Appunti di Scienza delle costruzioni

18111 Cap 1) Il continuo di Cauchy

È un modello che sta alla base dell’ ingegneria e dell’idraulica, che è utilizzato quasi sempre nell’ingegneria strutturale. È dunque una cosa molto pratica.

Fissiamo un sistema di riferimento xyz cartesiano ortogonale:

È un corpo materiale delimitato da una superficie chiusa che chiamiamo .to Non dobbiamo per forza intenderlo come un solido perché la superficie può essere anche una superficie virtuale: ciò che VL c’è dentro potrebbe essere anche un liquido (si può anche ✓ estendere all’idraulica).

2- dvo^ reale > significa che è un solido B .L ideale> significa che è ad esempio un liquido contenuto…..in un volume di controllo←. Parleremo sempre di un solido.

All’interno di c’è che è il volume iniziale occupato.

ho0e descrivono la “geometria iniziale” del corpo.lo0

In ogni punto è noto e definito il versore uscente E 0 normale alla superficie .NÈ

(Considero un modello non spigoloso perché così la normale è definita in tutti i punti, quindi l’oggetto è differenziabile. Questo è anche il motivo per cui un aereo non ha praticamente spigoli: deve essere progettato in modo da avvicinarsi il più possibile al modello).

Continuo

Continuo> se consideriamo un qualsiasi oggetto a scala microscopica, noi sappiamo che è costituito da molecole separate da spazio vuoto. Quindi in generale qualsiasi sistema è un discontinuo composto da atomi, molecole ecc.. Tuttavia esiste una scala macroscopica per cui il nostro oggetto può essere considerato continuo: significa che non esistono vuoti al suo interno.

Questo è importante dal punto di vista matematico perché ci consente di dire che il volume iniziale è differenziabile, e quindi esiste l’infinitesimo di volume OVO .

Il continuo è soggetto a delle forze esterne cioè è “caricato”.

Noi consideriamo solo 2 tipi di forze:

• Forze di superficie > esistono sulla superficie esterna del corpo e sono dovute dall’interazione diretta tra il corpo e l’ambiente esterno. Sono definite come forze per unità di area. Si indicano con il simbolo eto agiscono su una parte della superficie.
• Forze di volume > agiscono all’interno del corpo. Sono definite per unità di volume (es. forza peso, forza magnetica, forza d’inerzia).

Sfo -2Sfo [dominio ]) ][to ha F L( um2- comey× ,," dell'dell' Ola esempio sull' )aria laè pressione(nota aereo adl' funzione aria- vettoriale funzionel' una--

[ -3) ][]ix. [ha dominio ho FZ ung. come L

Vincoli e spostamento

Il continuo è vincolato: su una parte di superficie esterna sono messi dei dispositivi che impediscono il suo movimento.

C’è una funzione di spostamento che ci dice come si spostano quei punti:

ha SVO dominio) IL ]ix. z come U.vnNO y , .

Oss. Visto che in certi punti può essere anche 0 >>>to Sfo Suo U0 =Spostamento impresso = esempio crick dell’automobile.

Per effetto degli spostamenti e forze impresse il continuo cambia forma> non è un corpo rigido.

Io Ad un certo punto raggiunge una certa condizione di equilibrio:

O statico cioè la quantità di moto dei punti che lo compongono è ÷ nulla.

Questa condizione che raggiunge è detta “configurazione finale” 2- , ed è un’incognita del problema (perché noi non sappiamo come ÷ si deforma il nostro oggetto).

>>> il corpo che era continuo e differenziabile resta continuo eti differenziabile (non sono ammesse lacerazioni o rotture)

Abbiamo detto che SfoSf ≠OSS . stro /

Se valuto la risultante dei carichi È|Èto ds ds: ≠sto Sfjabb-tra dv dv≠

Questo significa che questo modello è molto complicato e dovremo introdurre delle semplificazioni.

