BC u₀ + Φ x

Traslazione e rotazione: ho bisogno quindi di 6 parametri.

Analisi della deformazione

Deformazioni elementari

y(x) = u₀ + Φ x + u₀ trasl. rotaz.

Elongazione

Con AB = ΔS_n, AB' = ΔS'_n

• ε_n = AB' - AB medio AB
• ε_n = lim ΔS_n - ΔS'_n = dS_n - dS'_n
• Puntuale: B → A ΔS_n dS_n dS'_n
• ε_n = 0 no elongazione
• ε_n > 0 → AB' > AB allungamento
• ε_n < 0 → AB' < AB accorciamento

Scorrimento angolare

γ^int = π2 φ_int, γ^int = lim φ^int 2π (φ_int)

• B → A, C → A
• γ_a = π - φ_int 0 non c'è scorrimento
• φ = π, γ_a > 0 e γ_a > 0 non c'è scorrimento
• γ_a = π, γ_a < 0 n e t si allontanano
• → dipende dalla posizione e dalla direzione: n
• → dipende dalla posizione e dalle direzioni: n e t

Ho bisogno quindi di conoscere 6 componenti ε e 3γ:

• ε_x = Δx - Δx / Δx
• ε_y = Δy - Δy / Δy
• ε_z = Δz' - Δz / Δz

Elongazione media

• ε_z = π - O²XY
• ε_z = π - O²Yz
• γ_zx = π - O_z

Elongazione puntuale

• ε_x = lim φ - φx, B → A, AB dx - dx, dAdA/dx
• ε_y = lim Δyd A, dA - dy
• ε_z = lim Δzd A, Δz' - dΔ/dz

Scorrimento medio

• ε_xy = π
• γ_xy = π O_XY
• γ_xy = Y

Scorrimento puntuale

• ε_xy = lim lim (ε_xy), B → A, B → A
• γ_xy = lim B → C A
• ε_xy = λ (γ_xy), B → A, B → A
• γ_xy = λ (_xy)

Tensore delle deformazioni infinitesime

Hp: corpo continuo, spostamenti infinitesimi

μ(x) funzioni continue e invertibili ⇒ cioè biunivoche

dyμ_B = μ_A + dyμ(x + dx) = μ(x) + dy = μ(x) + ∂μ(x)/∂x dx + ∂μ(x)/∂y dy + ∂μ(x)/∂z dz = μ_B

y(x + dx) - y(x) + dy/dx dx y(x) + y'(x) dx

Perchè lavoro con una funz. vettoriale

μ(x) = [u_x(x), u_y(x), u_z(x)]

dy = [ ∂u_x/∂x, ∂u_x/∂y, ∂u_x/∂z ] [ dx, dy, dz ]

Perchè lavoro con una funzione vettoriale.