Appunti di Geometria e algebra lineare

Christian Mauri UNIVPM – Ing. Mecc. M/Z - Geometria a.a. 21-22

MATRICI +

× ∈ ℕ

Una matrice reale (cioè in cui abbiamo numeri reali) è una tabella di numeri reali disposti

secondo

m n

righe e colonne. …

11 12 1

…

= ( ) = ( )

21 22 2

…

1 2

Con che è l’elemento di posto ij (occupa la i-esima riga e la j-esima colonna)

× ℳ

L’insieme delle matrici reali è indicato con ,

(1 5 7 ) ∈ ℳ 2 × 3)

Esempio: (cioè la matrice appartiene all’insieme delle matrici

2,3

8 2 13

(3) ∈ ℳ

→ NOTA: la matrice si pone in bijezione con i numeri reali

1,1

SOMMA DI MATRICI

La somma tra matrici è possibile SOLAMENTE tra matrici dello stesso tipo, che hanno cioè STESSO

× ).

NUMERO di righe e STESSO NUMERO di colonne (il tipo della matrice è

+

, ∈ ℕ = ∈ ℳ = ∈ ℳ + = + ∈ ℳ

( ) ( ) ( )

Fissiamo e e ho che

, , ,

La SOMMA tra matrici dello stesso tipo si ottiene sommando gli elementi che si trovano nello stesso posto

m,n 1 0 2 =(1 −1 √3

=( ) ∈ ℳ ) ∈ ℳ

Esempio: 2,3 ,

5 −3 √2 11 0 0

1 + 1 0 + (−1) 2 + √3 2 −1 2 + √3

+ = )=( )

( 16 −3 √2

5 + 11 −3 + 0 + 0

√2

PRODOTTO DI UNA MATRICE PER UN NUMERO

∈ ℝ = ∈ ℳ

( )

Consideriamo un numero generico e una matrice , definiamo la nuova matrice

,

⋅ = = ( ⋅ ) ∈ ℳ

, c

Il PRODOTTO tra una matrice e un numero moltiplicando OGNI elemento della matrice per il numero

1 0 2

=3 =( ) ∈ ℳ

Esempio: ,

5 −3 √2

3∙1 3∙0 3∙2 3 0 6

∙ =( )=( )

3∙5 3 ∙ (−3) 3 ∙ √2 15 −9 3√2

Christian Mauri UNIVPM – Ing. Mecc. M/Z - Geometria a.a. 21-22

PROPRIETÀ DELLA SOMMA E DEL PRODOTTO

Le proprietà della somma (tra matrici) e del prodotto (di matrici con un numero reale qualsiasi) derivano

da quelle per numeri reali

Proprietà associativa della somma (valida solo per matrici dello stesso tipo (matrici di tipo diverso NON si

∀, , ∈ ℳ

possono neanche sommare)). È valida ,

( (

+ ) + = + + )

3 1 0 1 1 1

=( ) =( ) =( )

Esempio: 0 2 1 2 0 0

(3 2 1 1 4 3

( + ) + = )+( )=( )

1 4 0 0 1 4

3 1 1 2 4 3

(

+ + ) = ( )+( )=( )

0 2 1 2 1 4

→ N.B.: questa non è una dimostrazione, ma abbiamo solamente fatto vedere che in questo caso la proprietà

associativa vale. ∀, ∈ ℳ

Proprietà commutativa. È valida , + =+

Esiste un elemento neutro della somma tra matrici: sommando a una matrice questo elemento, la matrice

0 0 0

0 = ( )

risultante sarà uguale alla prima matrice. L’elemento neutro è detto MATRICE NULLA: .

0 0 0

∃! 0 ∈ ℳ ℎ + 0 =

Diremmo che ,

Esistenza dell’opposto: esiste una matrice che sommata a un’altra matrice dà come risultato la matrice nulla:

∀ ∈ ℳ ∃! ∈ ℳ ℎ + = 0

, ,

(−1) ∙ ⇒ −

La matrice B equivale alla matrice ∀, ∈ ℝ ∀ ∈ ℳ ( ∙ ) ∙

Proprietà associativa del prodotto: e , ∙

I puntini del prodotto indicano, con lo stesso simbolo, due operazioni diverse: è il prodotto “classico”

”

tra due numeri reali qualsiasi, “∙ è invece il prodotto tra un numero reale qualsiasi e una matrice

