Appunti di Statistica

Teoria degli errori

Il metodo scientifico è la modalità tipica con cui la scienza procede per raggiungere una conoscenza della realtà oggettiva, affidabile, verificabile e condivisibile. Esso consiste in:

• Osservazione di un fenomeno (misure)
• Formulazione dell'ipotesi (misura e analisi dei dati) e formulazione di una teoria

In fisica (e in biologia) lo sviluppo di una teoria è legato ad una fase di misura:

• Per osservare la natura e iniziare il processo di deduzione delle sue leggi
• Per verificare le leggi ipotizzate: in questo modo sono validate (fino a una successiva controverifica) oppure confutate.

Limiti delle misure

Le misure sono soggette a dei limiti:

• Ogni misura è soggetta a errore: per errore non si intende uno sbaglio dello sperimentatore (o almeno non solo), ma un’incertezza inevitabile derivante dall’intrinseca imprecisione del processo di misura.
• La misura non è mai riproducibile esattamente: a causa, ad esempio, dell’errore insito del processo di misura stesso.
• Non sempre ciò che vogliamo misurare è direttamente osservabile: alcune grandezze possono essere misurate direttamente, altre no.

Ogni misura, quindi, conterrà un margine di incertezza; stimare l’incertezza è importante in quanto consente di capire quanto siano validi i nostri risultati. Una stima precisa non è semplice e deve tenere conto di molteplici fattori.

Definizioni di errore

• Errore accidentale/casuale: tali errori sono dovuti ad esempio al fatto che le condizioni sperimentali non sono completamente controllabili; ciò produce fluttuazioni casuali nel valore misurato. Tali errori si controllano (si stimano) e si riducono aumentando il numero di misure effettuate. Sono gli errori che praticamente si commettono ogni volta che si fa una misura (misure di più o di meno rispetto al valore giusto). Gli errori casuali si possono ridurre sfruttando il fatto che essi, ogni volta che si ripete una misura, danno un contributo diverso. E quindi ci si aspetta che se ripetiamo un certo numero di volte la stessa misura e calcoliamo la media dei risultati ottenuti, gli errori delle singole misure si compensino in qualche modo fra loro. L'errore associato al valore medio (la somma di tutti i risultati divisa per il numero totale delle prove effettuate) è infatti minore di quello di ciascuna delle misure.
• Errore sistematico: tali errori si ripetono nella stessa maniera (ad esempio misura > valore "ideale") e sono dovuti tipicamente allo strumento utilizzato o ad una tecnica di misura errata. Tale categoria di errore è più difficile da valutare e da correggere. Gli errori sistematici sono più insidiosi perché non esiste un criterio generale per combatterli. È possibile, tuttavia, individuarli e in parte correggerli ripetendo la misurazione con metodi diversi, per esempio usando strumenti differenti.
• Errore assoluto: ha la stessa dimensione della grandezza misurata (e quindi stessa unità di misura). Si indica, se la grandezza è x, con Δx.
• Errore relativo: è adimensionale in quanto rapporto di due grandezze fisiche dello stesso tipo; si ottiene dal rapporto tra l’errore assoluto e il valore misurato della grandezza (a volte è chiamato anche errore percentuale perché alla fine si moltiplica per cento e si trova una percentuale). Il risultato di una misura è sempre rappresentato come:
• Precisione di una misura: la precisione di una misura è legata all’intervallo di incertezza rapportato al valore della misura; possiamo quindi associarla con l’errore relativo. Esempio: (122±1)cm, (4130±10)kg: quale misura è più precisa? Calcolando l’errore relativo nei due casi otteniamo: (1/122)*100=1%; (10/4130)*100=0.24%. La seconda misura è più precisa. L’intervallo di errore intorno al valore della grandezza è minore.
• Cifre significative: è il numero di cifre della misura che effettivamente "hanno senso fisico": maggiore è il loro numero, maggiore è la precisione della misura. Esempio: ho ottenuto una misura con un errore di 1 cm, allora ha senso scrivere x = 132 ± 1 cm; non è invece corretto scrivere x = 132,44 ± 1 cm: non posso avere misurato cifre decimali più piccole dell'errore associato alla misura.
• Cifre significative dell’errore assoluto: per indicare il valore dell’errore assoluto si utilizzano poche cifre significative (1 o 2). Non ha senso scrivere un risultato come x = 411,211 ± 2,321 Kg: o l'errore in realtà è dell'ordine di 0,001 Kg, oppure è dell'ordine dell'unità e, quindi, la misura va scritta così: x = 411 ± 2 Kg.

Propagazione degli errori

• Misure indirette ed errore associato: sappiamo come stimare l’errore nel caso di una misura diretta, ma che cosa accade quando la grandezza fisica in esame è legata matematicamente ad una o più altre grandezze, ciascuna con il proprio errore?
• L’errore massimo associato a una grandezza fisica che è il risultato della somma, o della differenza o di una combinazione di esse, fra due o più grandezze, ciascuna misurata con la propria incertezza, si ottiene sommando gli errori delle singole grandezze F=X+Y+Z e ΔF=Δx+Δy+Δz.
• Si sommano gli errori assoluti (per la somma e la differenza di grandezze).
• Si sommano gli errori relativi delle singole misure (per moltiplicazioni e divisioni).
• Caso generale: data una generica funzione di una misura Y=f(x), l’errore assoluto di y è legato alla derivata parziale della funzione: ΔY = (df(X)/dX) •ΔX.
• Errori indipendenti e casuali: se gli errori sono tra loro indipendenti (le misure non sono influenzate da un fattore esterno comune e non si influenzano reciprocamente) per combinare gli errori si utilizza la formula di Pitagora in N dimensioni (distanza euclidea).

Misure ripetute

L’errore casuale si riduce aumentando il numero di misure effettuate di una grandezza X. Al termine della misura avremo diversi valori della grandezza X={x1, x2, x3, x4,...,xN}. Che risultato devo fornire a partire da questo insieme di misure? La migliore stima del valor vero della grandezza X è il valore medio (media) dell’insieme di misure.

• Intervallo di incertezza:
• Se si hanno poche misure (< 10) allora l’intervallo di incertezza si può calcolare come variazione massima (semi dispersione massima).
• Se abbiamo molte misure possiamo calcolare la deviazione standard: la deviazione standard indica la distanza media dei dati dal valor medio (indica lo sparpagliamento dei valori attorno a quello più probabile: se i dati seguono una distribuzione gaussiana, è possibile stimare la percentuale dei dati attesa in un certo intervallo al valore medio; ad esempio circa il 68% dei dati è atteso in un intervallo [-σ +σ] attorno al valore medio; circa il 95% in [-2σ +2σ]; circa il 99.5% in [-3σ +3σ].

Stime ed errori

Si può dimostrare che:

• La miglior stima del “valore esatto” è la media.
• La miglior stima della dispersione è la SD.
• L’errore massimo associato alla combinazione di più misure è legato alla somma tra errori, e il minimo è la somma in quadratura.

Rigetto dei dati

Durante un esperimento, alcune misure possono risultare nettamente differenti dalle altre:

• Siamo di fronte ad un sistema fortemente variabile, oppure non stiamo controllando tutti i fattori che lo caratterizzano;
• La misura è sbagliata per cause accidentali, quindi è da scartare per non pregiudicare il risultato finale.