Lo spostamento dei punti del continuo è descritto da una funzione:) dominioIX. haZ che 10le y come,

Se avessi una lacerazione: La funzione dovrebbe darci un doppio valore: ciò non è possibile perché una funzione associa ad una posizione un solo valore.

>>> è necessaria l’ipotesi di continuità

Cioè il punto P finisce su una fessura

NB le equazioni cardinali della statica viste in meccanica razionale valgono per i corpi rigidi, quindi per il continuo non valgono. Bisogna introdurre un postulato.

Postulato dei vincoli addizionali

Postulato dei vincoli addizionali

Se consideriamo il continuo deformabile nella sua configurazione finale (già deformato) noi possiamo immaginare che se aggiungessimo un ulteriore vincolo al nostro oggetto il vincolo non altera in alcun modo il suo stato di equilibrio.

(= se aggiungo un vincolo ad un oggetto che è già fermo, questo rimane comunque fermo)

È molto importante questo postulato perché ci consente di introdurre il “vincolo di irrigidimento” > la mutua distanza tra 2 punti che appartengono al continuo non cambia.

Questo lo posso fare solo in configurazione finale.

Il vantaggio è che se immaginiamo di irrigidire un corpo aggiungendo un vincolo una volta raggiunta la configurazione finale, possiamo utilizzare le configurazioni della statica e tutte le altre regole dei corpi rigidi, ad postulato delle reazioni vincolari.

esempio il

Siamo in configurazione finale (che è incognita) e sostituiamo ai vincoli una distribuzione di forza incognita I (= reazione vincolare in Su ed è una forza per unità di superficie).

A questo punto possiamo utilizzare le equazioni cardinali della statica che sono:

equilibrio alla traslazione

È fatichi /È Ò/[ Ò Edsds> =+- -1_• suSt equilibrio alla rotazione

È È ÌDS =3/suiIdsIdV| /✗ ✗✗+ +• , vè un equilibrio nello spazio quindici vuole il prodotto vettoriale (è un problema con infinite incognite: infiniti valori di u e di r>>>Incognite: il )IX. yit problema staticamente indeterminato)E )ix. yiz?

⃝ Vogliamo definire la sollecitazione interna, cercheremo di ottenere tutte le equazioni possibili che ci consentano di risolvere questo problema.

Per un po’ cercheremo di trarre tutte le equazioni possibili dalla configurazione finale.

Cap 2) Statica del continuo di Cauchy

Consideriamo la configurazione finale del continuo, in una situazione di equilibrio.

Io Immagino di trovare un punto P all’interno del continuo e di far passare per questo punto un piano caratterizzato da una certa giacitura).

normale n (questo piano è chiamato×÷MaE- Il> y SUI

Immagino di dividere in 2 il mio continuo:

À Affinché il continuo resti in equilibrio sulle superfici devono essere presente delle azioni uguali e contrarie per il terzo principio della dinamica. Queste forze possono variare da punto forza e a punto in intensità, non hanno necessariamente la direzione della normale (sono incognite).

Consideriamo ora un intorno finito di P caratterizzato da una superficie E :

È / ti ds= « artAÉ

oltre a avrò anche una coppia

è la risultante AÉ✓ (Se traslo nel baricentro di P allora devo in generale non passa aggiungere una coppia )art per il baricentro È

Definiamo la tensione AF tensione lim sforzovettoreo= sese o→

(Postuliamo che tale limite sia finito ed esista)

ta dipende dal punto P e anche dalla giacitura (se cambio il piano dove taglio il corpo cambia anche la ta tensione )art

La coppia esiste perché: sei generalmente non si trova nel baricentro; però posso traslarlo nel; È↑È baricentro se aggiungo questa coppia^ DIsin

Postuliamo che: lim O=-2aO[☐ →

non è il risultato di un calcolo ma è un assioma!!!!

Questo assioma è quello che differenzia il modello di Cauchy dagli altri modelli (si può facilmente intuire che non è sempre vero pensando all’acqua)

Oss. Abbiamo detto che quando l’intorno del punto P è infinitesimo allora il vettore tensione passa proprio per il punto.

