Appunti di Statistica

Unità statistica e popolazione

Unità statistica: l’elemento sul quale viene effettuata la rilevazione o la misurazione di una o più caratteristiche rilevanti per il problema di studio (individuo, ente, azienda, prodotto..)

Popolazione: l’insieme di tutte le unità statistiche interessate dal problema di studio

Campione: un qualsiasi sottoinsieme della popolazione

Variabile: una caratteristica rilevata o misurata sulle unità statistiche. Possono assumere valori differenti (modalità) nelle varie unità statistiche

Variabili quantitative

Quantitativa: sono numeri reali che rappresentano un conteggio o una misurazione

• Variabili discrete -> solo valori appartenenti ai reali (1, 2, 3, …) (n° componenti famiglia)
• Variabili continue -> assumono qualsiasi valore in un intervallo reale (peso, temperatura)

Scale numeriche: possono essere ad intervallo se lo 0 della scala delle misure è convenzionale (latitudine, temperatura..) e di rapporto se lo 0 della scala delle misure è univocamente definito (età, guadagno..)

Variabili qualitative

Qualitativa: le modalità della variabile statistica sono espressioni non numeriche

• Variabili ordinali -> stringhe che possono essere ordinate (liv. di istruzione)
• Variabili sconnesse -> le modalità non possono essere ordinate in modo univoco (genere)

Scala di misura: tipo di misurazione o insieme delle modalità adottato per l’osservazione di una variabile

Campionamento non probabilistico

• Campionamento di convenienza: le unità della popolazione vengono selezionate in base al fatto che sono facili, economiche o convenienti da campionare
• Campionamento volontario: le unità della popolazione vogliono far parte del campione
• Campionamento a valanga o catena: la prima unità propone un amico, un altro amico e così via
• Campionamento con esperto: il campione viene creato da un esperto della materia che seleziona le unità del campione

Campionamento probabilistico

• Campionamento casuale semplice: tutte le unità hanno la stessa probabilità di essere selezionate
• Campionamento sistematico: dividiamo la popolazione in gruppi e facciamo una selezione casuale per ogni gruppo
• Campionamento stratificato: dividere la popolazione in 2 o più sottogruppi in base alle caratteristiche e poi per ogni sottogruppo si scelgono i campioni in base all’ampiezza dello strato
• Campionamento a gruppi (clusters): popolazione divisa in gruppi, viene selezionato un campione di gruppi e poi vengono usate le unità di questi

Statistica descrittiva e inferenziale

Statistica descrittiva: riguarda tutti quei metodi che consentono di identificare un campione, rappresentare tabelle e grafici e sintetizzare i dati raccolti

Statistica inferenziale: consente di ottenere stime, intervalli di confidenza, verifica di ipotesi ecc. Dal campione alla popolazione

Tabelle di frequenza

Distribuzione unitaria: di una data variabile l’elenco di tutti i valori osservati unità per unità (sup. pezzo)

Tabelle o distribuzione di frequenza: descrive il modo in cui una o più variabili si distribuiscono in un dato collettivo (campione o popolazione)

Grafici

• Var. quantitative -> discreta: line/stick plot
• Continua: istogramma, poligono (spezzata che unisce i pti medi), ogiva
• Var. qualitative -> sconnessa: grafico a torta
• Ordinale: diagramma a barre

Diagramma di Pareto -> barre verticali disposte in ordine decrescente di frequenza. La lunghezza della barra è proporzionale alla frequenza assoluta, relativa semplice o percentuale della modalità considerata. Nello stesso diagramma è rappresentata una linea spezzata che ne rappresenta le frequenze cumulate. Utile quando abbiamo tante modalità

Sintesi numeriche

Misure di centralità

Media aritmetica: è il valore medio più comunemente utilizzato per sintetizzare una variabile quantitativa.

Mediana: è il valore centrale di un insieme di dati ordinati in modo crescente. È il valore che si trova in posizione centrale. Può essere calcolata per variabili quantitative o qualitative purché ordinabili

Quantili: quei valori che dividono la distribuzione ordinata di una variabile quantitativa o qualitativa misurata su scala ordinale in un certo numero di parti di uguale numerosità

Moda: è la modalità della variabile maggiormente osservata

• Distribuzione uniforme -> quantili
• Distribuzione asimmetrica -> moda, mediana, quantili
• Distribuzione simmetrica -> media
• Distribuzione a forma di J -> mediana, quantili
• Distribuzione a forma di U -> quantili

Distribuzione a ridotta variabilità: le misure di tendenza centrale sono molto informative

Distribuzione a ampia variabilità: le misure di tendenza centrale sono poco informative e quelle di tendenza non centrale sono più informative

(per variabili nominali possiamo calcolare media, mediana e moda invece non possiamo calcolare varianza, coeff. di variazione, range e range interquartile)

Misure di variabilità e indicatori di forma

Variabilità: della distribuzione di una data variabile rappresenta la tendenza delle unità statistiche osservate ad assumere modalità diverse.

• Minima -> se tutte le unità statistiche presentano la stessa modalità
• Aumenta -> al crescere della diversità di modalità assunte dalle unità

Range: misura di variabilità più semplice essendo la differenza tra valori estremi (max-min). Ha la stessa unità di misura della variabile, però non tiene conto di come sono distribuiti i dati all’interno ed è sensibile agli outliers

Range interquartile: terzo quartile – primo quartile. Ha la stessa unità di misura della variabile, ma non è sensibile agli outliers.

Varianza: la varianza è la misura di variabilità più completa e informativa. L’idea è quella di catturare quanto ciascuna osservazione si discosta dal valore medio

• Varianza della popolazione -> è definita come media dei quadrati degli scarti dal valore medio
• Varianza campionaria -> dobbiamo dividere la somma degli scarti al quadrato dalla media per (n-1) piuttosto che per N

Deviazione standard: è una misura dello scostamento medio delle osservazioni attorno al valore medio

• Il valore del range, del range interquartile, della varianza e della deviazione standard, aumenta all’aumentare della variabilità
• La varianza e la deviazione standard dipendono dalla numerosità campionaria
• Quanto più i dati sono concentrati o omogenei, tanto minori risultano il range, il range interquartile, la varianza e la deviazione standard

Coefficiente di variazione: quando non è possibile utilizzare la dev. Std. per confrontare la variabilità di diverse distribuzioni (variabili diverse per natura, per grandezza o unità di misura diverse) usiamo il coeff. di variaz. Lo calcolo facendo la deviazione standard/media *100

Eterogeneità: è una misura analoga alla variabilità per dati qualitativi. Tale indice misura l’attitudine di un carattere ad assumere diverse modalità qualitative

• Minima eterogeneità -> quando tutte le modalità del carattere tranne una hanno frequenza nulla, ovvero quando tutte le unità statistiche si concentrano nella stessa modalità
• Massima eterogeneità -> quando tutte le frequenze sono uguali, ovvero quando tutte le unità statistiche si riparti