Appunti di Meccanica razionale sul corpo rigido

Cinematica del corpo rigido

Un corpo rigido è una distribuzione continua di massa libera di muoversi nello spazio, costitutita da pi_i, materiali la cui distanza relativa non cambia nel tempo. Esso non può cioè deformarsi.

Se introduciamo un sistema di riferimento fisso R(O;_i,_j,_i) ed un altro solidale al corpo Rm(O;_i,_j,_i), cioè Rm si può misurare rispetto ad R delle stesse moti supi ma s'oggetti il corpo rigido ma i pt. materiali ma verificano le loro po. rispetto a Rm.

Moti piani

Il pr. caso di cinematiche che trattiamo è quello di moti piani, completamente in 2D. Il corpo può traslare parallelamente alle 2 dim. e ruotare attorno ad un pri. perp. alle 2D.

Traslazione

Moto in cui il orientamento di un segmentoaderente nel corpo rigido non varie nel tempo.

Per tale modo: x = x_A+△x_A = x_B+△x_B = d_AB+△d_AB v_A = v_B a_A = a_B = 0

Nel moto traslatorio tutti i punti si muovono alla stessa velocità e con la stessa accelerazione.

Rotazione

Moto in cui il corpo può muoversi attorno ad un ase perpendicolare al piano in cui poggia.

Nel insieme con flore di rotazione linear di ceru intorno di rig. fijo H e il piano è quello del foglio. Nota: può muoversi attorno ad qualsiasi ase perpendicolareal piani si refrega di fare asci e infine tale ose kuru it.

Svolgo insieme Rm in modo de l'origine feriscilo asun R. La pes. di Rm rip. ad R è dato da O(t) funzione del moto del corpo.

Indichiamo con X_P il vett. pos. del generico punto del corpo. Anno

Nel sistema fisso: X_P = X_A + X_P' dove X_i = X_P;_i e X₂ = Nel sistema Moo: X_P = Y_1B X_+1]+²X₊₁.+ Z₁+△x_y2cosx+x_vcosy A (1) x_P = { x₁ = x₁; cos_x + x₂ nyingx₂ + x₃ning + y₂ cos_a }

Cinetica del corpo rigido

Un corpo rigido è una distribuzione continua di massa libera di muoversi nello spazio, costituita da b.d. materiali la cui distanza relativa non cambia nel tempo. Esso non può cioè deformarsi.

Se introduciamo un sistema di riferimento fisso R(O, _e1, _e2, _e3) ed un altro solidale al corpo Rm(O, _e1, _ē2, _ē3) essi non potranno muoversi rispetto ad R, dallo stesso moto ma rispetto al corpo rigido ma i p.ti materialine varieranno le loro pos. rispetto a Rm.

Motí piani

Il primo tipo di cinematico che trattiamo è quello dei motí piani. Considerato in 2D, il corpo può traslare parallelism. alla 2 dim e ruotare attorno ad un axe perpendicolare alla 1D.

Traslazione

Moto in cui l'orientamento di un segmento aletraricho nel corpo rigido non varie nel tiempo.

^t_A - - - > ^t_A + ^s_AB (eq t^t_A)^d → traslazionè tutti i p.ti si muoveranno alla stessi velocità e alle p.tesse accelerazione.

Rotazione

Moto in cui il corpo può pure muovare attorneo ad un ace perpendilari ale pliano su cui poggía. Nehel Motto con filine di rotatione leinciille caricali il terierntente di röñ fijo H ee il piuro ee quiete del folglio.

Nota: puà muetome actiemè ad cualquimne onde perpendicilui á piuno si reloquo á leor leinciione telana Deoriana. Solgeo intothe fm in modio de orientire cenrioso comn R.

x_P + ^t_C (lnk C) + x2 Sineb_j + y2 costrp = (r2) _t g.f(t2) y_s2t2 → Ru ^fingF _T una fake quale (ovl) altro sistema e viene equivale.

Ora P = dXP /dt quindi: P = dX1 /dt i1 + dXn i2 re defω = &d12 = &d2e3 ottengo p = ω × P

Euler &W _P = ^{i₁ i₂ i₃}   O   O   ω x₁ x₂ x₃ vale re'volue di rotol. in'pervole ad irre l'accurazione:

a_P = ^d_p / _dt = ^d_W / _dt ^x_P + ω ✗ _xp + ω ✗ ω ✗x_P^O ω x b x _c = b(&{a:2}, &{o:aC = b} itc)==> ω x ω x = ω(_W : _P) - ^{x_P (_W . _W) >= - x_P ω2}→   &Box;

Nota: per reai ω _ag ≡ εokcl. tg. acl. centripetc← li &subscene; x_P = x_** = _{P' = xP} = x =   &pint; ≡ εabilevo ottuelto ciò da &sub>P = ^d_xi+t / _dt +&^d_ixidt

Se ne ule formula di Parleuru per iin' troibibrilani'kerionale => _P = ^dt_x×sub>t + _{&subk; x ×} + ω × _{P(i : p)}

Analoghi, l'ist. di moto di un corpo rigido che ruoti attorno ad un $. fisso, perpendicolare al piano dato dal r.t. di rif. R ed il mio giro, é del _θF = ẇ × _xp^p con ẇ = θ̇ î₃^p

Rototraslazione

Prendendo un corpo rigido che compie un moto generico esso potrà sempre essere scomposto nelle termine di un moto di traslazione + rotazione.

d_kp dp ___ kpdtd_kp dt _kp^kp Vp Ω Θf = θ F ẘ ^{i 2} θ Ω _kep { k Z e∘kl = Î n Ĩ2 ␥Ω kp kp ^{+ Z kp}lUR - ^₊ ⊁^{+ Sin V} kp d ω̧ k IP l θS kp î' - î' x -

Moti tridimensionali

Analogamente a quanto fatto per i moti piani, possiamo scomporre il moto in una traslazione e rotazione secc. l'asse rotos. Infatti per il tea. di Eulero e una vee di- moto ottorno ad un ora passante per il centro di moto, con dirett. vari- nel tempo. Ovvero.

σ⃗ _p = v⃗ _p + ⃗ ω × r⃗ _pv⃗ _p = ℓ̇ e⃗ ₁ + ⃗ ω × r⃗ _p + ω₁ r⃗ _p

Dimostrazione nel caso 3D

Primo abbiamo espresso i versori della terna mobile (e⃗ _i) in funzione della terna fissa (i⃗ _i), cioè esprimiamoli in funzioni di sé stessi.

e⃗ ₁ = (e⃗ ₁ · e⃗ ₁) e⃗ ₁ + (e⃗ ₂ · e⃗ ₁) e⃗ ₂ + (e⃗ ₃ · e⃗ ₁) e⃗ ₃

e⃗ ₂ = (e⃗ ₁ · e⃗ ₂) e⃗ ₁ + (e⃗ ₂ · e⃗ ₂) e⃗ ₂ + (e⃗ ₃ · e⃗ ₂) e⃗ ₃

e⃗ ₃ = (e⃗ ₁ · e⃗ ₃) e⃗ ₁ + (e⃗ ₂ · e⃗ ₃) e⃗ ₂ + (e⃗ ₃ · e⃗ ₃) e⃗ ₃

Le derivate quindi diventano:

d e⃗ ₁ / d t = (d e₁ / d t) e⃗ ₁ + (d e₂ / d t) e⃗ ₂ + (d e₃ / d t) e⃗ ₃

d e⃗ ₂ / d t = (d e₁ / d t) e⃗ ₁ + (d e₂ / d t) e⃗ ₂ + (d e₃ / d t) e⃗ ₃

d e⃗ ₃ / d t = (d e₁ / d t) e⃗ ₁ + (d e₂ / d t) e⃗ ₂ + (d e₃ / d t) e⃗ ₃

Abbiamo rappresentato le componenti in terna mobile delle derivate dei versori e⃗ _i. A questo punto scrivo, nel simbolo ė_k e⃗ ₃ = d e_k / d t - eet

Quindi elimino i termini. I termini rimanenti sono equivalenti tra loro, quindi in generale ho dipendenza da 3 parametri. Avremo le prime dy.