Come già detto il vero limite di questa formulazione è che:

ta dipende dal punto P e anche dalla giacitura (se cambio il piano dove taglio il corpo cambia anche la ta tensione )

Questo è un problema perché per conoscere lo stato di sollecitazione del punto dovremmo conoscere tutti gli infiniti di al variare della giacitura.

a Ea Ea stato di sforzo sforzo È

Infatti definiamo o l’insieme alle infinite al variare di tutti gli :]{Ex È geina{ Stato di sforzo} cliential variare co oppure

Stato di sforzo secondo Cauchy

Ciò significa che per conoscere lo sforzo in un punto abbiamo bisogno di infinite informazioni: questo è un problema.

È A giaciture si segno opposto (come nel caso in figura, notare le due ), sono associate tensioni di segno opposto per il terzo"principio della dinamica.

E Ex= _- a_ ,

Unità di misura dello sforzo e della tensione: ,,,,

Teorema di Cauchy

Teorema di Cauchy (grande teorema di Cauchy)

La conoscenza di 3 tensioni lungo 3 giaciture tra loro ortogonali è sufficiente a conoscere la tensione su qualunque giacitura.

(In altre parole dice che se io conosco 3 giaciture lungo 3 tensioni tra loro ortogonali allora conosco lo stato del continuo di Cauchy)

L’intuizione di Cauchy è stata quella di considerare il continuo nella configurazione finale e anziché considerare un intorno di forma di parallelepipedo, ha considerato un intorno di forma tetraedrica, costruito in modo particolare: Z^ B• È un tetraedro costruito scegliendo le giaciture -x, -y, -z, MÌNIÌssxssaASY L> ( trasposto)t = 'hazyMÌ [ MayÈ Max=>: y h riferita faccia inclinata tetraedro del↑ altezza alla=)( di faccia asz -2normale• C✗L

Unisco il punto C con il punto N: l’angolo compreso tra e CN è un angolo retto.fa N•E

Dalla definizione di versore: CÒN( )Max cos=h ÓC 0TCÒN )( nxxcos= = .. EZ^ B AÒN• )(May cos=[ AÓNh OI)(ÓA Maycosa == - .ASX AsxASY L> FÈ >• ya↑ asz• c✗L Z^ B• BÒN )(Ma -2 cos=traÓS h BÒN ÓB013 )( Nazcos ==✗ - .ssaasy <, •F- N >• ya↑ asz• c✗L

Calcoliamo il volume del tetraedro in 3 modi diversi: V § 0TÓBh § ÓA§ Asa ASZ § DSSy= ×= .=. .=-ASX Asa nx.= AsaAsy ny= .A hzASZ SX .= 19111

Consideriamo ancora il tetraedro.

Z^ Immaginiamo di valutare su ciascuna faccia una tensione media.

B• Èiasxnx per il principio di azione reazione t 1-=✗ ×7 _> -ttydsy ssa- r ha normale asy yÈ _. Éyssy lungo sarà la giacitura tensione Quindi questa> _• y◦ asin Ìdv✓ DSX ha normale XIÉÉ -• e Asz ÀÌASX lungo sarà la giacitura tensione Quindi questa ✗L _DSZ ha Znormale - -Àzssz lungo sarà la giacitura tensione Quindi questa _

NB i valori delle tensioni medie non è detto che siano diretti come le normali.

ti ha 2 componenti appartenenti al piano della giacitura e una componente normale alla giacitura della piano giacitura la normale ale- componente! T giacitura ( )componenti della tangenziali Ele al piano T sonoÈ ? ÷-Txy diretta componente Txyt ycome>f-'L < + diretta" Zcomponente come7×27✗ " È+ ↓riferita alla giacitura ✗" "medioµ 'ÈÌ

Quindi avremo che: ][ Òxx TxzTxy= ÌyzIyx 'Óyy ]ty [=→ I T)tzx Òzz[tz zy=

Scriviamo l’equilibrio alla traslazione del nostro tetraedro di Cauchy:

ÈEÌEIÉesterne EÌ ET A)/[ Asz Asa§Sysa sx =D-0 +__ - ASX Asa

Sostituiamo a queste espressioni che abbiamo trovato prima: nx.=✗ Zy ,, Asassy ny= .A hzASZ SX .=asxnxx-t-y-dsxnay.ttEÌASX ÈÈ Asxhaz 13 dsah 0=+-

Possiamo semplificarla dividendo tutto per Dsa :

ÀÌ ET EÌ ÈEÌ h}ndzNay 0nax =+_ _ -

Facciamo diventare l’intorno (che ora è finito) in infinitesimo:

ÀÌ EÌ EÌ ÈEÌlim h}naznaynax +_ - _h O→ I / ✓termine si annulla✓ questa la media tende puntualetensione1 quella a. la le coppie tendono il passeràtensione che proprio abbiamo perché a zeroP postulato punto2 per. giaciturala zero tende quando della superficie aÈ

Quindi: È>ti tende Pd. Si passare peraÈ tynay tznazEx nxx= + +↓

Abbiamo dimostrato il teorema di Cauchy: se conosciamo 3 tensioni lungo 3 giaciture possiamo calcolare la tensione lungo qualsiasi giacitura appartenente alla stella dei piani passante per P.

Notazione matriciale

Possiamo scrivere questa cosa in notazione matriciale:

È )[ -tzÈ ty -Tyx TzxOxx= = Txy Oyy TzyTyzTxz OZZ- _Era

In forma matriciale possiamo scrivere: Ex = Sforzo di Cauchy

ÈÉloi È (d)giacituradallaposizionesolo0 dipende non : =,& lolalo nelsforzodi puntoèmatrice Pè stato Cauchy sforzo di eÈ È}Era {è traequivalente a)=È )[

Quindi possiamo riscrivere: -tzÈ ty -///Tyx Tzx/ //Oxx= = Txy oyy TzyTyzTxz Ozz- ÈEIÈ

Rappresentazione dello stato di sforzo in un punto

Rappresentazione dello stato di sforzo in un punto

È necessario considerare un intorno infinitesimo del punto P di forma parallelepipeda: 3 facce sono orientate come gli assi e 3 sono opposte agli assi.

OZZ Matrice degli sforzi:✗I1I > ' '//Tzy |Tyx Tzx/ }/Oxx< Tzxli TYZ TxyTxz ^^ Oyy TzyI Tyz1 Txz OZZ> _ _i Oyy> - ÌÌ-Txy Ey' " txTyxiiok . .-- -- - ---- -- Tensioni lungo le 3 giaciture positive., "'Z^ ', È, Oxx lungo giacitura della componente ✗, =↳ diretto l'è se come asse ✗so> yÌ

1) sulle facce di normale positiva, le componenti delle tensioni sono positive se dirette come i rispettivi assi.

Sappiamo che t ta=✗ --

Abbiamo quindi che È Èt )rix( .mx= =- -✗ _- :cioè quando guardo una normale di faccia negativa, la regola (1) si inverte:

la componente della tensione è positiva se diretta opposta agli assi.

Quindi se considero le facce opposte del cubo (quelle non colorate nel disegno prima)::i1 OXXI TITxz ' ri Txyi[ lyy 'Txz,.it?-i--------- . ...F-✗TzuyZ^ r.. OZZv> yÌ

2) sulle facce di normale negativa le componenti delle tensioni sono positive se opposte ai rispettivi assi.

Scriviamo un equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro del cubetto e rispetto all’asse X:

(dovrò tenere conto solo delle componenti , perché quelle passano per il centro del cubetto)

T O Regola mano dx per il segno

Metto il pollice nella direzione dell’asse e TzydxdlydzzTyzdxdz Tyzdxdz Tzydxdydzzditchef =D+ le dita mi indicano il verso di rotazione- _- 2-