Appunti di Meccanica applicata alle macchine

MECCANICA APPLICATA ALLE MACCIANE (aberatori); (squadra 1)

25/02/2026

RIPASSO DI CINEMATICA NEL PUNTO

◦ Considerato un punto nel piano, E. % , mentre l'accelerazione è a = .

congiunge l'origine al punto. La velocità è

il vettore posizione è:(p-0)

✗ = ✗ (

Questi valori definiscono l'ag. della traiettoria: traiettoria. La traiettoria è il versore tangente in un dato punto, con

yay §:} (g)

(a), , da cui y=f (x) cg. della

i

II:&:*...-÷ II = È, dove È è il versore tangente alla traiettoria

s-ascissa o. =L: e 1," l 15 LE → versore normale (3 =:&)

= Cerci) 2) ¾, dove ⅓ è la curvatura della traiettoria .

• L'espressione analitica della curvatura è data da C: ⅓

• La velocità è 1 =! "a:

I ✓ È, quindi la velocità è SEMPRE tangente alla traiettoria. È = Uniti, j, con α angolo tra le componenti → tana = È = %! = f (x).

l'accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo: è = # (UÈ) = 1¥ È +0??. % = II È + v2 Ii. La prima è una componente TANGENTE, mentre il secondo esiste in funzione di un

cambio di traiettoria ed è NORMALE. È = ROSO i + Rsinoj

• In una traiettoria circolare, a partire da si scrive R (cosa + sinoj) = Ris (versare del velt. posizione) . È sarà ♂ = ¾ (Ris) = R % È

=-vinto) O'è + (caso, è = ioni noi + così. è * è_= 1:::: = è (irino) -J (è coso). Quindi E-R ✗ in = Ùx(p-0), perpendicolare al settore (p-0). an =

L'accelerazione è è = 1¥ = ¾ (è ✗ (p-o)) = ✗ (p-a) + Ex % '= ✗ (p. a) + Ex (è a (p-0)). Il settore ha la stessa direzione di (p-o) ma verso apposto: è = TIP-0)-wa(p-o

mentre la componente normale è tirà = vantò (5' settore BINORMALE), xè:(uxayygyu) È

La componente tangenziale è at = " "+ " " C) > 0,5: , C) co, È" =-È .

✗ valige i

quindi an =/nay-ryan).

v

27/02/2026 w=Ò

TEOREMA DEI MOTI RELATIVI Come sappiamo (8-0)=(01-0)+(8-02), però (P-O) = (01-0) + eta + yaja. La v. di P è ritta + Esistjajat Xanxi: + giù Xjs. Da qui si ricava la seguente:

y È-È, + Istat] natia/✗ sistyajs) → È-Es + ✗ (P-02, + ERI -OTRÉRL.

y,

le P • P

già. Per quanto riguarda l'accel, si ha è, = tinti, irti,], + Irùxistjièaj? + ✗ (P-a) + in + jnjstxiixiatyrir.ie). Riorganizzando la scrittura, si ha:

✗ e s

ap = àor + è RLt ✗ (Estetiste), ✗ (P-01) + ✗ (tristi] 1) + ✗ (Ùx (✗ rietysir)/→ è-àortÙ ✗ (P-A) + È ✗ ( ✗ P-or)) tare + 2ÙXÉRI. Concludendo otteniamo:

i x

I" ✗

its è, = ètrtàritàco. Il terzo termine è l' ACCELERAZIONE DI CORIOLIS. Dopo uno spostamento angolare di Walt, si osserva che i due termini dell'acc.

O i di Coriolis provengono dalla derivata di Orel e di str. Vrel cambia nell'angolo del vettore, con Out variazione infinitesima data dalla rotazione.

Per quanto riguarda Vir, indicandola come wosP, e di = Vrcolt con W (OP + Urcolt)-WON = WVrcolt. Quindi aco = 2"URL"

dt

CORPO RIGIDO NEL PIANO TRASLATORIO: spostamento del punto A con 0 costante (parallelo a se stesso);

• Con tre coord. (✗ a. Ma, 0) si ottiene POSIZIONE e ASSETTO del corpo rigido. Il moto può essere I ROTOTLASLATORIO: unione dei precedenti due.

