Appunti di Microeconomia

MICROECONOMIA

RIASSUNTO

Azzurra Macolino

Indice:

1. Funzione di utilità
   • Vincoli di bilancio
   • Funzione Cobb-Douglas
2. Fatturati
   • Gettito pro-capite
   • Sussidio pro-capite
3. Effetto reddito
   • Effetto sostituzione
   • Consumo intertemporale
4. Produzione ( minimizzazione dei costi in lungo e breve periodo )
5. Concorrenza perfetta ( breve e lungo periodo )
6. Monopolio
7. Discriminazione del terzo tipo su due mercati
8. Monopolio con due impianti
9. Duopolio
   • Cournot
   • Stackelberg
   • Collusione
10. Rendimenti di scala
    • Grafico di minimizzazione dei costi
11. Elasticità

MICROECONOMIA

RIASSUNTO

Azzurra Macolino

Indice:

1. Funzione di utilità
   • Vincoli di bilancio
   • Funzione Cobb-Douglas
2. Fatturati
   • Gettito pro-capite
   • Sussidio pro-capite
3. Effetto reddito
   • Effetto sostituzione
   • Consumo intertemporale
4. Produzione ( minimizzazione dei costi in lungo e breve periodo )
5. Concorrenza perfetta ( breve e lungo periodo )
6. Monopolio
7. Discriminazione del terzo tipo su due mercati
8. Monopolio con due impianti
9. Duopolio
   • Cournot
   • Stackelberg
   • Collusione
10. Rendimenti di scala
11. Grafico di minimizzazione dei costi
12. Elasticità

1) U=funzione di utilità che va massimizzata sotto ad un vincolo

max U st: P_xX + P_yY = m : VdB

→ L = U - λ (VdB)

→ sistema → funzioni di domanda:

• X* = ...
• Y* = ...

Nel caso in cui U è una Cobb-Douglas U = aX_αY_β

• X* = ^a/_a+b . ^m/_Px
• Y* = ^b/_a+b . ^m/_Py

Nel caso in cui U è una funzione del tipo min(ax, by) il problema di massimizzazione diventa:

• ax = by
• P_xX + P_yY = m

2

Fatturati:

• P_xX singolo
• P_xX + P_yY totale = TR totale revenue

Per vedere come varia il fatturato considero:

∂TR(x)/∂P_x inglobiamo la funzione di domanda di X e troviamo una TR solo in funzione del reddito e del P_x → derivo

=D risultato < 0 conviene ridurre P         > 0 conviene aumentare P

3

GETTITO PRO-CAPITE: soldi raccolti con tasse imposte su una certa quantità: q_tb

SUSSIDIO PRO-CAPITE: c'è un cambio prezzo che determina una nuova quantità: q'^*(P-P^*)

• se il sussidio > gettito → DISAVANZO
• se il sussidio < gettito → AVANZO

4⃣ [CAMBIO PREZZI]

può chiedere di calcolare effetto reddito ed effetto sostituzione

EFFETTO SOSTITUZIONE: X_T - X_I = j

EFFETTO REDDITO: X_F - X_T = k

T = teoricoI = inizialeF = finale

EFFETTO TOTALE: deve verificare che

X_F - X_I = effetto reddito + sostituzione

5⃣ CONSUMO INTERTEMPORALE

max U (C₁, C₂)

ST: C₁ (1 + r) p₁ + C₂ p₂ = R (1 + r) + R₂

p₁ effettivo

R_tot

→ FOC: se è Cobb-Douglas:

• C₁ * = ^a/_a+b • ^R_tot/_{p1 effettivo}
• C₂ * = ^b/_a+b • ^R_tot/_p2

S_MS = 1 + r

Problema tipo

x(L, K) funzione di produzione

CT = wL + rK

Devo min CT s.t. x(L, K)

1. Smith's = SMSI = _∂x/_∂L / _∂x/_∂K

→ impongo Smith's = _w/_r = _prezzoL/_prezzoK

Così otteniamo le funzioni di domanda dei due fattori produttivi

2. [breve periodo]

• I fattori produttivi non variano
• Se me ne dà uno trovo l'altro in funzione di x sostituendo quello dato nelle funzione di produzione
• Sostituisco quello dato e l'altro trovato nei CT
• CT_BP in funzione x

2.1 [lungo periodo]

• I fattori sono tutti variabili.
• Sostituisco nei CT le funzioni di domanda dei fattori produttivi
• CT=_LP

• CT = CV + CF
• CV = rK + wL
• CF = sono un numero

7. CONCORRENZA PERFETTA

massimizza profitti π (FOC + SOC) CM = P

π = p ∙ q – (LW + rK + CF)

• dalle FOC; MC = MR
• SOC per controllare che sia massimo

• Le curve di costo sono i SAC e i LAC
• L’equilibrio di mercato è Q^D = Q^S
• Q^S è l’offerta di mercato [q ∙ n]
• Q^D è la domanda di mercato
• C’è una funzione di p

• Condizioni di non uscita
  • P > AVC = VC/q
  • π(q^*) > π(0)
• Come varia n nel lungo periodo
  • se nel breve periodo
    • π > 0
    • π < 0
    • π = 0
  • allora nel lungo periodo
    • n aumenta
    • n diminuisce
    • n non cambia

[Breve periodo]

• K fisso
• n fissato

[Lungo periodo]

P = min LAC → π = 0

guadagno di benessere per i consumatori:

1. ½(DOMANDA INIZIALE + DOMANDA FINALE) · CAMBIO DI PREZZO
2. ½(Qⁱ + Q^f) · (|p_i - p_f|)

8. MONOPOLIO

• - dom. di mercato Q^D=Q(P) -> dom di mercato inversa
• π = TR(Q) - TC(Q)