∀, ∈ ℝ ∀ ∈ ℳ

Proprietà distributiva rispetto alla somma di numeri: e ,

( + ) ∙ = +

NOTA: dalla proprietà distributiva posso ricavare che qualora avessi la somma di due multipli della stessa

matrice, posso raccogliere la matrice a fattor comune (

+ = ∙ + )

Esistenza dell’elemento neutro per il prodotto: esiste un numero che moltiplicato per una matrice, la

mantiene invariata. Come nel prodotto tra numeri reali, tale numero è 1

1∙ =

Grazie alle 8 proprietà della somma e del prodotto delle matrici, definisco lo SPAZIO VETTORIALE delle

× : ±ℳ

matrici ,

DEFINIZIONE

, … ∈ ℳ k

Siano (ho matrici). Una loro COMBINAZIONE LINEARE è una espressione del tipo

1 2 , + + ⋯ +

1 1 2 2

, , … , ∈ ℝ

dove sono numeri reali qualsiasi, senza alcuna restrizione.

1 2

Christian Mauri UNIVPM – Ing. Mecc. M/Z - Geometria a.a. 21-22

MATRICE TRASPOSTA ∈ ℳ

Consideriamo la matrice . La TRASPOSTA della matrice A, viene indicata con A si ottiene

t

,

scambiando tra di loro le righe e le colonne della matrice di partenza A (se la matrice di partenza A era del

× , × )

tipo la matrice A diventerà del tipo

t

0 −3 0 8 2

= ( ) = ( )

8 17

Esempio: −3 17 5

2 5

MATRICE QUADRATA × ,

n

Una matrice QUADRATA di ordine è una matrice del tipo che ha quindi stesso numero di colonne

e di righe. La si indica con . Lo spazio vettoriale della matrice quadrata viene indicato con .

,

, , … ,

La DIAGONALE della matrice indica i termini che occupano le posizioni (le posizioni da in

11 22

11 12 1

( ).

alto a sinistra a in basso a destra): La diagonale è una caratteristica SOLAMENTE

21 22 2

1 2

delle matrici quadrate.

∈ → ∈

La trasposta di una matrice quadrata avrà lo stesso numero di righe e di colonne:

Quando faccio la trasposta di una matrice quadrata, la diagonale rimane INVARIATA. Per cui, fare la

trasposta di una matrice quadrata significa sostanzialmente a compiere un ribaltamento degli elementi

rispetto alla diagonale.

La matrice quadrata può essere CLASSIFICATA in vari modi: = ∀ >

- TRIANGOLARE SUPERIORE: tutti gli elementi sotto la diagonale sono NULLI: (in cui cioè

1 5 6

→ = ( )

0 8 13

l’indice riga è maggiore dell’indice colonna) 0 0 48

- STRETTAMENTE TRIANGOLARE SUPERIORE: tutti gli elementi sotto la diagonale e della diagonale sono

0 5 6

→

= ∀ ≥ = ( )

0 0 13

NULLI: 0 0 0 1 0 0

→

= ∀ ≠ = ( )

0 8 0

- DIAGONALE: tutti gli elementi fuori dalla diagonale sono NULLI: 0 0 4

= ∀ <

- TRIANGOLARE INFERIORE: tutti gli elementi sopra la diagonale sono NULLI:

1 0 0

→ = ( )

5 8 0

6 9 48

- STRETTAMENTE TRIANGOLARE INFERIORE: tutti gli elementi sopra la diagonale e della diagonale sono

0 0 0

→

= ∀ ≤ = ( )

5 0 0

NULLI: 6 8 0

→NOTA: la somma tra matrici triangolari superiori (o inferiori) è tale che la matrice risultato rimanga

triangolare superiore (o inferiore). Il prodotto tra matrici triangolari superiori (o inferiori) e un numero

qualsiasi, è tale che la matrice risultato sia dello stesso tipo di quella “iniziale” (triangolare superiore o

inferiore)

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MATRICE SIMMETRICA

∈

Una matrice quadrata si dice SIMMETRICA se la sua trasposta è uguale alla matrice di partenza:

= = ∈ ⇔ = ∀ ∀

( )

× .