ω = ω₁e⃗₁ + ω₂e⃗₂ + ω₃e⃗₃ cioèω₁ = d e₁ / d tω₂ = d e₂ / d tω₃ = d e₃ / d t

E la variabile è cioè, per dif. è:^dk_B/_dt = ω̅ × e_Bˆ

Quindi in totale abbiamo per un moto di rototraslazione

• X_P = x_A + y_Pˆ
• V̅_P = v̅_A + ω̅ × y_Pˆ
• Α̅_P = α̅_A + ω̅ × y_Pˆ + ω̅' × y_Pˆ

Esempi di applicazione

_{Il punto a può avere motore, e può venirelungo i1, e può portarsi lungo i2ma non motore.q, w, l2, e l1, noti, → vC?}

Esaminiamo solo il moto di AB:

v̅_g = v̅_A + ω₁ k̅ × AB_g = ω i₀ × l₁(cosβ i₀ + sinβ i₁)= φ̇ = ω l₁(+cosβ i₁ - sinβ i₀) cioè:

Ora proiettiamo nel punto di BC:

v̅_C = v̅_B + ω₂ × BC = v̅_BC = √HC² + − sinβ i_nB: col = limeraHC = √l₂² − l₂'e= √(l₂'^sinβ) iˆ − (l₂'cosβ)= √(l₂'^sinβ)

Mi muovo quindi ω̅₂ = ω₁ η quindi: in intenzione everso. So che c'e um vincolo e che quindi^C − V̅^C)) s:quarto questi lunvida:

V̅_CI = [ω₁ l₁(cosβ i + sinβ i₁)] + [ωk₁ × √(l₂² - l₂²rectb)))/]iiˆ − ([l₂ 50ebdo)ovvero quindiγ) i_η C, = − ω₁ l₁sinβ + ω₂ l₂ ren βvincole φ− i₁ (l a) − ω l₁ cos \(1 - ωr [l₂ renb]

Risolvo il puntone, da iη:ω₁ = -ω_l cosθ₃vrittistico in i:√(l²-l² sen²θ)σ_C = -ωl senθ₃ - ω_l cosθ₃ (l,reud)-√(l²-l²sen²θ)

Noto che p = l - l σ_C = -ωle ω₂ = φ, quindi ècome v c translera solo, non nostorie.

Centro d’istantanea rotazione

Dato un moto generale di rototraslazione, come capiscoqual è l’asse di rotazione del corpo? L’asse di rotaz. delcorpo si trova in quel punto (non per forza appartenente alcorpo) che ci è istantaneamente fermo ed è diretto come ω.

Tale punto, in generale, varia nel tempo ed è detto centro d’istantanea rotazione. Per trovarlo, cerco quindi quel puntoche è istantaneamente fermo:

( )( ) = φ l'incognita è quindi x_L, moltiplicoulteriormente per ω :ω̅ × x̅ = ω̅ × v̅₂ + ω̅ × (ω × v̅)_c – x̅_a = φ

ω̅[(ω̅ · (_C - x̅₂)] – (x_c - x₂) (ω̅ · ω̅)ω̅[ω̅ · (x̅_c – x̅₂)] + ω̅ · (x_c – x₁)] – (x_c – x₂) (ω²)

ω̅ · (x̅_c – x̅₂) (ω²)ω̅ × v̅_c + ω’ _v̅ (x_c – x₂) = φ

Quindi il clr nì trovah, perdebrò da sφ e ω̅ .per un problema lidinn poterv raireω̅ × v̅₂ – ω² x_c + ω² x̅_L = φ ^C = _{ω̅ × v̅nω² + x1l}

Centro d'istant rotaz

Esempio:

Dico che rotola a contatto con un terreno, trova ci.

x̅_i = x̅_s2 = x̅_s2.x̅_s2 = ω_i × x̅_s2i + x̅_s2.⇒ x̅_c = -(ω × x̅_us2t) + v_st_o.= -(ω × x̅_s2t) + ω_ist out

Il CLR transe.n = u + upml, pure CLK.ωs2t = ω × ult ne, il cL sc pure.

E utile quindi avere define polare fisse til pure to posted. XYZ nel covo chi-pure rotolamento, la fi.

Se invece del pure rotolamento ci immagineremo uno. È come se sole un disco pure gruale se immale fissare preoviciio.