ROTATORIO: con ✗ a e ¼ costanti, si ha una variazione di 0 (senza deformazione, quindi DO sempre la stessa);

β III

I

o

JA ✗ A TAB = coso + vino;

• Velocità: (B-O) = (A-0) + (B-A) → (B-O) = (A-0) + ABI,. Da qui si sa che t'B- FÀ + Abàxtar,"aCl"t" :O, per cui È -Fai ✗ (B-A). Tutti i punti sono sempre alla stessa v. tra loro. Per fare un parallelismo

coi moti relativi, si ha: È"= TÈ"+ VI (Il moto di B compie una traiettoria circolare rispetto ad A) .

• Accelerazione: derivando rispetto al tempo, è, = è, + ✗ (B- A) + '✗ (¾ (B-A)) = è a + ✗ (B- A) + × ( ✗ (B-A)). Da qui si ottiene ai = è'A + ✗ (B-A) -wa (B- A) . Trasposizione ai moti vel, è' pt'= ÌÌ" + è}.

CENTRO D'ISTANTANEA ROTAZIONE (CIR) ✗ TEOREMA DI RIVALS

◦ È un punto dotato di vel. nulla nell'istante considerato all'interno del corpo (K). Quindi v7 = È + ' ✗ (A-K), con analogo sul punto B, con Un-0 all'istante considerato → VÀ = ' ✗ (A-K).

ATTO DI MOTO (ROT) L'ATTO DI Moto è il "fotogramma" del movimento, e la composizione di ognuno di essi, miti tra loro, forniscono il moto. Se le due perpendicolari sono tra loro parallele

⅓ 7

u l'atto sarebbe traslatorio, altrimenti è ROTATORIO

\

.tw

¾

06/03/2026

• Il vincolo può essere di CONTATTO ◦ CONTATTO CON PURO ROTOLAMENTO (senza strisciamento)

Is ops. = È, in → 1cg, di vincolo; È,-TÌ_Estr-Tan È, = up: → 2 condizioni di vincolo

JPINPI

so

DISCO IN PURO ROTOLAMENTO SU UN PIANO RETTILINEO

SIRIARO • Dato che il disco sta sempre attaccato al piano, e non striscia, abbiamo un solo grado di libertà.

B La velocità di C in y è nulla, mentre va,-Rip, quindi vi_Rig è: RWE.

c c Ye-R

s • ✗ c-S: Ry

β

• Analizziamo la TRAIETTORIA DEL PUNTO PERIFERICO: Se andiamo a tracciare il grafico della v. e si trova il punto in cui sono entrambe nulle si trova il Cir (si ha in it). Si ottiene che ogni

I 4 xp = Rptrming = RWTWROSY punto fisico delle circon f. è il CIR. Il CIR è quindi un ENTE CINEMATICO

p P jp = -WRring

Yp - R + Rosy

s

c c x

f- w"TÈ"... pà % I. ¼ / = RWE + i ((YR))-2Rwi' . Quindi otteniamo: È = * (P-4) =L RWE.

- Usando il th. di Rivals, si individuano due punti (C e un generico P) e diciamo: È = è + ✗ (P-C): RWE +

• Per quanto riguarda le accelerazioni, si ha è = ¾ (RW) ≈ = Rio è, sempre tangente, in quanto la traiettoria di C è rettilinea. Dal th. di Rivals si ha: api a: + ✗ (P-c)-wa (P-C), con

=

.-ii, quindi è p-Rieti RE-Rw = ZRI ≈-wa Rj. Si può quindi calcolare il RAGGIO DI CURVATURA della traiettoria (applet. 3, pag. 6): ap, = → 9=12! = 4R.

ife-iki + Rw '5', perpendicolare al piano di rotolamento.

Si consideri adesso il punto di contatto, la cui accelerazione è ai = ai + (K-C)-wa (K-C)-

(disegno pag.

7):

w RIVALS: È ✗ (B- C) = WRE + det (....) = WR + ≈ (o)-J R

: Un = WRE-WRJ;/È, / =/GR)' + (WR)' = 12 WR

B vi

(B- u) CIR: È, = ✗ (B-K). RIEN

45°

GUIDA CIRCOLARE

(Dis-PAG. 8) → p. Erò, da cui si ottiene a = ? Ò-Ò = è (RE-1). La velocità del centro è:

• Posto il puro rotamento, Rc O = Rp e w =L con ✗ =p-0. Quindi g- ½ 0

Re va = RI = (Rc-B) è. Seguendo un altro approccio, verRW = CIÒ = (Rc-R) O.

11/03/2026

H-GANTRY

◦ Guarda la pagina di appunti delle lez. 4.