FOC: ∂π/∂Q = 0 -> MR = MC => ottengo Q^*

SOC: ∂²π/∂Q ² < 0 ✓ -> per verificare

Sostituisco nella funzione di domanda: P = P(Q) => ottengo P^*

Condizioni di non uscita: P^* ≥ SAC   [BP] P^* ≥ LAC   [LP]

Con rendimenti di scala costanti: MC = AC = C̅/Q

• ∂TR/∂P = q( 1 + P/Q . ∂Q/∂P ) = MR = q(1 - 1/|n|)
• ∂TR/∂Q = P( 1 - 1/|M| ) = MR

DISCRIMINAZIONE 3° TIPO (su 2 mercati)

mercato 1 P₁ = P₁(Q₁)

mercato 2 P₂ = P₂(Q₂)

Deve decidere quanto vendere su 1 e su 2

π = P₁ Q₁ + P₂ Q₂ - TC

∑ P₁ ∑ Q₂

∑ P₂ ∑ Q₂

∂π/∂Q₁ = 0

∂π/∂Q₂ = 0

=> Ottengo Q₁* e Q₂*

sostituisco nella domanda di mercato

=> P₁* e P₂*

- Se uno Q_i < 0 => Q_i = 0 e risolvo come se vendesse solo sull'altra

- Se passo da discrimina a non discrimina

• calcolo il prezzo medio (media tra i due prezzi con discriminazione)
• lo confronto con i due prezzi e vedo chi sta meglio.

MONOPOLIO CON 2 IMPIANTI

monopolista, 1 mercato, 2 impianti

P = P(Q) , Q = Q₁ + Q₂

impianto 1 TC₁ (Q₁)

impianto 2 TC₂(Q₂)

Deve decidere quanto produrre su ciascun impianto

π = P· (Q₁ + Q₂) - TC₁ - TC₂

• MR = MC₁ (Q₁)
• MR = MC₂(Q₂)
• MC_1/2 = MR

• ⇒ Q₁* e Q₂*
• ⇒ Q*
• ⇒ P*

Se Q_i < 0 ⇒ Q_i = 0 non conviene usare impianto i

→ max solo su l'altro con i suoi TC

FORMA GENERICA DI UNA FUNZIONE DI DOMANDA

Q₁ = p₁ m + h

m = ∂Q₁/∂p₁

11

DUOPOLIO

• Cournot

le due imprese hanno pari opportunità agiscono simultaneamente sono entrambe miopi una fissa le q dell'altra e viceversa

1. max π₁ = p(q₁ + q̄₂) · (q₁) - TC₁

FOC: MR₁ = MC₁ => q₁ = q₁ (q̄₂) Funzione di reazione di 1

2. Stessa cosa per q₂

=> q₂ = q₂ (q̄₁) Funzione di reazione di 2

3. Equilibrio di Nash

{ q₁ = q₁ (q₂) -> { q*₁^d { q₂ = q₂ (q₁) -> { q*₂^d Q* = q₁ + q₂ P* = P(Q*)

STACKELBERG

Un'impresa ha un vantaggio[c'è una leader e una follower]

1. Risolvo prima il problema della follower (miopie) max π → q_F = q_F(q_L) (Come Cournot)
2. Sostituisco le q_F nel prezzo → ottengo π in funzione di q_L max π → q_L^* q_F^* ↦ Q^* e P^*

COLLUSIONE

Le due aziende decidono di mettersi d'accordo

• Senza vincoli

q₁ e q₂ → π = p·(q₁+q₂) - TC₁(q₁) - TC₂(q₂)

FOC:

• MR₁ = MR₂
• MC₁ = MC₂

q₁^*

q₂^* ↦ Q^* P^*

- controllo se colludono

confronto i profitti prima e dopo

π₁^prima (formula profitti di prima con dati di prima)

π₂^prima

[prima può essere Cournot o Stack]

π₁^coll (formula profitti di prima con dati di collusione)

π₂^coll

Se ad un'azienda risulta che non conviene colludere (π₁^prima > π₁^coll)

vedi se l'altra impresa può cedere dei profitti per farle colludere

Es. 2 non conviene colludere a meno che

π₂^coll non diventino > π₂^prima/G

nuovo π₂^coll = G

quanto deve cedere 1? G - π₂^coll

π₁^coll - (G - π₂^coll) ≥ π₁^prima (per vedere se a 1 conviene cedere)

se è sì allora si può trovare una soluzione

! Se risulta q_i < 0 → q_i=0 e ricalcolo l'altra q

- Con vincoli (impongono 2 q^max)

confronti le q^max con q_coll senza vincoli

es: q^max₁ = 60

q_1coll = 40

q^max₂ = 10

q_2coll = 20 -> troppo

ricalcolo q₁ ← q_2coll = 10

max π (mettendo q₂ = 10 nelle formule q₁

della collusione)

12) RENDIMENTI DI SCALA

- come varia la produzione data una funzione di produzione

Q₁ = AK + BL

aumento k e L di λ -> Q₂ = A (λK) + B (λL)

-> D Q₂ = α Q₁

• se α > λ sono crescenti
• se α = λ sono costanti => TC costanti
• se α < λ sono decrescenti →

ATC = AC

Q = F(K, L)                                                Q = K^αL^β

F(λK, λL) = (λK)^α (λL)^β = λ^α+β (K^α L^β) =

= λ^α+β F(K, L)

• se α+β=1       RENDIMENTI DI SCALA       COSTANTI
• se α+β>1                               "       "       CRESCENTI
• se α+β<1                               "       "       DECRESCENTI

MINIMIZZAZIONE COSTI

(grafico)                             Q = F(L, K)

• RETTA DI ISOSPESA O ISOCOSTO

C = wL + rK

ha inclinazione negativa

grafico: