Appunti di Meccanica avanzata dei solidi e delle strutture

Lezione 1

Potente del continuo:

Meccanica dei corpi deformabili:

β = Ω ε R³

• Configuazione iniziale
• Configurazione attuale

φ: X ε Ω → x ε Ω

Funzione non lineare di cambio configurazione

𝕏 / X: vettore posizione iniziale

x_i / x: vettore posizione attuale

^u⁄_β campi vettoriali

Vettore sostamento:

U = x - X

U_i = x_i - S_iI X_I

Studio del cambio di configurazione

1. Prendiamo un intorno elementare ovvero una regione molto piccola
2. In questa regione sufficientemente piccola posso linearizzare φ ovvero confondare φ tgf quindi al posto di numero φ uso F
3. F = ∂x/∂X → F_iJ = ∂x_i/∂X_j
4. Gradiente di cambio di configurazione

Ed è una linearizzazione locale delle mie governa del cambio di configurazione.

Allungamento:

λ = ||d x|| / ||d X||

d x = d X

d x = F d X

d x = d X √ FN ⋅ FN

||d x|| = ||d x|| ⋅ N ⋅ N =

λ = ||FN ⋅ FN||

√ FF FN ⋅ N

4. Partendo di un intorno elementare di X voglio arrivare a d x
5. d x = ∂x/∂X ⋅ d X
6. Allora posso scriverla nel seguente modo: d x = F ⋅ d X in notazione indiciale sarà:

d x_i = F_ij d X_j

λ = √ C N ⋅ N

Lezione 1:

Potente del continuo:

Meccanica dei corpi deformabili:

β = Ω ∈ ℝ³

φ: X ∈ Ω → x ∈ Ω

Funzione non lineare di cambio configurazione.

u/β campi vettoriali:

Vettore sostamento:

u = x - X

u_i = x_i - S_ij X_I

Studio del cambio di configurazione

1) Prendiamo un intorno elementare ovvero una regione molto piccola

2) In questa regione sufficientemente piccola posso linearizzare φ ovvero confondere φ e tgf quindi al posto di una φ uso F.

3) F = _∂x/_∂X = F_{ij ∂xi}/_∂Xj tensore del secondo ordine

4) Partendo da un intorno elementare dX voglio arrivare a dx

5) dx = _∂x/_∂X dX

6) Allora posso scriverlo nel seguente modo: dx = F dX

Allungamento:

λ = ^||dx||/_||dX|| ⇒ λ = ^{√FN ⋅ FN}/√

||dX|| = |dX| = ||dX||

||dX|| _||dx||

λ = √CN ⋅ N

Lezione 2

Gradiente di Cambio di Configurazione

Allungamento:

^{λ =} ||dX||^{=√C N • N}

dove C = F^TF

quindi si può affermare che l'allungamento è funzione della direzione λ(N)

Angolo: cos Θ = ^{C N1 • N2}

λ(N1)λ(N2)

anche qui l'angolo dipende dalla direzione N.

Quindi se io conosco F e G, conosco tutte le informazioni necessarie a capire quello che succede nell'intorno elementare. Quindi F è una quantità fondamentale nell'intorno elementare.

Spostamento: (differenza tra le posizione attuale e la posizione iniziale)

x - X = u

rappresenta un campo vettoriale.

x = X + u

F = _{∂ x}^{= ∂}(X + u)

∂ X ∂X

F = I + H

G=F^TF = (I + H)^T(I + H) =>

d=I+H+H^T+H^TH

Tensore delle Deformazioni:

^||dX||2 – ||dX||₂

Green-Lagrange

^{E =}1/2

(C – I)

E = ¹[ (H + H^T

2 2

+ H^TH)]

Ipottizzando piccoli gradienti di spostamento ||∇u|| ≪ 1:

E = ¹(H + H^T) = ¹(∇u + ∇u^T) = ∇^su = ε

2 2

H = ξ + w

Spostamento:

u(P) = u(P0) + ω dX + ε dX

rotazione pura deformazione

Nell'ipotesi di piccoli gradienti di spostamenti:

La deformazione è E (ellungamento)

Nell'ipotesi di grandi gradienti di spostamenti:

La deformazione è C (stretch)

Notazione Indiciale:

uij = ^∂ui Eijk

∂xj

1 → distinti e ordinati

1 → distinti non ordinati

0 → altrenati

Tensore delle Deformazioni

ε = ^ΘI + a_{_}

def. volum.

def. deviatorico

Θ=^{tr (ε)}

3

Equilibrio del corpo deformabile: (2D)

Forze superficiali: t su ∂Ω tForze di volume: b su Ω

[FL²][FL³]