Indicheremo con l’insieme delle matrici simmetriche del tipo

∈ , ∈ ℝ ⇒ ∈ ℳ

Dalla proposizione ricavo che è il SOTTOSPAZIO VETTORIALE di

n

, ∈ ⇒ + ∈

DIMOSTRAZIONE della proposizione

Per dimostrare questa proposizione posso procedere in 2 modi:

IPOTESI: siano A e B due matrici simmetriche, ovvero = ( ) = ( )

Siano e due matrici simmetriche,

t t

che A=A e B=B (dalla definizione di matrice = = ∀ ∀

ovvero che e

̇

simmetrica

Dobbiamo dimostrare che A+B è simmetrica, ovvero Devo dimostrare che A+B è simmetrica. Visto che

t

che (A+B) = A+B +

l’elemento di posto ij di A+B è , devo

̇

t t t

Sappiamo che (A+B) = A + B + = + ∀ ∀

dimostrare che ̇

t t

Applicando le ipotesi so che A = A e B=B = =

Applicando le ipotesi so che e

̇

t t

Quindi ho che A + B = A + B ∀ ∀. Ho quindi dimostrato la proposizione.

MATRICE ANTISIMMETRICA

∈ ℳ

Una matrice quadrata si dice ANTISIMMETRICA quando la sua trasposta è uguale al contrario

= −

della matrice: 0 −3 5 0 3 −5

=( ) = ( ) → − =

Esempio: 3 0 1 −3 0 1

−5 −1 0 5 1 0

× .

Indico con l’insieme delle matrici antisimmetriche Con indico anche il sottospazio vettoriale

ℳ

di = − = ∈ ⇔ =

( )

Poiché le matrici antisimmetriche sono definite da avrò che

− ∀ ∀. Questo vuol dire che gli elementi che si trovano lungo la diagonale (quelli per cui i=j)

= − ).

sono uguali al loro opposto ( L’unico numero per cui vale tale relazione (essere al loro

opposto) è lo ZERO.

→ TUTTE le matrici antisimmetriche hanno la diagonale riempita di ZERI

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PRODOTTO TRA MATRICI

× ,

Una matrice RIGA (1 che ha una sola riga e un certo numero di colonne) è MOLTIPLICABILE con una

× 1,

matrice COLONNA ( che ha una sola colonna e un certo numero di righe), SOLO se il numero di

= ):

colonne della matrice riga è uguale al numero di righe della matrice colonna (

∈ ℳ ∈ ℳ =

moltiplicabili se e solo se

1, ,1

Per fare il prodotto tra queste due matrici A e B moltiplico il primo numero della riga per il primo numero

della colonna, il secondo numero della riga per il secondo numero della colonna e così via:

( …

)

∙ = = ( ) = + + ⋯ +

… 1 × 1

Il risultato di questo prodotto sarà un numero reale qualsiasi (risulterebbe una matrice che altro non

è che un numero reale qualsiasi)

≠

Se il prodotto NON si può fare

∈ ℳ ∈ ℳ

Consideriamo ora due matrici . A e B saranno moltiplicabili tra di loro nel caso

, ,

in cui

= . ∙ = = ( ) ∈

In tal caso dove è il prodotto della i-esima riga di A per la j-esima

,

colonna di B:

A B C

→

× × ×

La matrice risultato avrà il numero di righe della matrice A e il numero di colonne della matrice B.

Per calcolare il prodotto tra le due matrici moltiplicherò la prima riga di A per la prima colonna di B, la

prima riga di A per la seconda colonna di B ecc…:

−2 1 2 5 →

= ( ) = ( ) 3 × 2 2 × 2,

0 1

Esempio: considero le matrici e ho una matrice e una matrice

3 6

2 0 3 × 2

per cui è possibile fare il prodotto. Otterrò come risultato una matrice

(−2) (−2)

−2 1 −1 −4

∙ 2 + 1 ∙ 3 ∙ 5 + 1 ∙ 6

2 5

∙ = = ( ) ( )=( )=( ) ∈ ℳ

0 1 3 6

0∙2+1∙3 1∙6+0∙5 3,2

3 6

2 0 4 10

2∙2+0∙3 2∙5+0∙6

COMMUTATIVITÀ DEL PRODOTTO TRA MATRICI

× × .

Se si può fare, NON è detto che si possa fare anche

∈ ℳ ∈ ℳ × = ). ×

Se e , allora si può fare (essendo Per poter fare anche dovrebbe

, ,

= . ∈ ℳ = ℳ

risultare che In questi casi otterrei .

, , × ≠ × ),

In GENERALE NON vale la proprietà commutativa nel prodotto tra due matrici ( in

× = × ∀, ∈ ℳ

quanto esistono almeno due matrici per cui non è vero che

0 1 1 3

= ( ) =( )

Esempio: considero e

2 1 1 2

1 2 6 4

× = = ( ) ≠ × = = ( )

3 8 4 3

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ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO NEL PRODOTTO TRA MATRICI

, ∈ ℝ ⋅ = 0 x y

Nel prodotto tra due numeri reali se allora o o doveva essere uguale a ZERO.

Questa legge non vale però per le matrici. Infatti posso ottenere come risultato una matrice nulla, senza

che NESSUNA delle due matrici che sto moltiplicando sia nulla. 0 2 −1

= ( )

Esempio: considero due matrici non nulle tra le quali è possibile applicare il prodotto: e

1 0 3

−6 12

= ( ). 2 × 2:

1 −2 La matrice risultante dal prodotto sarà del tipo

2 −4 (−6) (−2)

0 ∙ + 2 ∙ 1 + (−1) ∙ 2 0 ∙ 12 + 2 ∙ + (−1) ∙ (−4) 0 0

× = = ( )=( )

(−6) (−2)

1 ∙ + 0 ∙ 1 + 3 ∙ 2 1 ∙ 12 + 0 ∙ + 3 ∙ (−4) 0 0

2 matrici NON nulle hanno dato come risultato una matrice nulla

PROPRIETA’ DEL PRODOTTO TRA MATRICI

( × ) × = × ( × ).

1. PROPRIETA’ ASSOCIATIVA: Non importa l’ordine con cui svolgo i prodotti tra

di loro. L’IMPORTANTE è che venga rispettato l’ordine generale delle matrici (in questo caso prima A poi B e

poi C), in quanto NON vale la proprietà commutativa nel prodotto tra matrici

( (

+ ) × = × + × × + ) = × + ×

2. PROPRIETA’ DISTRIBUTIVA: e (è importante

l’ordine delle matrici, in quanto non vale la proprietà commutativa). Posso considerare anche il

procedimento inverso, ovvero raccogliere la matrice nel caso sommi multipli di una stessa matrice

∈ ℝ,

3. PROPRIETA’ DI OMOGENEITA’: non importa quando moltiplico un qualsiasi numero basta che

→ ( ( (

∀ ∈ ℝ ⋅ ) ⋅ = ⋅ ⋅ ) = ⋅ ⋅ )

rispetto l’ordine tra le matrici allora

4. La TRASPOSTA del prodotto è il prodotto delle trasposte con l’ordine delle matrici invertito:

( × ) = ×

A B × ×

→ ↓

× ×

× ×

Il prodotto delle trasposte, mantenendo l’ordine del prodotto, non sarebbe possibile farlo ( ;

= ).

poiché per poterlo fare sarebbe dovuto essere Per poter fare il prodotto bisogna invertire

= ,

l’ordine delle trasposte, allora risulta che e è possibile fare il prodotto.

POTENZE DI UNA MATRICE

La potenza di una matrice ha senso solo per matrici quadrate (numero di righe e colonne sicuramente

equivalente). 2 3

∈ ℳ ∙ = ; ∙ ∙ = ; ∙ … ∙ =

Sia la matrice , ha senso fare le potenze: . Definisco la

potenza k-esima di A.

Dalla potenza di matrice posso avere due casi particolari di matrici:

∈ ℳ = .

- MATRICE IDEMPOTENTE. Una matrice è detta idempotente se Le matrici idempotenti sono

INFINITE 0∙0+7∙0 0∙7+7∙1

0 7 0 7 0 7

( )∙( )=( )=( )

Esempio: 0∙0+1∙0 0∙7+1∙1

0 1 0 1 0 1

∈ ℳ ∈ ℕ = 0

- MATRICE NILPOTENTE. Una matrice è detta nilpotente se esiste un tale che

4 − 4 −2 + 2

2 1 2 1 0 0

( )∙( )=( )=( )

Esempio: −8 + 8 −4 + 4

−4 −2 −4 −2 0 0

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MATRICE UNITÀ )

La matrice unità (indicata con di ordine è la matrice che riempie le posizioni della diagonale con il

= ( )

numero 1, mentre gli altri con